Диссертация (1105126), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Константы a , b1 и b2 в (2.3.3) определяюткубическую нелинейность среды, а константы  3 и d 3 – ее пространственную дисперсию,индексы i , j , k и l принимают значения x и y . Наличие в (2.3.3) экспоненциальнойзависимости обусловлено исключительно требованием быстрого стремления к нулю( 3)(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) с ростом | z  z1, 2,3 | и схожестью с  ij(1) (t1 , z, z1 ) (см.функции ijklформулы (2.2.4) и (2.2.5)). Множители g (3) (t1, 2,3 ) в (2.3.3) выберем в виде~~~g (3) ( t )  ( 12   22 )( 1 22 ) 1 exp(  t /  2 ) sin( t /  1 ) ,(2.3.4)подробно обоснованном в работе [153] и в приведенной в ней литературе. Здесь  11 и  2резонансная частота и время релаксации комбинационно-активной моды, отношенияb1 / a и b2 / a определяют относительный вклад керровского и рамановского механизмовнелинейности.

Подставляя (2.3.3), (2.3.4) в (2.3.1), легко получить при  3  d 3  0 (приотсутствии пространственной дисперсии) соотношение:Pi NL (  1   2   3 , k  k 1  k 2  k 3 )  (~1 (1 ,  2 ,  3 ) ij  mn ~2 (1 ,  2 ,  3 ) im  jn  ~3 (1 ,  2 ,  3 ) in  jm ) (2.3.5)E j (1 , k 1 ) E m ( 2 , k 2 ) E n ( 3 , k 3 ),59также следующее из (2.3.2), если класс симметрии среды m (изотропнаянегиротропная среда). Входящие в (2.3.5) константы ~выражаются через параметры1, 2 , 3~  ab g~~~a1, 2, 31 3 (2,1,1  3,3, 2 )  b2 ( g 3 (1, 2,1  3,3, 3 )  g 3 (1,1, 2  2, 2, 3 )) ,модели:где~ ( )  ( 2   2 )( 2   2   2  2i /  ) 1 .

