Диссертация (1105126), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Это относитсятакже и к любым другим наборам четырех параметров, характеризующих интенсивность иполяризацию распространяющегося излучения. В этом случае следует говорить об53измененияхмодулявектораI11/ 2 ( z, t ) ( Ex2 ( z, t ) E y2 ( z, t ))1/ 2и угланапряженностиэлектрическогополя( z, t ) arctg( E y / E x ) , который этот векторобразует с осью x . Дополнительно можно ввести функции M ( z, t ) и ( z, t ) , аналогичные,вкакой-тостепени,M ( z, t )и( z, t ) .Онибудутнестиинформациюопреимущественной ориентации вектора напряженности электрического поля. Необходимочтобы их определение обеспечивало стремление M ( z, t ) и ( z, t ) соответственно кM ( z, t ) и ( z, t ) при увеличении длительности импульса и достижение M и впредельном случае монохроматической плоской волны. Целесообразность введенияM ( z, t ) и ( z, t ) связана исключительно с необходимостью сравнения результатовчисленного расчета E x, y ( z, t ) по предлагаемому в настоящей работе алгоритму с даннымиоб интенсивности и поляризации, получаемыми в результате применения методамедленно меняющихся амплитуд для решения волнового уравнения в случае длинныхимпульсов.При решении одномерной задачи о распространении импульса в среде спространственной дисперсией кубической нелинейности в рамках FDTD целесообразноопределить M ( z, t ) и ( z, t ) в виде удовлетворяющих вышеперечисленным условиямдискретных функций,21/ 2 I11/ 2 (~z m , t n ) [ I1 ( z m , t n ) I1 ( z m1 , t n )]1/ 2~| M ( z m , t n ) |,I1 ( ~z m , t n ) [ I1 ( ~z m , t n ) I1 ( ~z m1 , t n )] / 2(2.2.15)( ~zm , t n ) arctg[ Ex (~z m , t n ) / E y (~zm , t n )] ,(2.2.16)zm , где I11/ 2 ( zm , tn ) достигает локального максимума.
Вопределенных в точках z ~(2.2.15), (2.2.16) z m – точки локального минимума функции I11/ 2 ( zm , tn ) , пронумерованныеzm zm1 . Знак M (~zm , tn ) определяется направлением вращения векторатак, что zm ~напряженностиэлектрического поля. В случае достаточно длинного импульсаzm , tn ) даст зависимости M ( z, t ) и ( z, t ) .zm , tn ) и (~интерполяция функции M (~На рис. 2.2.2 а изображены рассчитанная по формуле (2.2.15) зависимость ( z / )(сплошная линия) и определенная в точках локального максимума выражения E x2 E y2нормированнаяинтенсивностьI (z / )(пунктирнаялиния)откоординатыраспространения. Они соответствуют приведенным на рис.
2.2.1(б) и (в) зависимостямEx ( z / ) и E y ( z / ) . Видно, что угол ( z / ) почти везде линейно возрастает с ростомкоординатыраспространения.Небольшоеотклонениеотлинейнойзависимости54Рис. 2.2.2. а) Зависимости интенсивности (пунктирная линия) и угла поворота главной осиэллипса поляризации от координаты распространения после 8000 шагов по времени.Параметры среды и падающего излучения такие же как и на рис. 2.2.1. б) Зависимостиугла поворота главной оси эллипса поляризации (z ) (сплошная линия) и функции (z )(точки) от координаты распространения. Параметры среды и падающего импульса такиеже, как на рис.
2.2.1, кроме 1 0.1 / , d1 0.0125 (1); 1 0.05 / , d1 0.025 (2); 1 0.1 / , d1 0.025 (3).происходит на переднем фронте распространяющегося импульса и связано с конечнойшириной его спектра. При различных значениях параметров среды и длительностидостаточно длинного импульса найденные в численных экспериментах зависимости (z )при всех z хорошо совпадают с полученными аналитически функциями (z ) . Примертакого совпадения демонстрируется на рис. 2.2.2 б.Эффекты трансформации коротких (порядка 10 периодов колебаний поля и менее)электромагнитныхимпульсов,происходящиеблагодарячастотнойдисперсии,существенно меняют характер их распространения в средах с нелокальностьюоптическогоотклика.Пройдянекотороерасстояние,импульсстановитсянесимметричным.
