Диссертация (1105126), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Две независимые компоненты тензора( 3)( 3)локальной нелинейной восприимчивости 1   xyxy(;, ,  ) и  2   xxyy(;, ,  )пропорциональны  1  4 2 1 / kc2 ,  2  2 2  2 / kc2 . Псевдоскалярная константа  0связана с компонентами тензора нелокальной линейной восприимчивости ˆ (1) ( )(1)( )  ( 0c 2 / 2 2 )eijk , где eijk – символ Леви-Чивита.

Ненулеваясоотношением:  ijk( 3)(;, ,  ) тензора нелокальной кубической восприимчивости ˆ ( 3)компонента  xyyyz( 3)/ c2 .пропорциональна псевдоскалярной константе 1  2 2 xyyyzЛокальные и нелокальные восприимчивости входят в материальное уравнение,связывающее поляризацию среды и напряженность электрического поля, которое длянелинейнойизотропнойгиротропнойсредыможнозаписатьввиде1)3)3)Pj   (jl1) El  i (jlmkm El   (jnlsEn* El Es  i (jnlsmkm En* El Es [106]. В среде без пространственнойдисперсии все компоненты тензоров ˆ (1) и ˆ ( 3) тождественно равны нулю.Распространяющееся излучение полностью характеризуется интенсивностьюI ( z, t )  (| A |2  | A |2 ) / 2 , степенью эллиптичности M ( z, t )  (| A |2  | A |2 ) / 2I , угломповоротаглавнойосиэллипсаполяризации( z, t )  0,5Arg( A A* )ифазой( z, t )  0,5Arg( A A ) .

Входящие в (1.2.1) A ( z, t ) легко выражаются через эти четырехарактеристики A ( z, t )  I ( z, t )(1  M ( z, t )) exp i[( z, t )  ( z, t )]. Будем считать, что18падающий на среду импульс длительности  с пиковой интенсивностью I 0 имеетгауссову форму:A (0, t )  I 0 (1  M 0 ) exp( t 2 /  2 ) .(1.2.2)Его степень эллиптичности M ( z  0, t )  M 0 (не зависит от времени), начальная фаза( z  0, t )  0 , а ориентация главной оси эллипса поляризации ( z  0, t )  0 – одинаковапри всех значениях t . На расстоянии z временные характеристики распространяющегосяимпульса зависят от безразмерной интенсивности P   1Ld I 0 , степени эллиптичности M 0 ,а также от характеризующих среду параметров:  0 Ld ,  2 /  1 и 1 /  1 . В формулу для Pвходит длина дисперсионного расплывания Ld   2 / | k2 | .Система уравнений (1.2.1) с начальными условиями (1.2.2) численно решалась приразличных значениях параметров падающего излучения и нелинейной изотропнойгиротропнойсреды.При 2 /  1  0.5былинайденырешения,описывающиеформирование эллиптически поляризованных уединенных волн.

При фиксированномz  z 0 (значение z0 определяется P , M 0 ,  0 Ld ,  2 /  1 , 1 /  1 и составляет несколько Ld )I ( z, t ) и M ( z, t ) – четные функции времени в «собственной» системе координат,немонотонно зависящие от t на интервалах | t | 0 и имеющие абсолютный экстремум вцентре. С ростом координаты распространения вид зависимостей I ( z, t ) и M ( z, t ) отвремени плавно меняется. Они становятся монотонными функциями t на интервалах| t | 0 . Начиная с z0 , изменения вида временных зависимостей интенсивности и степениэллиптичности с ростом zпрекращаются, форма распространяющегося импульсаперестает меняться. Распределение интенсивности имеет колоколообразную форму смаксимумом в центре, а степени эллиптичности – вид колокола или перевернутогоколокола с минимумом при t  0 .Угол поворота главной оси эллипса поляризации при фиксированном t линейновозрастает или убывает (при  0,1  0 в зависимости от знака M 0 ) с ростом z .

