Диссертация (1103678), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

В связи с этим,актуальной задачей является разработка безмоментной модели мембраны эритроцита для описания изменений объема эритроцита в зависимости от величины осмотического давления в широком диапазоне его значений. Разработка модели,описывающей процессы регуляции ионного обмена и объема эритроцита с учетомупругого деформирования мембраны позволит оценить степень влияния упругоговоздействия оболочки на процесс регуляции объема эритроцита. Такая комплексная модель позволяет выполнять численные эксперименты на модельныхсистемах при планировании целенаправленных исследований.Безмоментная модель необходима для описания деформирования мембраныэритроцита на стадии гемолиза, при котором происходит увеличение площади поверхности мембраны за счет расширения локальных дефектов типа пор в липидном бислое.

В свою очередь процесс деформирования пор зависит как от осмотического давления, так и механических характеристик липидного бислоя и геометрических параметров структурных элементов мембраны. Исследование зависимости диаметра поры от величины осмотического давления, поверхностного натяжения и механических характеристик липидного бислоя, с учетом геометрическихпараметров мембраны могут быть выполнены с помощью метода расчета процессов деформирования поры в растянутой под действием осмотического давлениямембране.602 Методы исследования2.1 Аппроксимация дифференциальной краевой задачиразностной схемойДля приближенного решения системы нелинейных дифференциальныхуравнений первого порядка с начальными условиями (задача Коши) использовалась простейшая разностная схема [154] u n +1 − u n− G ( r0 n , u n ) = 0, n = 0,1,... N − 1hu0 =ψr0n = nh, h = r0 k / N ,(2.1)называемая схемой Эйлера, аппроксимирует задачуdu− G ( r0 , u ) = 0, 0 < r0 ≤ r0 kdr0u (0) = ψ(2.2)с первым порядком относительно шага разностной схемы h.

Здесь r0k – радиусэритроцита в исходном, недеформированном состоянии. При известномunзна-u n + 1 вычисляется по формуле u n+1 = u n + hG (r0 n , u n ) . При подстановкечение[]сеточной функции u - таблицы искомого решения u - в уравнение (2.1) возникает невязка δ ε .По формуле Тейлора имеем()( )( )u r0 n + h = u r0 n + hu ′ r0 nh2u ′′ (ξ ) , гдеξ ∈  r0 , r0 n  .+ n +12Отсюда() ( ) = u′ r + h u′′ (ξ ) .( n) 2hu r0n + h − u r0n0(2.3)Решение u (r0 ) задачи (2.2) имеет ограниченные производные до второго порядка.Подставляя уточненное выражение u ′(r0 ) в уравнение (2.2) получаем выражениевида:61 u n +1 − u nh− G (r0n , u n ) = u ′′ (ξ ) , n = 0,1,...N − 12hu0 = ψилиA u  = ε ,где u n +1 − u n− G (r0n , u n )A u  = hu 0; h ′′ u (ξ )ε = 2.ε 0(2.5)В работах [154,155] показано, что приняв за норму максимум абсолютныхвеличин всех компонент вектора ε , в силу (2.3) получимhu ′′ (ξ ) , ε 02ε = max  < C1h,(2.6)где С1 – постоянная, зависящая от u (r0 ) , но не зависящая от h.

Следовательно,для задачи (2.2) условие аппроксимации выполнено: стремление величины невязки δ ε к нулю при h → 0 .2.2 Сходимость схемы ЭйлераВ работах [154,155] доказана устойчивость разностной схемы Эйлера (2.1) для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями в предположении, что оператор G (r0 n , u n ) имеет ограниченную производную по udG< M.duПоэтому для проверки устойчивости необходимо доказать ограниченность производной по u оператора G (r0 n , u n ) . Производная оператора G равна62 dG1 dθdG  dG 2=dθdu dG 3 dθdG1drdG 2drdG 3dr.Если ограничена норма производной оператора G, то следовательно ограничен и сам оператор.

Норма производной оператора G задается формулой dG 1dG 1dG 1 dG 2dG 2 dG 3dG 3= max +++,,dudrdθdrdθdr dθ.(2.7)В ходе доказательства исследовалось возмущение решения задачиwn = z n − u n ,где zn − решение возмущенной задачи, полученной добавлением к правой частисистемы (2.1) возмущения ε, u n − решение невозмущенной задачи (2.1), которая,[]используя обозначения (2.5) для A u , имеет вид:A  u  = f ,0f =ψ .Задача[]Az =ε(2.8)(2.9)имеет вид z n +1 − z n− G (r0n , z n )A  z  = , n = 0,1,..., N − 1hz0ε n , n = 0,1,..., N − 1ε =ε 0 .Вычтем из уравнения (2.9) уравнение (2.8), получимwn +1 − wn− G (r0n , z n ) − G ( r0n , u n ) = ε n , n = 0,1,..., N − 1hw0 = ε 0 .{РазностьG ( r0 n , z n ) − G ( r0 n , u n )}(2.10)по формуле конечных приращений Лагранжа равна63∂G (r0n , ξ n )∂uwn, гдеξ n ∈  z n , u n . Учитывая, что производнаяdGduограничена иnh < Nh , получимw n +1 ≤ (1 + M h ) w n + h ε n ≤(2.11)≤ (1 + M h ) 2 w n −1 + h (1 + M h ) ε n −1 + h ε n ≤≤ (1 + Mh ) 2 w n −1 + h (1 + Mh ) ε n −1 + h ε n ≤≤ (1 + M h ) 2 w n −1 + 2 h (1 + M h ) ε ( h ) ≤≤ (1 + M h ) 3 w n − 2 + 3 h (1 + M h ) 2 ε ( h ) ≤...............................................≤ (1 + Mh ) n +1 w 0 + ( n + 1) h (1 + Mh ) n ε ( h ) ≤≤ (1 + M h ) n +1 ε ( h ) + N h (1 + M h ) n ε ( h ) ≤≤ (1 + Nh )(1 + M h ) n +1 ε ( h ) ≤ (1 + N h ) e M ε ( h ) .Используя доказанную ранее оценку (2.6)ε < Ch,Mоценка w ≤ (1 + Nh)e ε ,будет иметь видw ≤ (1 + Nh)C1eM h.(2.12)Данная оценка указывает на сходимость с константой С= (1 + Nh) С1еМ, так как разностный метод сходится, если w → 0 при h → 0 .