В случае аномальной частотной дисперсии его высокочастотныекомпоненты скапливаются на переднем фронте, где пространственная дисперсия изменяетнаправление колебаний вектора напряженности электрического поля значительносильнее, чем на заднем фронте, где собираются низкочастотные гармоники. Этоиллюстрируетрис. 2.2.3,гдеприведеныгодографывекторанапряженностиэлектрического поля первоначально линейно поляризованного импульса, имевшего55Рис. 2.2.3. Годограф вектора напряженности электрического поля в среде с сильнойпространственной дисперсией после 8000 шагов по времени.
Падающий импульс линейнополяризован в плоскости zy , и имеет гауссову форму огибающей с полушириной, равнойдвум длинам волн. Параметры среды такие же, как на рис. 2.2.1, за исключением 1 1 / (а) и 1 2 / (б).длительность в две длины волны (около 15 фс если 8.611014 рад/с ), после восьмитысяч шагов по времени в толще среды, параметры которой имеют следующие значения: s 5.25 , 2.25 , d1 0.05 , 0 1.64 105 , 0 0.46 , 1 1 / (рис. 2.2.3.а) и 1 2 / (рис. 2.2.3.б). При этом зависимость угла поворота главной оси эллипсаполяризации (z ) не является линейной функцией координаты распространения.Последнее хорошо видно на рис.
2.2.4, где показаны зависимости ( z / ) (сплошныелинии) и I ( z / ) (пунктирная линия) соответствующие рис. 2.2.3 (а) и (б).Увеличение масштаба пространственной дисперсии изменяет поляризациюсравнительно длинных (20 длин волн и более) первоначально однородно линейнополяризованных импульсов в процессе их распространения в среде с пространственнойдисперсией. Особенно сильно это проявляется на переднем фронте импульса, гдеполяризация становится эллиптической.
Это иллюстрирует рис. 2.2.5, где приведенгодографвекторанапряженностиэлектрическогополяпервоначальнолинейнополяризованного импульса, имевшего длительность в двадцать длин волн, после пятитысяч шагов по времени в толще среды при 1 2 / и d1 0.2 (остальные параметрысреды такие же, как на рис. 2.2.3). Увеличение d1 приводит к росту степениэллиптичности эллипса поляризации на переднем фронте распространяющегося импульса.56Рис.
2.2.4. Зависимость интенсивности (пунктирная линия) и углов поворота главной осиэллипса поляризации от пространственной координаты после 8000 шагов по времени.Кривые 1 и 2 построены при значении 1 1 / и 1 2 / соответственно. Остальныепараметры среды такие же, как на рис. 2.2.1Рис. 2.2.5. Годограф вектора напряженности электрического поля в среде с сильнойпространственной дисперсией после 5000 шагов по времени. Падающий импульс линейнополяризован в плоскости zy , и имеет гауссову форму огибающей с полушириной, равной20 длинам волн. Параметры среды такие же, как на рис. 2.2.1, за исключением 1 2 / иd1 0.2 .57Зависимость(z )вэтомслучаепочтилинейна,причемкоэффициентпропорциональности растет как с ростом масштаба нелокальности оптического откликаd1 , так и с ростом константы 1 , характеризующей величину недиагональных элементовтензора диэлектрической проницаемости.§ 2.3.
