Диссертация (1103678), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Для этого используется формула (2.20), выведенная в Главе 2,п.2.4. Этот метод дает высокую скорость сходимости (3 - 15 итераций). Значениеz (h) может быть любым, например ноль. Значение r (h) определяется по формуле:r ( h) = hcos θ (h)cos θ 0 (h)Таким образом, вектор начального приближения имеет вид:θ(h)cosθ (h) ψ = h cosθ 0 (h)  Z(h)75На рисунке 3.6 а) представлены вычисленные формы эритроцита, возникающиепод действием различных давлений. На рисунке 3.6 б) приведены эпюры усилийT1 ,T2 , построенные в зависимости от r − расстояния до центра оболочки эритро-цита.z,мкм102.510.380.060r,мкмб)а)Рисунок 3.6 – а) Расчетные формы эритроцита, возникающие под действием различных давленийqn (Па) б) Интенсивности усилий T1,T2, возникающие под действием давления qn =10 Па (100дин/cм2)3.1.4 Упругое расширение мембраны эритроцита в процессе гемолизаПроцесс деформации мембраны осмотически набухших эритроцитов, которые приобрели сферическую или близкую к ней форму, сопровождается увеличением поверхности.

Изотропное натяжение становится больше максимального натяжения сдвига и будет основным в уравнении равновесия сил, возникающих вмембране. При этом параметр β, отвечающий за относительное изменение сторон,становится равным 0. Тогдаλ1 = λ 2 , α = λ 2 − 1 .(3.29)Выражение функции плотности упругой энергии деформации F для случая изотропного расширения будет иметь вид:F=1Kα 2 .2(3.30)Рассмотрим элемент оболочки эритроцита в главных осях (Рисунок 3.5).Предполагаем, что толщина мембраны при деформировании не изменяется. Додеформации длины сторон элемента равны единице, после деформации стороны76λ . После приложения к сторонамэлемента получают одинаковые удлиненияэлемента удлиненийδλ силы T1иT2 совершат работу:δ A = T1λ2δλ1 + T2 λ1δλ2 .δ A = 2T λδλ.Так как силы Т1 и Т2 равны, вариация работы равнаВеличина удельной энергии деформации получит приращение δF =∂Fδλ .∂λПриравнивая δА = δF , имеемdF  2T λ − δλ = 0.dλ В силу произвольности,δλ(3.31)не равно 0.

Приравняв нулю скобку в выражении(3.31) получаем выражение для изотропного натяжения оболочки:T=1 ∂F.2 λ ∂λИспользуя выражение функции плотности упругой свободной энергии деформации F для случая изотропного расширения (3.30), окончательно получаем выражение для изотропного натяжения оболочки:T=1 ∂F ∂α= Kα .2λ ∂α ∂λ(3.32)Для определения жесткости при растяжении К используют метод микропипеточной аспирации осмотически набухших эритроцитов [76], при этом установлено значение K = 450 мН/м (дин/см).3.1.5 Математическая модель деформирования мембраны эритроцита, вкоторой учтено как изменение площади поверхности, так и изменение формы (α ≠0, β ≠ 0)Общие соотношения упругости можно получить из выражения (2.7) в котором учтено как изменение площади поверхности, так и изменение формы0, β ≠ 0):T1 =µ(λ2−22− λ1−2)+ K (λ λ12− 1) , T2 = −µ(λ2−22− λ1−2) + K (λ λ12− 1) .(3.33)(α ≠77С помощью уравнений (3.21), (3.25), (3.33) и (3.18) получена система уравнений, описывающая деформацию оболочки эритроцита под действием внутреннего давления для диапазона положительных значений qn > 10 Па (для областейдеформирования, как с постоянной площадью, так и с изменением площади поверхности): µ  r  −2  dr  −2  cosθ  −2  dr cosθ0 r  0.5qn r0   −  − 1 =,  + Kθθcoscosdrdrr 2  r0  0 0  0 sinθ   −2   −2 cosθ −2  dr cosθ0 r  dθ cosθ sinθ dr dθ cosθ sinθ µ r0 −+ K− 1+= qn ,    −   r dr0 cosθ r0  dr0 drr  dr0   cosθ   dr0 dr 2  r0 dr0dr0 dz = dr sinθ .dr0 dr0 cosθ(3.34)Так как изменение площади поверхности мало, то при qn < 4 Па системауравнений (3.34) становится численно неустойчивой, поэтому для описания деформированного состояния мембраны эритроцита можно использовать систему(3.28).