Временныеогибающие циркулярно поляризованных компонент сформировавшейся уединеннойволны очень близки к гиперболическим секансам A ( z, t1 )  a sech(t1 / b ) , где t1  t /  , аz  z 0 . Сказанное выше иллюстрируют рис. 1.2.1 и 1.2.2. На первом из них показаназависимость I / I 0 (рис. 1.2.1 а) в центре импульса от координаты распространенияz1  z 0 / Ld , а также временные огибающие I  | A ( z, t1 ) |2 / I 0 , их аппроксимациигиперболическими секансами и зависимость M (t1 ) при z  z 0 (рис.

1.2.1 б). На втором19Рис. 1.2.1. Зависимость I / I 0 в центре импульса от координаты распространения (а), атакжевременныеогибающиеI / I0(пунктирныелинии),ихаппроксимациигиперболическими секансами (сплошные линии) и зависимость M (t1 ) (б) при z  z 0(штрихпунктирная линия) при P  8 , M 0  0.4 ,  2 /  1  2 , 0,1  0 и z 0  5Ld .показаны построенные при различных значениях M 0 зависимости M ( z1 ) в центреимпульса ( t1  0 ) в случае негиротропной среды (а) и среды с пространственнойдисперсией кубической нелинейности (б). Если  0,1  0 , то имеет место соотношениеM ( z,0, M 0 )  M ( z,0,M 0 ) .

В среде с пространственной дисперсией это равенство уже невыполняется. На рис. 1.2.2 б хорошо видна определенная связь между зависимостямиM (z,0) при M 0   1 /  2 и при M 0   1 /  2 , однако на данный момент мы затрудняемсяопределить ее аналитически.Наши исследования показали, что установившаяся неоднородно поляризованнаяструктураэлектромагнитногополястабильнадажепридостаточнобольшихвозмущениях. Если при тех же значениях параметров излучения и среды заменить правуючасть формулы (1.2.2) на a sech(t1 / b ) , то никаких значимых изменений структурысветового поля на расстояниях в несколько раз больших z0 не происходит.

Более того,при варьировании a или b в пределах 10%, сильного нарастания добавленныхотклонений также не происходит. Уже на небольших расстояниях ~z0 структура светового~z 0 , t )  a~ sech(t1 / b ) exp(i  (~z )) . При этомполя вновь принимала типичный вид A (~~отличие a~ и b от значений a и b в процентном отношении не превышало величины20Рис. 1.2.2.

Зависимости M в центре импульса от координаты распространения при P  8 , 2 /  1  2 и 1 /  1  0 (а), 0.2 (б). Кривые 1 – 5 соответствуют M 0  0.8 ; 0.4 ; 0 ;  0.4 ; 0.8 (а) и M 0  0.8 ; 0.4 ;  0.1 ;  0.4 ;  0.8 (б).введенных отклонений: структура светового поля слегка менялась, «подстраиваясь» подизменившуюся правую часть (1.2.1).

Полученные результаты согласуются с даннымиработы [85], где также упоминалось о плавном асимптотическом изменении уединеннойволны (формы и поляризации) за счет “сбрасывания лишней энергии” при возникновениивозмущений.В [29] было аналитически показано, что в нелинейной изотропной гиротропнойсреде возможно существование уединенной волны, степень эллиптичности которойпостоянна M ( z, t )   1 /  2 , а угол поворота главной оси эллипса поляризации линейноменяется с ростом координаты распространения:( z, t )  0 z . Огибающие егоциркулярно поляризованных компонент являются гиперболическими секансами содинаковой эффективной шириной и разными амплитудами:A ( z, t )  I 0 ( 2  1 ) /  2 sech(t I 0 Ld ( 12   1 2   22 ) /  2 /  )  exp{iz (  0  0.5I 0 ( 12   1 2   22 ) /  2 )}.(1.2.3)Также было показано, что эта уединенная волна гарантированно устойчива [29]относительно малых возмущений, имеющих в точности такую же эллиптическуюполяризацию, как и она сам.