Модель нелинейного отклика среды с частотной и пространственнойдисперсией, алгоритм FDTD вычислений и особенности самовоздействияэллиптически поляризованных импульсов длительностью в несколько осцилляцийэлектрического поляПусть плоская электромагнитная волна распространяется вдоль оси z в среде счастотной дисперсией и пространственной дисперсией кубической нелинейности. В этомслучае первое из материальных уравнений (2.2.2) принимает вид: Di Ei 4( Pi L Pi NL ) ,гдеPi NL (t , z ) 0 0 0( 3) dz1 dz 2 dz 3 ijmn (t1 , t 2 , t 3 , z, z1 , z 2 , z 3 )E j (t t1 , z1 ) (2.3.1)E m (t t 2 , z 2 ) E n (t t 3 , z 3 )dt1 dt 2 dt 3 .Оявномвидефункций( 3)ijmn(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) ,характеризующейнелинейныедиэлектрические свойства среды, известно немного.
Независимо от класса симметрии вслучае бесконечной однородной среды она должна зависеть только от разностей z z1, 2,3 ,достаточно быстро спадать до нуля с ростом | z z1, 2,3 | . При переходе в (2.3.1) кпространственно-временным фурье-компонентам напряженности электрического поля и( 3)(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) должен обеспечивать в первомнелинейной поляризации среды вид ijmnприближении по малому параметру d / переход к хорошо известному в нелинейнойоптике соотношению [106,117]:( 3)Pi NL ( 1 2 3 , k k 1 k 2 k 3 ) [ ijmn(; 1 , 2 , 3 )( 3,1)( 3, 2 )i ijmnp(; 1 , 2 , 3 )k1 p i ijmnp(; 1 , 2 , 3 )k 2 p(2.3.2)( 3, 3 )i ijmnp(; 1 , 2 , 3 )k 3 p ]E j (1 , k 1 ) E m ( 2 , k 2 ) E n ( 3 , k 3 ).При этом входящие в (2.3.2) тензоры должны обладать правильной внешней и внутреннейсимметрией по перестановке индексов.
В случае отсутствия пространственной дисперсиии использования приближения неизменной линейной поляризации распространяющейся( 3)(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) должен соответствоватьволны в процессе распространения тензор ijmn58широко используемой модели нелинейно-оптического отклика третьего порядка [160],одновременно учитывающей как безынерционную электронную его часть, так и эффектыкомбинационного рассеяния света.
И, наконец, при подстановке в (2.3.1) выражения для( 3)ijkl(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) , определяющая Pi NL (t , z ) формула не должна изменяться приодновременной перестановке индексов j k и аргументов z1 z 2 , t1 t2 (индексовj l и аргументов z1 z3 , t1 t3 ; индексов k l и аргументов z2 z3 , t2 t3 ).Перечисленым выше условиям удовлетворяет приведенное ниже выражение для( 3)ijkl(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) . При z1, 2,3 0( 3) ijkl(t1 , t 2 , t3 , z, z1 , z 2 , z3 ) a (t1 ) (t 2 ) (t3 ) ( z1 ) ( z 2 ) ( z3 )[ ij kl ik jl il jk ] (t1 ) (t 2 t3 ) g 3 (t3 ) ( z z1 ) ( z 2 z3 )[b1 ij kl b2 ( ik jl il jk ) 3 ( z z3 )( xi yj yi xj ) kl ] exp[ ( z z3 ) 2 / d 32 ] /( d 3 ) (t 2 ) (t1 t3 ) g 3 (t1 ) ( z z 2 ) ( z1 z3 )[b1 ik jl b2 ( ij kl il jk )(2.3.3) 3 ( z z1 )( xi yk yi xk ) jl ] exp[ ( z z1 ) 2 / d 32 ] /( d 3 ) (t3 ) (t1 t 2 ) g 3 (t 2 ) ( z z3 ) ( z1 z 2 )[b1 il jk b2 ( ij kl ik jl ) 3 ( z z 2 )( xi yl yi xl ) jk ] exp[ ( z z 2 ) 2 / d 32 ] /( d 3 ),( 3)а при z1, 2,3 0 ijkl(t1 , t2 , t3 , z, z1 , z2 , z3 ) 0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