На рисунке 3.7 представлена вычисленная форма эритроцита,z,мкмr,мкмРисунок 3.7 – Расчетная форма эритроцита, возникающая под действием qn=1.6·103 Павозникающая под действием осмотического давления qn=1.6·103 Па, которая несколько отличается от сферической.3.2 Расчет деформирования мембраны эритроцита примикропипеточной аспирацииУравнения безмоментной модели (3.28) позволяют вычислять деформированные формы мембраны эритроцита, возникающие при микропипеточной аспи-78рации под действием всасывающего давления – ∆P внутри и вне пипетки. Точноевычисление формы эритроцита внутри пипетки позволяет определять сдвиговуюжесткость мембраны µ для любых соотношений величин: радиуса канала пипетки– RР и длины втянутой части мембраны – L. Это делает возможным определять µмембран, для которых ненапряженной является сферообразная форма, напримердля липидных пузырьков, поскольку в экспериментах с липидными пузырькамипри малых нагрузках L < RР.

Численное решение задачи определения формыэритроцита в экспериментах с микропипеточной аспирацией выполнено с использованием экспериментальных данных: ∆P, RР, L работы [1]. Рассмотрен случай,когда L > RР, что соответствует условию эксперимента, в котором µ вычислялипо формуле (1.9). Значение сдвиговой жесткости µ было подобрано путем сопоставления вычисленной предложенным методом длины втянутой в пипетку мембраны с экспериментальным значением L при заданном ∆P.Вначале вычисляем форму мембраны внутри пипетки. Для расчета верхушки выпуклой части мембраны внутри пипетки формулы (3.28) используются притекущих радиусах r < Rp и давлении qn = ∆P.

Меридиональное натяжение T1 постоянно на цилиндрическом участке (r = Rp) и находится из условия равновесияT1 =∆P ⋅ RP2(3.35)Изотропное натяжение определяется из первого уравнения (3.17):∆PRP 1  2 1 T% =+ µ λ − 2 22 λ (3.36)Окружное натяжение согласно второй формуле (3.17):T2 =∆PRP1 + µ  λ2 − 2 2λ (3.37)Гидростатическое давление внутри клетки равно давлению жидкости, окружающей клетку. Вдали от входа в пипетку клетка остается ненапряженной.Значение Т1 (3.35) дает граничное условие для меридионального натяжения вкрайней точке внешней поверхности мембраны у входа в пипетку.Форма шапки мембраны внутри пипетки определяется путем интегрирования системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.28) первого порядка с79начальными условиями, заданными в точке r0 = h .

Величина шага интегрированиявнутри пипетки h= Rp/Np определяется радиусом пипетки Rp и числом узловыхточек Np. В качестве начального приближения задан векторθ (r0 ) u (0) = .rr() 0 (3.38)Значение начального приближения θ (h) подбирается так, чтобы значениеθ( Rp ) =π2.

