Диссертация (1103678), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Ось симметрии Z меридионального сечения будет одной и той же в обоих случаях. При этом система непрерывно распределенных нормальных нагрузок qn, деформирующих мембрану, также симметрична относительно оси Z. Внутренние усилия, отнесенные кединице длины (погонные усилия), являются локальными функциями и изменяются от точки к точке на поверхности мембраны - Ω. Внутренние погонныеусилия в главных осях раскладываются на меридиональную T1 и окружную T2Рисунок 3.1 − Меридиональное сечение срединной поверхности эритроцита – оболочкивращения, на которую действует разность давлений qn67составляющие (Рисунок 3.2).

В осях, повернутых относительно главных, погонные усилия раскладываются на нормальную Tn (натяжение растяжения) и тангенциальную Ts (натяжение сдвига) составляющие (Рисунок 3.3). Они рассматриваются в актуальном (мгновенном) состоянии деформированного элемента поверхности. Если в результате деформации натяжение сдвига Ts не превышаетпредельного натяжения текучести, то мембрану можно рассчитывать как твердотельную тонкостенную оболочку.Рисунок 3.2 − Схема погонных усилий, действующих на гранях элемента,отнесенные к размерам гранейdsиrdφ , в главных осяхРисунок 3.3 − Схема погонных усилий в системе осей, составляющихными осями.

В этих осях натяжение сдвига максимально∠ 45oс глав-Если отдельные слои достаточно сильно связаны между собой, то пары результирующих сил между слоями могут привести к появлению момента М. Поскольку такие пары образуются между близко расположенными слоями (на расстоянии порядка молекулярных размеров), то момент вносит обычно пренебрежимо малый вклад в равновесие мембраны с внешними силами, и мембрану эритроцита в первом приближении можно рассматривать как безмоментную тонкостенную оболочку.68В ненапряженном состоянии форма нормального эритроцита человекапредставляет собой двояковогнутый дискоцит (рис. 3.4).Z0,мкмr0,мкмРисунок 3.4 - Усредненная форма (1/4 часть) эритроцита, измеренная вненапряженном состоянии [1]В случае осмотического набухания эритроцит из ненапряженного двояковогнутого дискоцита преобразуется в сферу.

Площадь поверхности эритроцита наэтом этапе деформирования неизменна. Исходный диаметр эритроцита составляет7.5−7.7 мкм, диаметр сферического эритроцита (сфероцита) находится в пределах6.5−7.0 мкм.Срединная поверхность S0 недеформированного эритроцита получается поворотом кривой z0= f(r0) (рисунок 3.4) на угол 2π относительно оси Z, лежащей вее плоскости.

Эта кривая является меридиональной кривой поверхности недеформированного эритроцита - двояковогнутого дискоцита.Функциональная зависимость для меридиональной кривой получена в результате усреднения измерений формы нормального эритроцита человека [1]:z 0 = C 2 (1 − ρ 2 )(C0 + C1 ρ 2 + C2 ρ 4 ) ,где ρ =(3.1)r0, C = 0 .86 , C0 = 0.01384083, C 1 = 0 .

2842917 , C2 = 0.01306932, r0 k = 4.2 мкм, r0r0 k– радиус параллельного круга. Любая точка P0 на недеформированной поверхно-сти S 0 имеет координаты P0(r0,φ,z0). На деформированной поверхности P0 переходит в точку P(r,φ,z) (рисунок 3.5 а). Длину дуги АР, измеряемую вдоль меридиана на деформированной поверхности, обозначим S . Из симметрии системыследует, что главные направления деформации в точке P(r,φ,z) совпадают с меридианами, параллелями и нормалями к деформированной поверхности Ω .69Рисунок 3.5 – а) Поверхность вращения − Ω, определяющая форму деформированного эритроцита; б) элемент поверхности после деформации, λ1,λ2 − длинысторон после деформации, равные до деформации единице3.1.2 Энергия деформации и закон упругости мембраны эритроцитапри больших перемещениях и деформацияхОписание деформации в главных осях системы выполняется при помощиглавных степеней (кратностей) удлинений по формулам:λ1 =dsr, λ2 = .ds0r0(3.2)Главные деформации вычисляются по формулам:ε1 = 11  ds ds− 1  = λ12 − 1 ,2  ds 0 ds 0 2() 11 r r− 1  = λ22 − 1 .ε 2 = 2  r0 r0 2()(3.3)Для описания деформации удобно использовать инварианты, которые неизменяются при повороте осей координат:1 2λ1 + λ22 ) − 1,(2(3.4)1I 2 = −ε1ε 2 = ( λ12 + λ22 − λ12 λ22 − 1) .4Линейно независимыми инвариантные функции получаются при нормировI1 = ε1 + ε 2 =ке суммы квадратов на произведение.

