Диссертация (1105126), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Расчетыпоказали, что максимальное отклонение степени эллиптичности от величины  1 /  2пропорционально  . Такая зависимость характерна для   T , что, наиболее вероятно, и29Рис. 1.3.4.Зависимостинормированнойинтенсивности(пунктир)истепениэллиптичности (сплошные кривые) от t1 при P  4 , z  1.5  Ld , M 0   1 /  2  0.1 , 2 /  1  2 , T /   1.7 и  / T  0 (1), 0.025 (2), 0.05 (3), 0.075 (4), 0.1 (5).имеет место в природе, и может лежать в основе экспериментального измерения разностивремен релаксации.§ 1.4. Эллиптически поляризованные кноидальные волны и поляризационный«хаос» в среде с частотной дисперсией и пространственной дисперсией кубическойнелинейностиПри произвольных соотношениях между  1, 2 и  0,1 система (1.2.1) является неинтегрируемой[23–27]поляризационныхмодинайти(nonlinearграницыобластейeigenpolarizationsустойчивостисогласнонелинейныхтерминологии[27])невозможно.

Приходится ограничиваться поиском и детальным анализом семействчастных решений (1.2.1), вид которых, в ряде случаев, позволяет делать некоторыевыводы о характере распространения излучения в среде с нелокальностью нелинейногооптического отклика. Известен ряд ее аналитических [23–26,29] частных решений,полученных при некоторых дополнительных требованиях. Так, в [29] в предположениилинейной связи амплитуд двух циркулярно поляризованных компонент светового полянайдены решения системы (1.2.1) в форме солитонных пар.В настоящем параграфе мы найдем частные аналитические решения системынелинейных уравнений Шредингера (НУШ) (1.2.1), соответствующие формированию30волноводов единого профиля для двух циркулярно-поляризованных компонент световогополя, у которых фазы компонент A ( z, t ) не только линейно зависят от z , но и нелинейноменяются при изменении t :A ( z, t )  R (t ) exp{i[  (t )    z]} .(1.4.1)В (1.4.1)   – нелинейные добавки к константам распространения (константы разделенияпеременных), а R (t ) и   (t ) – вещественные функции.

Будет показано, что в этомчастном случае интенсивности циркулярно поляризованных компонент R2 и нелинейныедобавки  (t )  d / dt к частоте  (чирп) выражаются через эллиптические функцииЯкоби и согласованно осциллируют. При этом эволюция состояния поляризации у такихволн также весьма необычна. В зависимости от начальных условий в нелинейной средемогут формироваться как решения со строго периодическими изменениями состоянияполяризации – чирпированные эллиптически поляризованные кноидальные волны, так ирешения, внешне больше похожие на поляризационный хаос.

Заметим, что решениясистемы НУШ типа (1.4.1) в интегрируемом случае уже анализировались ранее в [97–100]при анализе параметрических процессов на квадратичной нелинейности.Подставив (1.4.1) в (1.2.1) и осуществив стандартную процедуру разделенияпеременных, при k2  0 получим систему из четырех обыкновенных дифференциальныхуравнений:d 2 R2 d  R     [     0  ( 1 / 2  1 ) R2  ( 1 / 2   2 ) R2 ]R  0 ,2k2dt dt 22dR d d 2  R0.dt dtdt 2(1.4.2а)(1.4.2б)В качестве дополнительного ограничения на решения системы (1.4.2) выберемлинейную связь между интенсивностями циркулярно поляризованных волн:  R2 (t )    R2 (t )   0 ,(1.4.3)где константы  0,  подлежат дальнейшему определению.

В этом случае для каждой изволн A ( z, t )формируются нелинейные волноводы единого профиля, отличающиесялишь масштабными коэффициентами.Рассмотрим сначала решения (1.4.2), отвечающие условию  (t )  d  / dt  0 . Вэтом случае благодаря соотношению (1.4.3), константы  становятся собственнымизначениями следующих независимых уравнений:d 2 R / dt 2  (2 / k2 )[(   0   0 1 )  ( 1 / 2  1    /   ) R2 ]R  0 .(1.4.4)31Всевозможныедействительныепериодическиерешенияэтихобыкновенныхдифференциальных уравнений могут быть выражены через эллиптические функцииЯкоби [96,108]: sn(t ,  ) , сn(t ,  ) и dn(t ,  ) , где  – произвольный действительныймасштабный коэффициент, а  – модуль эллиптической функции.

Соотношения междуэллиптическими функциями [109] позволяют выразить  0,  через шесть величин:   ,  , и максимальные значения R . Две из них остаются свободными параметрами задачи(1.4.4). В качестве последних удобно выбрать  и  , т.к. именно квадрат эллиптическойфункции Якоби определяет профиль нелинейного волновода для каждой из циркулярнополяризованных волн.

Заметим, что аналогичная ситуация имела место для устойчивыхортогональнополяризованныхмногокомпонентныхкноидальныхволнвфоторефрактивных средах [101]. Все возможные парные комбинации эллиптическихфункций образуют семейство физически различных частных решений задачи (1.2.1),(1.4.3), (1.4.4) в виде девяти кноидальных волн. Для удобства будем обозначать ихпервыми буквами входящих в выражения для A ( z, t ) и A ( z, t ) эллиптических функцийЯкоби, т.е.

ss , cc , dd , sc , cs , sd , ds , cd и dc .Решения вида sc , cs , sd и ds оказываются возможны при выполнении неравенств1  0 , k2 ( 12  1 2   22 )  0 и  1   2  1 или неравенств 1  0 , k2 ( 12  1 2   22 )  0и 1   2   1 .

