Диссертация (1105126), страница 8

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В этом случае фазы   могутменяться лишь скачком в точках, отвечающих нулям R . Следовательно, интересующиенас решения (1.4.2), у которых  (t )  0 , могут существовать только в тех случаях, когда| R (t ) | 0 для всех значений t . При этом фазы   и   находятся с помощью интегралов(1.4.13) после решения системы (1.4.2 а):t  (t )    (0)  R (d  / dt ) |t 0  R2 ( )d ,20 (t )  R200 R2 (t ) .(1.4.14)0Благодаря условию (1.4.3), амплитуды R (t ) становятся зависимыми, и система (1.4.2 а)превращается в пару формально независимых уравнений, которые с учетом (1.4.13) могутбыть записаны в виде:d 2 R R40 20  1  2 2  2(     0 )  0   1  2 1   k222dt 2R31212 2 R  R  0 . (1.4.15)Используя теперь общий вид решения уравнения (1.4.15), приведенный в [59-62], найдем 0 /   ,   /   и амплитудыR (t )  R0 [1  n sn 2 (t ,  )]1/ 2 ,где(1.4.16)n  n ( , )   2 2 k2 ( 2  1 ) /[ R20 ( 12   1 2   22 )] .Приэтомдействительныймасштабный коэффициент  и модуль  эллиптического синуса Якоби [109], которыми изадан единый профиль волноводов для двух циркулярно поляризованных компонент поля,определяются начальными условиями с помощью соотношений:(d  / dt ) |t 0  0 (  2  n )(1  n )   n1/ 2.(1.4.17)Заметим, что значения  и  должны быть такими, что определяемые ими R2 (t ) и20 оказались бы положительными.

Это возможно, если выполнено хотя бы одно изнеравенств0  n ( , )  , 1  n ( , )   2 .(1.4.18)Они позволяют получить искомые ограничения на допустимые значения и .Величины R 0 всегда оказываются определенными с точностью до знака, что по аналогиис [97–100] приводит к существованию двух («положительной» и «отрицательной») ветвейискомых решений.34Пользуясь (1.4.14), (1.4.16) и (1.4.17), фазы компонент A ( z, t ) можно выразитьчерез эллиптический интеграл третьего рода [109]:0 td (t )    (0)  0 (t , n ,  ) ,2 0 1  n sn ( ,  ) (1.4.19)имеющего порядок n , а нелинейные добавки к частотам – через эллиптические функцииЯкоби: (t )  01  n sn 2 (t ,  ).(1.4.20)Условие  (t )  0 , отвечающее ненулевому чирпу кноидальной волны, снимает имевшееместо вырождение решений (1.4.5), (1.4.6), (1.4.10)-(1.4.12) по  и  .

Входящие в (1.4.1)добавки к константам распространения   выражаются формулами:2k 2 2 (1   2 )  3R20 ( 1  2 1 )     0  R ( 1 / 2   2 ) 4(  1 )( 1  2 2 ) R20 2.4( 2  1 )20(1.4.21)Ниже решения R (t ) , отношения R (t ) / R (t ) в которых не зависят от времени, будемназывать вырожденными и помечать верхним индексом d в круглых скобках. Изприведенных выше формул следует, что амплитуды R( d0 ) , фазы ( d ) (t ) и добавки к частоте( d ) (t )такихрешенийсвязанысоотношениями: [ R( d0 ) / R( d0 ) ]2  ( 2  1 ) /( 2  1 ) ,( d ) (t )  ( d ) (0)  ( d ) (t )  ( d ) (0) , ( d ) (t )  ( d ) (t ) .Легко убедиться, что эллиптически поляризованные кноидальные волны (1.4.5),(1.4.6), (1.4.10)-(1.4.12), представляют собой частные случаи выписанных нами вышерешений при  (t )  0 , соответствующих границам областей допустимых значений n ,следующимизнеравенств(1.4.18).НеменяющиезнакрешенияR (t )   [k2 ( 2  1 ) /( 12  1 2   22 )]1/ 2 dn(t ,  ) формируются из положительной ветвиформулы (1.4.16) при n   2 .ЗнакопеременныерешенияR (t )  [k2 ( 2  1 ) /( 12  1 2   22 )]1/ 2 sn(t ,  )иR (t )  [k2 ( 2  1 ) /( 12  1 2   22 )]1/ 2 cn(t ,  ) получаются из (1.4.16) при n   иn  1 соответственно.