В результате получаются функции, которыелинейно независимы и инвариантны относительно поворота осей координат:70α = λλ1 2 −1β=− относительное изменение площади,1 1λ12 + λ22 ) − 1 − относительное изменение сторон элемента.(2 λ1λ2(3.5)Таким образом, деформацию любого элемента можно рассматривать какпоследовательное изменение площади элемента с постоянной формой и растяжение элемента при постоянной площади.Когда деформации и угол θ между нормалью n и осью симметрии эритроцита (рисунок 3.1) изменяются существенно, можно использовать уравнения равновесия для деформированного (актуального) состояния оболочки.

В недеформированном и деформированном состоянии площади элементов оболочки эритроцита должны быть одинаковы в случае, когда α = 0 :r0 ds0 dφ = rdsdφ .(3.6)Полное решение задачи расчета формоизменения оболочки эритроцита получается численными методами, поэтому, как и в работах [1,161] задается подходящая для данного случая форма функции удельной упругой энергии деформации F в виде:F = µβ +1Kα22.(3.7)Процесс формоизменения можно разделить на два этапа: первый - деформации сдвига при постоянной площади; и второй – расширение сферической поверхности. В соответствии с этим разделим плотность упругой энергии F на двечасти: первая пропорциональна ~ β, вторая - ~ α. Выражение F для первого этападеформирования получим, учитывая условие равенства нулю относительного изменения площади α = 0:F = µβ .(3.8)Теперь, когда вид функции известен, пользуясь законом сохранения энергии, можно определить напряжения [161].

Рассмотрим элемент оболочки эритроцита в главных осях (Рисунок 3.5 б). Предполагаем, что толщина мембраны придеформировании не изменяется. До деформации длины сторон элемента равны71единице, после деформации - λ 1 и λ 2 . После приложения к сторонам элемента удлинений δλ1и δλ 2 силы T1 и T 2 совершат работу:δ A = T1λ2δλ1 + T2 λ1δλ2 .(3.9)Величина удельной потенциальной энергии деформации получит приращениеδF =∂F∂Fδλ1 +δλ2∂λ1∂λ2(3.10)Приравнивая δA = δF , имеем∂F ∂F  T1λ2 −δλ1 +  T2 λ1 −δλ2 = 0∂∂λλ1 2 (3.11)Так как α = 0 , то λ1λ2 = 1 иλ1δλ2 + λ2δλ1 = 0.Подставляя выражение δλ1 = −(3.12)λ1δλ2 в (2.11), получимλ2∂F λ1∂F + T2 λ1 − −T1λ1 + δλ2 = 0.λλλ∂∂1 22 В силу произвольности(3.13)δλ2 , окончательно получаем выражения для главных на-тяжений оболочки с точностью до постоянной T% по формулам:Где T%T1 =1 ∂F ∂β %+T,λ2 ∂β ∂λ1T2 =1 ∂F ∂β %+ T.λ1 ∂β ∂λ2(3.14)− изотропное натяжение.λ11∂β(λ12 − λ22 ),=− 22 =∂λ1 2λ2 2λ1 2λ2 λ1(3.15)λ∂β11(λ22 − λ12 ).=− 12 =∂λ2 2λ1 2λ2 2λ2 λ1Из условия постоянства площади поверхности получаем:α = 0 ⇒ λ1λ2 = 1 → λ2 = λ , λ1 =1λ.Таким образом, главные натяжения оболочки имеют вид(3.16)721 1 T1 = − µ  λ 2 − 2  + T% ,λ 2 1 1 T2 = µ  λ 2 − 2  + T%.λ 2 (3.17)3.1.3 Уравнения равновесияПри выводе основных уравнений были использованы уравнения безмоментной теории [161,162], составленные для актуального состояния оболочки.Из геометрии меридиана следуют зависимости:dr = ds cos θ , dr0 = ds0 cos θ 0 ,dz = ds sin θ , dz0 = ds0 sin θ 0 ,(3.18)где r0 и r − радиусы окружности, которая является сечением оболочки эритроцитаплоскостью, перпендикулярной оси симметрии, до и после деформации.

