Диссертация (1105126), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Если z   0 , то ~ij ( z, z )  0 . Зависящийот пространственных координат сомножитель в (2.2.4) был выбран по следующим тремпричинам.Во-первых, из общих соображений ясно, что вклад электрического поля вполяризацию среды в данной точке пространства должен достаточно быстро уменьшатьсяпри учете влияния полей в достаточно удаленных от нее точках. Мы проделали большоеколичество численных экспериментов с различными зависящими от пространственныхкоординат сомножителями в (2.2.5) и установили, что их явный вид оказывает малыйэффект на получаемый результат. Наиболее важным параметром этой функции являетсятот, который определяет характерный размер ее изменения.Во-вторых, симметрия тензора и четность (нечетность) его компонент (какфункций пространственных координат) выбраны из соображений удовлетворениятребованиямсимметриидлядиэлектрическойвосприимчивостивизотропныхгиротропных средах (см.

[155]), и также полного совпадения с хорошо известнымвыражением  ij (, k )   ( ) ij  ig 0 ( )k m eijm   после разложения в ряд Тейлора помалому параметру kd1 .В третьих, при рассмотрении взаимодействия света со средой, нужно иметь в виду,что ее реальная граница не является резкой. Фактически происходит взаимодействиеэлектромагнитной волны с тонкой областью, внутри которой оптические свойства средыменяются достаточно быстро. Ее толщина никак не меньше, чем характерный размернелокальности оптического отклика на внешнее поле.

Влиянием переходного слоя можнопренебречь,еслиоптическийоткликлокалениинтереспредставляеттолькораспространяющаяся в среде волна. В противном случае оно может быть учтеновведением модифицированных граничных условий (см. для примера, [156,157]). Поэтомунеоднородность переходного слоя также должна быть учтена в нашей модели.В случае частотной дисперсии лоренцевского типа49g ( )  [(   1) ( )  02 ( S    )(02   02 ) 1 / 2 (2.2.6) exp(  0 ) sin([02   02 ]1 / 2  )] / 4 ,где  S ,   , 0 ,  0 константы, а  ( ) – дельта-функция. Подставляя (2.2.4) в (2.2.3)можно найти выражение для g 0 ( ) , и далее – угол поворота главной оси эллипсаполяризации( z)  0.5   1d12 [ ()  1] 2 z /( 2c 2 )длинногоэллиптически(2.2.7)поляризованногоквазимонохроматическогоимпульса,прошедшего в среде расстояние z .Дваждыдифференцируя(2.2.2)повремениполучимобыкновенноедифференциальное уравнение связывающее напряженность, индукцию электрическогополя и вспомогательную функцию M i (t , z ) ~ ( z, z ' ) E (t , z ' )dz ' :ijjd2dd2d22D(t,z)2D(t,z)D(t,z)(1)M(t,z)Ei (t , z ) i0i0iidtdt 2dt 2dt 2(2.2.8)dd22 2 0 (   1) M i (t , z )  2 0 Ei (t , z )  0 ( S  1) M i (t , z )  0 Ei (t , z ).dtdtВ случае отсутствия пространственной дисперсии ( ~ij ( z, z )   ( z  z ) ij ) уравнение(2.2.8) упрощается и совпадает с рассмотренным в [158]:d2dDi (t , z )  2 0 Di (t , z )  02 Di (t , z ) 2dtdtd2d   2 Ei (t , z )  2 0  Ei (t , z )  02 S Ei (t , z ).dtdt(2.2.9)Перейдем к равномерной сетке по пространству и времени, считая zm  mz ,tn  nt , где z и t – соответственно шаги по переменным z и t , m  0,1, 2,, M  1 ,n  0,1,2,, N  1 .

В данной работе z   / 40 , ct  0.5z , где  – длина волны,соответствующая центральной частоте спектра импульса, падающего на среду. ЗначенияM и N определяются длиной рассматриваемой среды и промежутком времени, в течениекоторогоанализируетсяраспространениеимпульса.Разностноеуравнение,соответствующее (9) и имеющее второй порядок аппроксимации, имеет вид:( Din,m1  2 Din,m  Din,m1 ) / t 2   0 ( Din,m1  Din,m1 ) / t  02 Din,m  (   1)( M in,m1  2M in,m  M in,m1 ) / t 2  ( Ein,m1  2 Ein,m  Ein,m1 ) / t 2 (2.2.10)  0 (   1)( M in,m1  M in,m1 ) / t   0 ( Ein,m1  Ein,m1 ) / t  02 ( s  1) M in,m  02 Ein,m50гдеEin,m  Ei (t n , z m ) ,Din,m  Di (t n , z m ) ,M in,m  M i (t n , z m )   ~ij ,ml (mz, lz ) E nj ,l z .