Зависимости (2.3.3) не только удовлетворяютg312122всем вышеперечисленным требованиям для функции( 3)ijkl(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) , но ипозволяют не упустить специфические особенности взаимодействия излучения свеществом [161], появляющиеся благодаря наличию тонкого приповерхностногопереходного слоя (размером порядка max{ d1 , d3} ), диэлектрические свойства которогоотличаются от характеристик толщи среды.С учетом (2.2.4), (2.3.3) формулы (2.2.2), (2.3.1) принимают вид:00PxL (t , z )   g1 (t ' ) f1 (t  t , z )dt    x 1  g1 (t ' ) f 4 (t  t , z )dt  ,00PyL (t , z )   g1 (t ' ) f 2 (t  t , z )dt    y  1  g1 (t ' ) f 3 (t  t , z )dt  ,(2.3.6)(2.3.7)PxNL (t , z )  3aE x (t , z )( E x2 (t , z )  E y2 (t , z ))  6b2 E x (t , z )  g 3 (t ' ) f 5 (t  t ' , z )dt 06b2 E y (t , z )  g 3 (t ' ) f 7 (t  t ' , z )dt 0(2.3.8)3b1 E x (t , z )  g 3 (t ' )[ f 5 (t  t ' , z )  f 6 (t  t ' , z )]dt 03 x  3 E y (t , z )  g 3 (t ' ) f 8 (t  t ' , z )dt ,0P (t , z )  3aE y (t , z )( E (t , z )  E (t , z ))  6b2 E y (t , z )  g 3 (t ' ) f 6 (t  t ' , z )dt NLy2x2y06b2 E x (t , z )  g 3 (t ' ) f 7 (t  t ' , z )dt 0(2.3.9)3b1 E y (t , z )  g 3 (t ' )[ f 5 (t  t ' , z )  f 6 (t  t ' , z )]dt 03 y  3 E x (t , z )  g 3 (t ' ) f 8 (t  t ' , z )dt ,0где  x  1 ,  y  1 , аf1 (t , z )   exp[  z12 / d12 ] /(  d1 ) E x (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.10)60f 2 (t , z )   exp[  z12 / d12 ] /(  d1 ) E y (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.11)f 3 (t , z ) z1exp[  z12 / d12 ] /(  d1 ) E x (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.12)exp[  z12 / d12 ] /(  d1 ) E y (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.13)f 4 (t , z ) z1f 5 (t , z )   exp[  z12 / d 32 ] /(  d 3 ) E x2 (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.14)f 6 (t , z )   exp[  z12 / d 32 ] /(  d 3 ) E y2 (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.15)f 7 (t , z )   exp[  z12 / d 32 ] /(  d 3 ) E x (t , z  z1 ) E y (t , z  z1 )dz1 ,(2.3.16)f 8 (t , z ) z1exp[  z12 / d 32 ] /(  d 3 )( E x2 (t , z  z1 )  E y2 (t , z  z1 ))dz1 .(2.3.17)Функции02 ( S    ) Fs (t , z )  2exp(  0t1 ) sin([02   02 ]1/ 2 t1 ) f s (t  t1 , z )dt1 ,2 1/ 2 (0   0 ) 0(2.3.18) 12   22 Fh (t , z ) exp( t1 /  2 ) sin(t1 /  1 ) f h (t  t1 , z )dt1 , 1 22 0(2.3.19)удовлетворяющие системе обыкновенных дифференциальных уравненийd2dFs  2 0 Fs  02 Fs  02  s   f s ,2dtdt(2.3.20) 1 1d22 d11Fh Fh   2  2  Fh   2  2  f h2dt 2 dt 1  2  1  2 (2.3.21)с нулевыми начальными условиями позволяют записать материальное уравнениесвязывающее индукцию и напряженность электрического поля в следующем виде:Dx  E x  (   1)( f1   1 x f 4 )  ( F1   1 x F4 )12 {aE x (t , z )[ E x2 (t , z )  E y2 (t , z )]  b1 E x (t , z )F5  F6 (2.3.22)2b2 E x (t , z ) F5  2b2 E y (t , z ) F7   3 x E y (t , z ) F8 }.D y  E y  (   1)( f 2   1 y f 3 )  ( F2   1 y F3 )12 {aE y (t , z )[ E x2 (t , z )  E y2 (t , z )]  b1 E y (t , z )F5  F6 (2.3.23)2b2 E y (t , z ) F6  2b2 E x (t , z ) F7   3 y E x (t , z ) F8 }.В (2.3.18) – (2.3.21) s  1, 2, 3, 4 , а h  5, 6, 7, 8 .61При численном решении (2.2.1), (2.3.20) – (2.3.23) мы использовали равномернуюсетку zm  mz , tn  nt , где m  0, 1, 2, , M  1, n  0, 1, 2, , N  1 .

Значения M и Nопределялись соответственно длиной среды и промежутком времени, в течение которогоанализировалось распространение импульса. Функции f1, 2,,8 в (2.3.18), (2.3.19) и (2.3.22),(2.3.22), а также в разностных аналогах уравнений (2.3.20), (2.3.21), заменялисьсоотношениями:M 1f1, 2 (t n , z m )  l 0M 1f 3, 4 (t n , z m )  l 0M 1f 5,6 (t n , z m )  l 0M 1f 7 (t n , z m )  exp[ (m  l ) 2 (z ) 2 / d12 ]E x , y (nt , lz )z  f1,n2,m , d1(2.3.24)exp[ (m  l ) 2 (z ) 2 / d12 ]E x , y (nt , lz )(m  l )(z ) 2  f 3n, 4,m , d1(2.3.25)exp[ (m  l ) 2 (z ) 2 / d 32 ] 2E x , y (nt , lz )z  f 5n,6,m , d3(2.3.26)exp[ (m  l ) 2 (z ) 2 / d 32 ] d3l 0E x (nt , lz ) E y (nt , lz )z  f 7n,m ,exp[ (m  l ) 2 (z ) 2 / d 32 ]f 8 (t n , z m )   d3l 0(2.3.27)M 1,(2.3.28)[ E x2 (nt , lz )  E y2 (nt , lz )](m  l )(z ) 2  f 8n ,mЭто позволило найти из (2.3.20), (2.3.21) значения функций F1, 2,,8 (t n1 , zm ) и в итогеполучить из равенств (2.3.22), (2.3.23) систему 2M нелинейных уравненийDxn,y1,m  Dx , y (tn 1 , zm )   nx ,y1,m ( Exn 1,0 , Exn 1,1 ,  , Exn 1, s ,  , Exn 1, M 1 , E yn 1,0 ,(2.3.29)E yn 1,1 ,  , E yn 1,s ,  , E yn 1,M 1 )длязначенийкоординатвекторанапряженностиE x, y (t n1 , z m )  E xn,y1,m .

