Диссертация (1103678), страница 14
Текст из файла (страница 14)
(Расчет многошаговым методом Адамса)T1⋅101 Н/мr⋅10-6, мРисунок 3.12 − Интенсивность усилия T1⋅10 (Н/м), возникающая в результате действиявсасывающего давления ∆Р=71.5 Па. (Расчет многошаговым методом Адамса)83Рисунок 3.13 - Зависимость L/Rp от ∆PRp/2µбезразмерном виде, как это представлено в работе [1]. Показано совпадение вычисленных в данной работе и экспериментальных зависимостей. Вычисленноезначение жесткости при сдвиге мембраны эритроцита составило µ = 0.0067 мН/м(дин/см).
Оно практически совпадает с вычисленным в работе [1] по формуле(1.9) значением µ, равным µ = 0.007 мН/м.3.3 Определение изгибной жесткости мембраны эритроцитаРассмотренные выше уравнения выведены без учета поперечных сил и моментов. Однако существование вогнутых равновесных форм оболочки эритроцитана начальных этапах набухания свидетельствует о наличии изгибающих моментов. Установлено, что внутренние давления при этом малы [1]. Поэтому в работерассмотрена математическая модель мембраны эритроцита как осесимметричноймоментной оболочки.3.3.1 Вывод соотношений упругости методом минимальных жесткостейВ первом приближении мембрана эритроцита рассматривалась как однородная.
На самом деле мембрана эритроцита имеет более сложное, слоистоестроение. Она состоит из липидно-белкового слоя и спектрина (рисунок 1.1). Сетьспектрина обеспечивает структурную жесткость мембраны и служит опорой для84липидно-белкового слоя. Эту структуру соединяют глобулярные белки, которыенесколько превышают по размеру толщину мембраны. Исходя из такого неоднородного строения, точно определить толщину мембраны не удалось. Эксперименты по определению толщины мембраны показали, что ее величина составляет6−10 нм. Толщина липидного слоя мембраны составляет примерно 3.0−4.0 нм.Уточним расчет мембраны эритроцита, представив ее как двухслойнуюоболочку: верхний слой − липидно-белковый, нижний является сетью спектрина.В работе [163] предложен подход к расчету тонкостенных элементов неоднородного строения на основе метода минимальных жесткостей.
При таком подходеуравнения равновесия и механические характеристики оболочки не зависят отвыбора поверхности приведения, а коэффициенты жесткости имеют ясный физический смысл и легко поддаются экспериментальному определению. Это важно,так как коэффициенты жесткости при этом могут вычисляться с использованиеммеханических характеристик слоев. При вычислении изгибной жесткости воспользуемся классической моделью Кирхгофа – Лява, которая хорошо зарекомендовала себя при расчете тонкостенных элементов.Рассмотрим малый элемент оболочки, находящийся в равновесии под действием внешних сил и внутренних напряжений. (Рисунок 3.14) Нормальные напряжения на боковых гранях образуют пучки параллельных сил.
Такие распределенные силы на каждой из граней могут быть приведены к равнодействующей и моменту. Равнодействующая сил является инвариантной величиной, а момент зависит от расстояния между поверхностью центров сил и поверхностью приведения.zqnξ1τ XZхσyλСCξ2yξ3σXλ0OРисунок 3.14 - Напряжения, действующие на нормальный элемент оболочки85Изгибающий момент М складывается из составляющей Мо, обусловленной изгибом, и составляющей, которая возникает при несовпадении поверхностей центровсил и жесткостей: M = M O + Td , где d – расстояние между поверхностью центровсил и координатной поверхностью приведения: d = zc − z0 .Рассмотрим изгиб и растяжение в рамках гипотезы Бернулли (Рисунок3.14), согласно которой устанавливается линейная зависимость между деформа-циями слоев в точках О и С поверхности (ХОZ или УОZ):λC = λO + kzC ,где k − кривизна продольных слоев в деформированном состоянии.Свойство эритроцита в процессе деформации сохранять постоянную площадь поверхности отнесем к поверхности приведения.