В ходе численного исследования системы (1.2.1) нами былинайдены решения, описываемые формулой (1.2.3). На рис. 1.2.2 б одному из нихсоответствует прямая 3.21Обобщающее(1.2.3)решение(1.2.1),описывающеедругиеэллиптическиполяризованные уединенные волны, будем искать в следующем виде:A ( z1 , t1 )  I 0 ( P(0.5  1 /  1 )) 1 S  (t1 ) exp{i  z1  i 0 z1 Ld } ,(1.2.4)где   – неизвестные пока функции от I 0 , M 0 , а также от 1 и  1, 2 . Подстановка (1.2.4) в(1.2.1)позволяетполучитьследующуюсистемуобыкновенныхнелинейныхдифференциальных уравнений для безразмерных функций S  :1S     S   S 3  d  S 2 S   0 ,2(1.2.5),содержащую вторые производные по t1 . Подчеркнем, что вид функцийS  (t1 )определяется параметрами d   (1  2 2 ) /(1  21 )  0 и отношением форм-факторов  /   , т.к.

не нарушая общности, один из них в (1.2.5) можно было бы положить равнымминус единице. В отсутствии пространственной дисперсии ( d   d  ) система (1.2.5)совпадает с рассмотренной в [86].Большим значениям   /   соответствует более значительное различие междуамплитудамиSиS  , а также между их эффективными длительностями, и,следовательно, большее (по абсолютной величине) изменение степени эллиптичностивдоль импульса, чем на рис. 1.2.1 б. Заметим, что меняя в (1.2.5) одновременно местамиS  (t1 ) и S  (t1 ) ,   и   , d  и d  (знак 1 ) мы получим ту же самую систему уравнений.Поэтому M (t  0;   /   , 1 /  1 )  M (t  0;   /   ,1 /  1 ) .Легко видно, что при    1 / 2 решение (1.2.5): S (t1 )  sech(t1 ) , S (t1 )  0описывает хорошо известную, поляризованную по правому кругу ( M ( z1 , t1 )  1)уединенную волну. Найдем значенияпри которых оказывается возможнымобразование уединенных волн степень эллиптичности которых близка к единице.

Дляэтогобудемискатьрешение(1.2.5)методомтеориивозмущений:S  (t1 )  sech(t1 )  s (t1 ), S  (t1 )  s (t1 ) . В первом приближении по малым добавкам s (t1 )из второго уравнения системы (1.2.5) получим:1s    s  d  sech 2 (t1 ) s  0 . Решение2этой задачи на собственные значения   хорошо известно (см. [86] и многочисленныессылки в этой работе). Оно дает возможность найти значениеотношения   /   равное  ( 1 ,  1, 2 )  2d   ( 1  8d   1) / 2 ,становитсяначинаяскотороговозможнымобразование уединенных волн с близкой к единице степенью эллиптичности. Действуяаналогично, т.е. ища решение (1.2.5) в виде: S  (t1 )  s (t1 ), S  (t )  sech(t1 )  s (t1 ) , можно22найти значение   /   равное   ( 1 , 1, 2 )  2d   ( 1  8d   1) / 2 , начиная с которого,становится возможным образование эллиптически поляризованных уединенных волн,степень эллиптичности которых близка к минус единице.

Заметим, что   ( 1 )    ( 1 ) .Численно решая систему (1.2.5) при различных отношениях форм-факторов,удовлетворяющих условию:      /    (  ) 1 , положительных значениях  2 /  1 и| 1 /  1 | 0.2 , можно найти A ( z, t ) , которые позволяют вычислить все характеристикираспространяющейся эллиптически поляризованной уединенной волны. На рис.

1.2.3(а и б) приведены зависимости степени эллиптичности в его центре ( t  0 ) от величины  /   . С ростом  2 /  1 диапазон изменения возможных значений   /   увеличивается(рис. 1.2.3 а). Как уже отмечалось, это приведет к тому, что степень эллиптичностисформировавшейся в такой среде уединенной волны будет более резко меняться вдольимпульса. Эффективная длительность последней и пиковое значение интенсивностиимпульса в среде с большими  2 /  1 более чувствительны к изменениям M 0 . Ростпространственной дисперсии нелинейности также приводит к изменению диапазонавозможных значений   /   (рис. 1.2.3 б).

Характеристики

Список файлов диссертации