В силу доказанной теоремы,схема (2.1) является сходящейся с первым, относительно h, порядком.2.3 Многошаговый метод АдамсаЯвный метод Эйлера имеет низкий порядок точности. Для достижения более высокой точности нужны методы более высокого порядка. Высокий порядокточности дает многошаговый метод Адамса – один из способов усовершенствования методов Эйлера [154,156].

Для точек сетки введем обозначенияxi = x0 + ihи предположим, что нам известны численные приближенные значения64yn , yn −1 ,..., yn − k +1точного решенияy ( xn ) ,..., y ( xn −k +1 )дифференциального урав-ненияy′ = f ( x, y ) , y ( x0 ) = y0 .(2.13)Решение (2.13) в интегральной форме:xn+1y ( xn +1 ) = y ( xn ) +∫f (t , y (t ))dt.(2.14)xnАлгоритм Адамса состоит из двух частей. Первая из них – это стартовая процедура для определенияточкахy1 ,..., yk −1x0 + h,..., x0 + (k − 1)hприближенных значений точного решения в, а вторая – многошаговая формула для полученияприближенного значения точного решения y ( x0 + kh) . Затем эта формула применяется рекурсивно для того, чтобы по численному решению на k последовательных шагах вычислитьy ( x0 + ( k + 1) h)и т. д. Стартовые значения вычисляются од-ношаговым методом Рунге – Кутта.Численный аналог формулы (2.14) задается формулой:xn+1yn +1 = yn +∫p(t )dt ,xn(2.15)где p (t ) - многочлен, заменяющий функцию f (t , y (t )) по интерполяционнойjформуле Ньютона, выраженный через конечные разности ∇ f n :p (t ) =k −1 −s j ds∇ f n =j 01( − 1) ∫ ∑j =0jk −1∑γj∇ j fn.j=0(2.16)После подстановки (2.16) в (2.15) получим:k −1yn +1 = yn + h∑ γ j ∇ j f n .j =0Более точное решение может быть получено неявным методом Адамса.(2.17)652.4 Метод определения начальных условий для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка (задача Коши)Метод определения начальных условий для нелинейных дифференциальных уравнений с начальными условиями, которыми являются в данной работеуравнения безмоментной теории, основан на методе Ньютона.

Правило построения итерационной схемы решения основано на замене нелинейной функции еелинейной моделью, которая следует из формулы конечных приращений Лагранжаили формулы Тейлора, в связи с этим метод Ньютона также называют методомлинеаризации. Существуют различные модификации этого метода [156−160]: метод секущих, половинного деления, полюсный метод секущих, и т. д. Построиммодификацию метода Ньютона для определения начального условия для интегрирования нелинейных уравнений безмоментной теории. Формальное представление функции угла поворота θ по формуле Тейлора имеет вид:dθ (r0i )1 d 2θ (r0i )2θ (r0 ) = θ (r0i ) +θ 0 − θ 0i ) ,(θ 0 − θ 0i ) +2 (dθ 02 dθ 0(2.18)здесь θ0 - начальное значение угла поворота, значение переменной в правойчасти уравнения θ (r0 i ) - расчетное значение угла поворота, полученное интегрированием нелинейных уравнений безмоментной теории оболочек каким-либо методом: методом Эйлера, многошаговымметодом Адамса, где r 0 ∈ ]h0 , r0 k ] .

Ис-комое приближение θ0 близко к θ0i , поэтому величина (θ0 - θ0i)2 – более высокого порядка малости, чем (θ0 - θ0i). Исключим последние слагаемые в (2.18) и заменим производные конечными разностями. В результате получим линейноеуравнение:θ ( r0 ) = θ ( r0 i ) +θ ( r0 i ) − θ ( r0 i )(θ 0i +1 − θ 0i )θ 0i − θ 0i −1(2.19)для определения очередного приближения θ0i+1 для искомого начального условия θ0. В качестве левой части уравнения (2.19) используем граничные условия.Из условий симметрии для точки с координатой, равной радиусу эритроцита66r0 = r0 k угол поворота θ (r0 k ) = π , тогда значение переменной в правой части урав2нения θ (r0 i ) - расчетное значение в той же точке r0 = r0 k .

В результате получимитерационное уравнение для определения начального условия θ0i+1:θ 0i +1 = θ 0i +θ 0i − θ 0i −1  π − θ 0(r0 k )i  .θ (r0 k )i − θ ( r0 k )i −1  2(2.20)3 Результаты3.1 Математическая модель деформирования мембраны эритроцита, основанная на нелинейной безмоментной теории тонкостенных оболочек с учетом больших деформаций и перемещений3.1.1 Общие положенияКлеточная мембрана до и после деформации представляет собой поверхность вращения постоянной толщины (Рисунок 3.1).

Характеристики

Список файлов диссертации