Тогда равнодействующиеT10 , T20 в поверхности приведения вычисляются по формулам:1 1 T10 = − µ λ0 2 − 2 + T% ,2 λ0 1 1 T20 = µ λ0 2 − 2 + T%.2 λ0 Остальные слои при деформировании с изгибом будут изменять свою площадь,тогда с учетом того, что µ << KT1c = T2c = T c = Kα .(3.48)При этом изменение площади поверхности равноα = z(k1+k2),где k 1 =(3.49)dθ dθ 0sin θ sinθ 0−, k2 =−.ds ds0rr0Положение поверхности центров жесткости определяется геометрией конструкции и законом распределения модуля упругости по высоте. Жесткость оболочки при растяжении будет определяться по формуле В = ∫hпри изгибе – D = ∫hK (z )dz , а жесткостьhK (z ) 2z dz . Поверхность центров жесткости С имеет координатуh86h1 K( z )zC = ∫zdz .B0 h(3.50)Функция изгибной жесткости Dc(zc) минимальна, если оси проходящие через точку О, совпадают с осями ξi, проходящими через центр жесткости zC , причемD = Dmin +B Z С2 ,что аналогично известной формуле преобразования моментов инерции при параллельном переносе осей.
Если оболочка состоит из нескольких слоев, минимальнаяизгибная жесткость равна сумме минимальных жесткостей отдельных слоев jплюс добавок, обусловленный несовпадением общего и местных поверхностейцентров жесткости, т.еnDmin= ∑ D min+ B j d 2jj(3.51)j =1Найдем равнодействующие растягивающих напряжений, приложенных ккоординатной поверхности c координатой z0, и моменты относительно этой поверхности:h/2∫Ti =σ dzi ,−h / 2(3.52)h / 2 − z0∫Mi =σ i zdz , (i = 1, 2).− z0Вычислив выражения (3.52) с учетом (3.48), (3.49), получимTi = Ti 0 + Kd (k1 + k2 ),M i = Ti d + Dimin (k1 + k2 ), (i = 1, 2).(3.53)Очевидно, что если оси хi и ξi совпадают, то d = 0 и равенства (3.53) имеют видTi = Ti 0 ,M i = Dimin (k1 + k2 ), (i = 1, 2).(3.54)Полученный результат показывает, что в качестве координатной поверхности целесообразно принять поверхность центров жесткости.
Из выражения (3.54)для моментов следует, что моменты равны в том случае, если равны минимальныеизгибные жесткости (толщина = const):M 1 = M 2 если D1min = D2min .(3.55)87Тогда в соотношениях упругости (3.54) используются параметры, инвариантныеminпо отношению к выбору поверхности приведения: изгибная жесткость Di опре-деляется только характером изменения жесткости К по сечению.3.3.2 Расчет изгибной жесткости мембраны эритроцитаОпределим изгибную жесткость мембраны эритроцита, применив методминимальных жесткостей. Аппроксимируем оболочку эритроцита двумя слоями:верхний слой (индекс 1) − липидно-белковый или бислой, нижний (индекс 2) является сетью спектрина(Рисунок 3.15).
Слой 1 имеет толщину 4 нм, общаятолщина оболочки примерно 10 нм. Для вычисления минимальной изгибнойZh1K1h2K20Рисунок 3.15 − Двухслойная схема мембраны эритроцитажесткости используем формулу (3.51). Жесткость липидного бислоя равнаB1 = K1 = 140 мН/м [79]; жесткость слоя спектрина в слабом гипотоническом рас-творе равна B2 = K2 = 0.0048 ± 0.0027 мН/м [87], при этом мембрана эритроцитадеформируется c постоянной площадью поверхности (см. раздел 1.3). Жесткостьпри растяжении всей многослойной оболочки эритроцита в целом − В на стадиидеформирования с постоянной площадью равна2B = K = ∑ K i = 140 + 0.0048 ≈ 140 мН/м(дин/см)(3.56)i =1Координата поверхности центров жесткости относительно поверхностиZ = 0 для двух слоев определяется из обобщения формулы (3.50):2∑B zizC =i =1BiCK1 h2 + h1 + K 2 h222 h2K1 h=+= K1 + K 22 K1 + K 2 2(3.57)88Определим минимальные жесткости каждого из слоев:D1min =B1 h12 K 1 h12 140 2B h 2 K h 2 0.048 2==h1 = 11.7 h12 , D2min = 2 2 = 2 2 =h2 = 0.004 h22 (3.58)121212121212Расстояния между общим и местными поверхностями центров жесткости:d1 = h2 +hK 1 h h2 1 K 1hh1 h2K1 h 1 K 2 h−=., d2 = 2 +− −=2 2 K1 + K 2 2 2 K1 + K 22 K1 + K 2 2 2 2 K1 + K 2С учетом d 1 ≈ 0 , d 2 = h 2 минимальная изгибная жесткость двухслойной оболочкиэритроцита равна2D min = ∑ Dimin + K i d i2 ≈ 11.7 h12(3.59)i =1Слоистую оболочку эритроцита можно рассчитывать как однослойную,приняв за координатную поверхность приведения геометрическое место центровжесткости [163].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