Поlдважды встречающемуся индексу l , принимающему значения 0,1,, M  1 , здесь и далеепроводится суммирование.Таким образом, реализация алгоритма численного решения задачи (2.2.1), (2.2.2)требует хранения информации о величине векторов напряженности и индукцииэлектрического поля на двух предыдущих шагах по времени. При его осуществлениивначале определяется напряженность магнитного поля по значению напряженностиэлектрического поля на предыдущем временном шагеH xn,m1/ 12/ 2  H xn,m1/ 12/ 2  ct ( E yn,m1  E yn,m ) / z,H yn,m1/ 12/ 2  H yn,m1/ 12/ 2  ct ( E xn,m1  E xn,m ) / z,(2.2.11)и затем индукция электрического поляDxn,m1  Dxn,m  ct ( H yn,m1/ 12/ 2  H yn,m1/ 12/ 2 ) / z,D yn,m1  D yn,m  ct ( H xn,m1/12/ 2  H xn,m1/12/ 2 ) / z.(2.2.12)На завершающем этапе декартовы компоненты напряженности электрического поляE nj ,l1  E j (tn1 , zl ) во всех точках zl рассматриваемой среды на n  1 временном шагенаходятся в результате решения следующей системы линейных алгебраическихуравнений:Aij ,ml E nj ,l 1  Bi ,m .(2.2.13)В последней формуле элементы матрицы Aij ,ml  (   1) ~ij ,ml z   ij ml , а правая частьравенства Bi ,m представляется в следующем виде:Bi ,m  Din,m1  ( Din,m  Ein,m )(02 t 2  2) /(1   0 t )  ( Din,m1  E xn,m1 )(1   0 t ) /(1   0 t )  M in,m [2(   1) (2.2.14) 02 ( S  1)t 2 ] /(1   0 t )  M in,m1 (   1)(1   0 t ) /(1   0 t ).Существует широкий класс сред, где характерный размер нелокальностиоптического отклика вещества меньше или равен длине волны распространяющегосяизлучения.

В этом случае значения функций ~ij ( z, z  z   d1 ) стремятся к нулю, аматрицы Aij ,ml превращаются в разреженные матрицы с ленточной структурой, ширинакоторой пропорциональна характерному размеру нелокальности d1 . Далее мы будемсчитать, что d1   , и для решения алгебраической задачи (2.2.13) использовать методминимальных невязок (GMRES) [159].51Рассмотрим в плосковолновом приближении нормальное падение из вакуумалинейно поляризованного в плоскости yz электромагнитного импульса гауссовой формыс полушириной w  20 на совпадающую с плоскостью 0 xy плоскую поверхность среды,линейный оптический отклик которой обладает частотной дисперсией Лорецевского типа,а также пространственной дисперсией.

Центральная частота спектра падающего импульсаравна   8.611014 рад/с (что соответствует длине волны   2.19 мкм ). В моментвремени t  0 максимум его интенсивности находится в вакууме на расстоянии 50 длинволн от границы раздела (рис. 2.2.1 а). В численных расчетах входящие в формулы (2.2.4)Рис. 2.2.1.Пространственноераспределениедекартовыхкомпонентвекторанапряженности электрического поля падающего импульса в момент времени t  0( Ex  0, w  20 ) (а), а также после 8000 шагов по времени (поверхность среды совпадаетс плоскостью xy при z  0 ) (б, в).

Параметры среды  s  5.25 ,    2.25 , 0  0.46 (  центральная частота спектра падающего импульса), 0  1.46 105  ,  1  0.05 /  ,d1  0.05 .52– (2.2.6) параметры выбирались аналогично [160] и имели следующие значения:  s  5.25 ,   2.25 ,  1  0.05 /  , d1  0.05 ,  0  1.64 105  , 0  0.46 . На рис. 2.2.1 б и 2.2.1 вприведеныпространственныераспределениядекартовыхкомпонентвекторанапряженности электрического поля Ex ( z /  ) и E y ( z /  ) после восьми тысяч шагов повремени (примерно после ста периодов колебаний оптического поля в вакууме).Появлениеортогональнойдекартовойкомпонентывекторанапряженностиэлектрического поля у прошедшего и отраженного импульсов связано с наличиемпространственной дисперсии линейного оптического отклика среды.Хорошо известно, что состояние поляризации монохроматического излученияполностью характеризуется набором четырех независимых величин [110].

Наряду с~параметрами Стокса наиболее популярными являются: интенсивность I  Ax2  Ay2 ,~степень эллиптичности эллипса поляризации M  2 Ax Ay sin  /( Ax2  Ay2 ) , угол наклона егоглавнойосинаправлениеприведенных~  0,5 arctg[ 2 Ax Ay cos  /( Ax2  Ay2 )]вращенияформулахконцаAx , yвектора–ипараметр,напряженностидействительныехарактеризующийэлектрическогоамплитудыполя.меняющихсяВпогармоническому закону декартовых компонент вектора напряженности электрическогополя,  – разность фаз между ними. Для описания распространения длинного импульсашироко используются разные модификации метода медленно меняющихся амплитуд.

Врезультате их применения Ax , y становятся медленно меняющимися функциями z и t . Вэтом случае пространственному распределению интенсивности в момент времени tставится в соответствие совокупность достаточно большого числа эллипсов поляризации,характеризующих излучение в различных точках пространства (или распределениюинтенсивности в точке z ставится совокупность достаточно большого числа эллипсовполяризации в различные моменты времени). Степень эллиптичности M ( z, t ) каждого изних и угол ( z, t ) его наклона к оси x вычисляются аналогичным образом с точностьюдо замены Ax , y на Ax , y ( z, t ) и  на ( z, t ) . Анализируя зависимости M ( z, t ) и ( z, t ) ,можно говорить об изменении поляризация импульса в процессе его распространения.При переходе к еще более коротким лазерным импульсам (в том числе и предельнокоротким) степень эллиптичности эллипса поляризации и угол, задающий его ориентациюв пространстве, о которых говорилось выше, теряют физический смысл.

Характеристики

Список файлов диссертации