В (2.3.29) и далее индексы lиэлектрическогоsполяпринимают значения0, 1, 2, , m,, M  1, а вид функций  nx ,y1,m при каждом m определяется формулами(2.3.22),(2.3.23) (с учетом соотношений (2.3.24) – (2.3.28)).Приреализацииалгоритмачисленногоинтегрированиянапряженности электрического поля в момент времениtnпозначениюсначала находиласьнапряженность магнитного поля в момент времени tn  t / 2 , а затем индукцияэлектрического поля Dxn,y1,m в момент времени tn  t .

На завершающем этапе решаласьсистема (2.3.29) с помощью итерационного метода ньютоновского типа, на каждом шагекоторого определялся очередной элемент последовательности {E xn,y1,m }k , сходящейся к62напряженности электрического поля E xn,y1,m . Численное значение {E xn,y1,m }k находилось врезультате решения следующей системы линейных уравнений:J ijm,l [{E nj1,l }k  {E nj1,l }k 1 ] Din1,m   in1,m ({E xn1, 0 }k 1 , {E xn1,1}k 1 ,  , {E xn1,s }k 1 ,  ,(2.3.30){E xn1,M 1}k 1 , {E yn1, 0 }k 1 , {E yn1,1}k 1 ,  , {E yn1,s }k 1 ,  , {E yn1,M 1}k 1 ).В (2.3.30) i, j  x, y , s  0, 1, 2, , m,, M 1 , по дважды встречающимся индексам j иl  0, 1, 2, , m,, M  1 производится суммирование.

Элементы блочной матрицыJ ijm,l  in1,m / E nj1,l размерности 2M  2Mвычислены при E nj1,l  {E nj1,l }k 1 . Еслихарактеристики среды d1,3 такие, что max{ d1 , d3} намного меньше ее длины L , то J ijm,l –разреженная матрица, число ненулевых элементов которой порядка max{ d1 , d 3 }L /( z ) 2 .

Вэтом случае при решении линейной алгебраической задачи (2.3.30) может бытьиспользован метод минимальных невязок (GMRES) [159].Пусть эллиптически поляризованный световой импульс гауссовой формынормально падает из вакуума на плоскую границу z  0 среды, обладающей частотнойдисперсией и пространственной дисперсией кубической нелинейности (предельная группасимметрии  ). Будем считать, что в начальный момент времени t  0 декартовыкомпоненты вектора напряженности его электрического поля не зависят от x и y изадаются формулами:1/ 2 PIE x ( z, t  0)   0 1  1  M 02  2 ( z  z0 ) 2exp  w02 2 ( z  z 0 )  sign( M 0 )  sin ,1/ 2 PIE y ( z, t  0)   0 1  1  M 02  2 ( z  z0 ) 2  2 ( z  z 0 )   cosexp  ,2w0(2.3.31а)(2.3.31б)где  длина волны в вакууме, соответствующая центральной частоте спектра падающего на среду импульса.

Характеристики

Список файлов диссертации