Если параметры нелинейной гиротропной среды удовлетворяют условиям 2  0 ,   2  1   2 и k2 ( 12   1 2   22 )  0 или условиям  2  0 ,  2  1   2 ,k2 ( 12   1 2   22 )  0 , то реализуется решение типа ss . Наконец решения вида cd , dc , ccиddвозможны, если справедливы неравенства  2  0 , k2 ( 12   1 2   22 )  0 и  2  1   2 или неравенства  2  0 , k2 ( 12   1 2   22 )  0 и  2  1   2 .В оптическом диапазоне частот | 1 ||  1, 2 | , т.е. размер области проявлениянелокальности оптического отклика существенно меньше длины волны. Поэтому решениявида sc , sd , cs и ds не могут быть реализованы.

Ниже приведены выражения дляамплитуд A ( z, t ) , соответствующие физически реализуемым в случае гиротропных средрешениям (1.2.1), (1.4.3), (1.4.4) ( cd , dc , ss , cc и dd ), а также для соответствующих иминтенсивностей распространяющихся кноидальных волн, степеней эллиптичности ихэллипсов поляризации и углов поворота их главных осей:A ( z, t )  { [k2 ( 2  1 ) /( 12   1 2   22 )]1/ 2 } cn(t ,  )  exp{iz 0  iz 2 k 2 [  2 ( 2  1 )( 1  2 1 )  ( 12   22  1 1  2 1 2 )] /(1.4.5)/[ 2( 12   1 2   22 )]},32A ( z, t )  { [k 2 ( 2  1 ) /( 12   1 2   22 )]1/ 2 } dn(t ,  )  exp{iz 0  iz 2 k 2 [  2 ( 2  1 )( 1  2 1 )  ( 12   22  1 1  2 1 2 )] /(1.4.6)/[ 2( 12   1 2   22 )]},I (t )   2 k2 [( 2  1 )(1   2 )  2 2 2 cn 2 (t ,  )] /[ 2( 12  1 2   22 )] ,(1.4.7)M (t )  [( 2  1 )(1   2 )  2 2 1 сn 2 (t ,  )] /(1.4.8)/[( 2  1 )(1   2 )  2 2 2 сn 2 (t ,  )],( z)  z{0  2 k2 (312   1 2   22 )( 2  1) /[ 4( 12   1 2   22 )]} .(1.4.9)В формулах (1.4.5) - (1.4.9) верхний знак соответствует cd решению, нижний – dc .

Трирешения задачи (1.2.1), (1.4.3), (1.4.4) содержат в выражениях для A ( z, t ) и A ( z, t )одинаковые эллиптические функции [k2 ( 2  1 )]1/ 2A ( z, t )  2sn(t ,  ) exp[iz ( 0  k2 2 (  2  1) / 2)] ,2 1/ 2( 1   1 2   2 )(1.4.10)A ( z, t )  [k2 ( 2  1 )]1/ 2cn(t ,  ) exp[iz ( 0  k2 2 (2 2  1) / 2)] ,22 1/ 2( 1   1 2   2 )(1.4.11)A ( z, t )  [k2 ( 2  1 )]1/ 2dn(t ,  ) exp[iz ( 0  k2 2 (2   2 ) / 2)] .( 12   1 2   22 )1/ 2(1.4.12)КаждомуизнихсоответствуетстепеньэллиптичностиэллипсаполяризацииM (t )   1 /  2 и линейно зависящий от координаты распространения угол поворота егоглавнойосисоответствующих( z )  0 z .решениямФормулыдля(1.4.10)-(1.4.12),интенсивностейможнокноидальныхполучить,волн,последовательноподставляя в выражение   2 2 k2 F /( 12   1 2   22 ) вместо F функции  sn 2 (t ,  ) ,сn 2 (t ,  ) и dn 2 (t ,  ) /  2 .Все полученные периодические решения в пределе   1 имеют солитонныеасимптотики.

Решения cd , dc , cc , dd превращаются в пару светлых солитонов, арешения ss – в пару темных, которые совпадают с полученными в [29] прирассмотренной там линейной связи между амплитудами волн, которая равносильна (1.4.3)при   1 .Перейдем к рассмотрению решений (1.4.2) у которых  (t )  d  / dt  0 . В этомслучае уравнения (1.4.2 б) легко интегрируются, что как и в [97–100], определяет дваинтеграла решаемой задачиR2 (t )[d (t ) / dt ]  R2 (t ) (t )  R2 (0) (0)  R200 .(1.4.13)33Из (1.4.13) следует, что если хотя бы для одного значения t 0 выполняются соотношенияR (t0 )  0 и (dR / dt ) |t t  0 , то во все моменты времени t1 , когда R (t1 )  0 , значение0производной (d / dt ) |t t1  0 и, следовательно,   const .

Характеристики

Список файлов диссертации