Угол, составляемый нормалью с осью вращения до деформации θ0 , после − θ. Высотаэлемента ds0 после деформации становится равной ds . Сумма проекций всех cилна ось симметрии равнаT1 2π r sin θ = f ( s ) ,(3.19)Где ƒ(s) − суммарная осевая нагрузка.f ( s ) = πr 2 q n ,(3.20)где qn – актуальное давление.Таким образом, усилие T1 определяется по формулеT1 =qn r.2 sin θ(3.21)С другой стороны T1 определяется через главные удлинения по формуле (3.17):1  r2 r2 T1 = − µ  2 − 02  + T%.2  r0 r (3.22)Приравнивая (3.21) и (3.22), получаем выражение для изотропного натяжения:qn r1  r 2 r02 %+ µ  − .T=2 sin θ 2  r02 r 2 После подстановки T% в (3.17) усилиеT2определяется по формуле:(3.23)73 r 2 r02 qn r+ µ  2 − 2 .T2 =2sin θ r0 r (3.24)Рассмотрим сумму проекций сил на направление нормали:T2 =Учитывая, что ds =qn rr dθ− T1.sin θsin θ dsr0ds0 , найдемrdθ 2sin θ r0 T2 2sin θ 2 r0=−.ds0r2qnr3(3.25)(3.26)После подстановки в уравнение (3.26) выражения (3.24) получается зависимостьθ от r.

Второе уравнение, связывающее r и θ, можно получить из (3.6), используя зависимости (3.18):rdr =cos θr0 dr0cos θ 0(3.27)Таким образом, выведены уравнения, описывающие деформацию оболочки эритроцита под действием внутреннего давления при условии постоянстваплощади поверхности:22sin θr0dθ2 µ  r 2 r0  sin θ r0 − ,=−dr0 cos θ 0 r 2 q n  r02 r 2  cos θ 0 r 3drcos θ r0,=dr0 cos θ 0 rdzdr sin θ=.dr0 dr0 cos θПосле введения обозначений (Глава 2, п.2.1) для вектора u :и оператора G (r0 , u )гдеθ(r0 )u = r(r0 ) , z(r ) 0  B Asinθ  Csinθ  r 4 − r  ro cosθ2µ cos 2 θ 022G (ro , u ) = C===,гдеС,Brcosθ,A00rcosθ 0q n r02C sinθr(3.28)74система дифференциальных уравнений (3.28) принимает канонический вид (2.2).В главе 2 п.

3.2 приведено доказательство сходимости схемы Эйлера, согласно которому схема устойчива, если производная по u оператора G(r0 , u ) ограничена.Получим оценку для нормы производной оператора G(r0 ,u) по формуле (2.7):dG B A sin θ  C sin θ cosθ A 4 B A sin θ = max  C cosθ  4 −−+ C sin θ  − 5 +,r rr 2 dur r,−С sin θC cos θ C cos θC sin θ ,+ −+ − <2rrrr2< max  r0 k12µ  r0 k 2 4r0 k 22µ2µ  − r0 k + − r0 k , r0 k + − r0 k 2r−+−+ 4 −,0k 5rkrk2 rkrk2 qn r0 k 2 rk qn r0 k 2 rk qn r0 k 2 rk  rk rk 13µ42µ11 5µ5µ,1+,1+< max −+ −+,2 , 2 ] < 5 + < < max  5 +22q n rkrkq n rkrkrk qnqn rk(минимальное значение rk равно радиусу сферического эритроцита ≅ 3.35мкм).Следовательно,dG< M .

Такимduобразом, схема Эйлера сходится.В качестве начального условия u(0) точка с координатами r = 0,θ = 0 использоваться не может, так как является особой точкой. В этой точке операторG (r0 , u ) становится неограниченным. Поэтому в качестве начального приближения используется точка, в которой r0 = h (h - малое значение):θ ( h )u ( 0 ) = r ( h )  z( h ) Значение начального приближения θ (h) подбирается так, чтобы значение θ накраю θ (r0 k ) =π2.

Характеристики

Список файлов диссертации