Значение r (h) определяется по формуле:r ( h) = hcosθ (h)cos θ 0 (h)(3.39)Таким образом, вектор начального приближения имеет вид:θ (h)ψ =  cos θ (h)  .h cos θ (h) 0(3.40)Расчет цилиндрической части внутри пипетки производился исходя из величинынатяжения T1 , вычисленного по формуле (3.35). Натяжение T2 определяетсяпоформуле:Т2 =∆РR р2 R р2 r02 + 2 + 2 .rR р  0(3.41)Для составления уравнений равновесия мембраны вне пипетки, рассмотримсумму проекций всех сил на направление меридиана на поверхности мембраныэритроцита:1 dcosθT2 = 0.(T1r ) −r dsr(3.42)Учитывая, что ds = dr/cosθ, найдемdT1 T1 − T2+= 0.drr(3.43)Далее, с помощью уравнений (3.17) с учетом (3.2) найдем, что r 2 r02 T1 − T2 = − µ  2 − 2  . r0 r С учетом (3.44) зависимость (3.43) имеет вид:(3.44)80dT1 µ  r 2 r02 −  −  = 0.dr r  r02 r 2 (3.45)Форма мембраны вне пипетки, а также зависимость меридионального напряжения от r и θ определяются путем интегрированиясистемы нелинейных диф-ференциальных уравнений первого порядкаr0dθ=dr0 r cos θ0 q n sin θ  2 r 2  − 1 + µ  r − 0   , T1r  T1  r02 r 2   dT1 µ cos θ r0=dr0r 2 cos θ0 r 2 r02  2 − 2  , r0 r (3.46)drr cos θ=,dr0 r0 cos θ0с начальными условиями, заданными в точке r0 = h :θ (r0 ) ∆P ⋅ r0ψ ( r0 ) = . 2 cos θ (r0 ) h cosθ 0 (r0 ) (3.47)Форма оболочки эритроцита вне пипетки получается интегрированием системы уравнений (3.46) с начальными условиями (3.47).

При этом внутреннее (осмотическое) давление qn в (3.46) задается пренебрежимо малой величиной. Расчетаспирации эритроцита микропипеткой производился в следующей последовательности: cначала путем интегрирования системы (3.28) с начальными условиями (3.40) и граничным условием θ (r0k ) =π2определялась форма эритроцита внут-ри пипетки. При этом значение граничной точки r0k определялось из условияr (r0 k ) ≈ R р с точностью в пределах шага интегрирования h. Затем выполняем рас-чет втянутой части мембраны цилиндрической формы пошаговым методом, послечего рассчитываем форму эритроцита вне пипетки путем интегрирования системыуравнений (3.46) с начальными условиями (3.47). Втягивание эритроцита в пипетку прекращается при достижении текущего радиуса r в первой точке вне пипетки значения, равного ≈ R р с заданной точностью. При этом интеграл ∫ dT1 , получаемый c использованием решений системы уравнений (3.46), должен быть81равным∆Р ⋅ R p2.

В этой точкеТ1 ≈ Т 2 ,что следует из уравнения (3.44) ( dТ1 = 0 ).drИнтегрирование системы нелинейных дифференциальных уравнений (3.28), (3.46)осуществлялось двумя методами: более точным многошаговым методом Адамса именее точным методом, использующим явную схему Эйлера.r⋅10-6, мz⋅10-6, мРисунок 3.7 − Расчетная форма эритроцита, возникающая в результате действия всасывающего давления ∆Р = 71.5 Па (715дин/см2)(Расчет методом Эйлера)На рисунке 3.7 показана вычисленная методом Эйлера форма эритроцита, возникающая после всасывания его микропипеткой. На рисунках 3.8 и 3.9 приведеныэпюры усилий T1,T2 , построенные в зависимости от r − расстояния до центраоболочки эритроцита.

На рисунках 3.10, 3.11 и 3.12 представлены результаты расчета многошаговым методом Адамса.Результаты расчета длины втянутой части эритроцита в зависимости от величины всасывающего давления, выполненного двумя методами по формулам(3.28), (3.46) и экспериментальные данные сопоставлены на рисунке 3.13 вT2⋅101 Н/мr⋅10-6, мРисунок 3.8 − Интенсивность усилия T2⋅10 (Н/м), возникающая в результате действия всасывающего давления ∆Р = 71.5 Па (Расчет методом Эйлера)T1⋅101 Н/м82r⋅10-6, мРисунок 3.9 − Интенсивность усилия T1⋅10 (Н/м), возникающая в результате действия всасывающего давления ∆Р = 71.5 Па (Расчет методом Эйлера)z⋅10-6, мr⋅10-6, мРисунок 3.10 − Расчетная форма эритроцита, возникающая в результате действиявсасывающего давления ∆Р = 71.5 Па.(Расчет многошаговым методом Адамса)T2⋅101 Н/мr⋅10-6, мРисунок 3.11 − Интенсивность усилия T2⋅10 (Н/м), возникающая в результате действиявсасывающего давления ∆Р = 71.5 Па (Н/м2).

Характеристики

Список файлов диссертации