Причем в двух последних случаях необходимо сшить (см. [99])положительную и отрицательную ветви (1.4.16) в те моменты времени, когда R (t )  0 ипроисходят скачки фаз. Отметим также возможность существования «гибридных»35решений, в которых одна из циркулярно поляризованных компонент поля чирпирована, авторая – нет.Основываясь на характере изменения амплитуд двух циркулярно поляризованныхкомпонент поля во времени и их асимптотиках (предельный переход к решениям (1.4.5),(1.4.6), (1.4.10)-(1.4.12)), а также связности границ областей их существования, всерешения (1.4.16)-(1.4.19) можно разделить на три группы.К первой группе относятся те из них, у которых амплитуды обеих компонент поляв точке t  0 начинают расти.

Решения такого типа существуют в тех случаях, когда знакивеличин k2 ( 12   1 2   22 ) и ( 2  1 ) одинаковы и, следовательно, n  0 . При  (t )  0они переходят в решения типа «ss». Ко второй группе относятся те решения, у которыхамплитуды обеих компонент поля в точке t  0 начинают уменьшаться. Они существуютв тех случаях, когда знаки величин k2 ( 12   1 2   22 ) и ( 2  1 ) противоположны и,следовательно, n  0 . При  (t )  0 решения этой группы переходят в решения типов«cc», «cd» и «dd».

В тех случаях, когда k2 ( 12   1 2   22 ) и ( 2  1 ) положительны, апараметр ( 2  1 ) отрицателен, либо наоборот, амплитуда одной из компонент поля вточке t  0 начинает расти, а второй – уменьшаться, формируется третья группа решений.При  (t )  0 они переходят в решения типов «sc» и «sd». Отметим, что решения всехтрех перечисленных выше групп имеют солитонные асимптотики, соответствующиепредельному переходу эллиптических функций Якоби в гиперболические функции при  1. При этом вырождение возможно только для решений первой и второй групп.Так как в оптическом диапазоне частот в гиротропных средах | 1 ||  1, 2 | , торешения третьей группы в таких средах вряд ли могут быть реализованы. Рис.

1.4.1иллюстрируеттипичныйхарактерзависимостейнормированныхмодулейr | R | 1 ( 1 / | k2 |)1/ 2 (а), фаз   (б) и нелинейных добавок  (t )  d / dt к частоте (в) от безразмерного времени t , соответствующих решениям первой из трехперечисленных выше групп.Эволюциюсостоянияполяризациичирпированныхкноидальныхволн,соответствующих найденным решениям, удобно описать с помощью параметров Стокса[110],связанныхскомплекснымиамплитудамиAсоотношениями:S0 (t )  (| A |2  | A |2 ) / 2 , S1 (t )  Re{ A A} , S2 (t )  Im{A A} , S3 (t )  (| A |2  | A |2 ) / 2 .

Приэтом параметры sx, y , z  S1, 2,3 / S0 являются декартовыми координатами конца единичноговектора s , движущегося по мере изменения t по поверхности т.н. сферы Пуанкаре [110].36Рис. 1.4.1. Зависимости r (а),   (б) и  (в) от безразмерного времени vt при z  0 ,r (0)  0.27 , r (0)  0.47 , 1 /  1  0.2 ,  2 /  1  2 ,   0.95 .Параметры Стокса однозначно связаны с поляризационными характеристиками,которые использовались ранее по тексту. При этомS0  ( R20  R20 ) / 2  [ 2  2 k2 2 /( 12   1 2   22 )] sn 2 (t ,  ) ,(1.4.22)определяет мгновенную интенсивность светового поля, компонентаsz  M | A |2  | A |2| A |2  | A |2( R 2  R20 )( 12   1 2   22 )  2 2  2 k 2 1 sn 2 (t ,  ) 2 0( R 0  R20 )( 12   1 2   22 )  2 2  2 k 2 2 sn 2 (t ,  )(1.4.23)описывает степень эллиптичности эллипса поляризации M , а долгота37 sy  arctg sxR20 (312   1 2   22 ) z  R20    0 z    (t )4 2  1  2  1 (1.4.24)равна удвоенному углу поворота главной оси эллипса поляризации ( Arg{ A A} / 2 ).

В(1.4.24) использовано обозначение (t )  (0 / )(t , n ,  )  (0 / )(t , n ,  ) . Легковидеть, что, зависимость долготы от координаты zсводится к перенормировкепостоянной  0 линейной гирации за счет нелинейности. При фиксированном zизменение  во времени связано только с зависимостью  (t ) . При этом конец вектораs движется по поверхности шарового слоя, нижняя и верхняя границы которогоопределяются экстремумами s z .

Безразмерный период Tэтого движения равенудвоенному полному эллиптическому интегралу первого рода K (  ) . За время T угол увеличивается на (t  2K / ) . Если p(t  2K / )  2q , где p и q – целые числа, тоориентация конца вектора s в пространстве и, следовательно, состояние поляризациисветовой волны, будет меняться периодически. Во всех остальных случаях конец вектораs с течением времени обязательно пройдет через любую точку поверхности указанногослоя.

Характеристики

Список файлов диссертации