А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 72
Текст из файла (страница 72)
дх " " дх„дхр (45.5) Поскольку по инлексам сс„(1 и 7 в формуле (45.5) про- изводится суммирование, они являются немыми индек- сами и могут быть заменены любыми другими. В част- ности, очевилно, — - с)хр с)х, = — р-с)х„с)х, ди. див дх (45.6) !13. Относительное уллнненне поэтому формула (45.5) принимает вид с)!.г с)!г 1 2и с(х с)х (45.7) Произвольная деформация характеризуется тремя удлинениями по осям координат и тремя сдвигами параллельно трем координатным плоскостям, т.
е. всего шестью величинами. Все остальные деформации выражаются через эти две элементарные. Например, изгиб (рис. 115) является комбинацией неоднородного растяжения н сжатия. Пунктиром на рисунке обозначена линия, вдоль которой нет никакой деформации. Кручение сводится к деформации неоднородного сдвига (рис. 116).
Тензор деформаций. Шесть величин, которые описывают произвольную деформацию, изменяются от точки к точке. Совокупность этих шести величин составляет тензор деформаций. Чтобы найти выражение этого тензора, рассмотрим деформированное тело. В результате деформации точка тела с радиус-вектором г перемещается в точку г', т. е. вектор смещения этой точки равен г' — г, а компоненты смешения по осям координат равны ис = х; '— хь причем мы полагаем х, = х, хг = у, хз = г.
Если между некоторыми двумя точками до деформирования расстояние было равно с)! = )уйхс + с)х~~ + с)х~з, то после деформирования оно равно с(!' = [(с(хг+ с)иг) + (с)хг+ с)иг) + (с)хз+ с(из)~~ !ь Для дальнейших преобразований удобно воспользоваться правилом суммирования по дважды повторяющимся индексам: с)!г = (с1х. + с)и„)г = с)х. '+ 2 с)х„с)и„-ь с(и'„= = с)!г + 2с(х, с(и„+ с)и„'.
4 45. Механические свойства твердых тел 315 114 1ДЕ 1 / ди„ди ди, ди,'г 2 ~, дх~ дх„дх„дхз ) (45.8) — тензор деформаций. Он является симметричным (и„„= =, и,„) и поэтому содержит в себе лишь шесть различйых велйчнн. Известно, что симметричный тензор может быть привелен к главным осям, когда он принимает диагональный вид. Очевидно, что такое приведение к главным осям можно выполнить и для тензора и„. В этом случае отличными от нуля будут только диагональные элементы иго и22, изз и формула (45.7) записывается в виде г)1<2 = (1 + 2и„) дхт + (1 + 2и22) г)х~т + (1 + 2нз2) дхтз, (45.9) т. е.
деформация сводится к деформации простого сжатия (илн растяжения) по трем независимым взаимно перпендикулярным направлениям, совпадающим с главными осями. Например, лднна г)хг в направлении оси Хг становится равной г)х'г = г)хг )21+ 2и,, и т. д. Направ- б) (45.10) 214. Относитеяьный сцаиг (а); сдвиг как комбинация есестороннего сжатия и растяжения (б) Относительное удлинение по главным осям иа основании (45.9) равно 11х, )г'1 + 2 и„— г)хе ег— --=и (45.11) тле )21 + 2и„- 1 + и„при ) ига ! (< 1. Аналогично, удлинения по другим осям равны: 22 И22 СЗ ИЗЗ.
(45.12) ление главных осей при переходе от точки к точке изменяется, и поэтому при фиксированном направлении осей тензор, вообше говоря, является недиагональным н деформация не может быть представлена как совокупность независимых сжатий или растяжений по этим трем неизменным направлениям. В большинстве практически важных случаев деформации являются малыми, т. е. )и„„) (< 1. При этих условиях в выражении (45.8) можно пренебречь в скобках третьим членом по сравнению с первыми двумя как величиной второго порядка малости и считать, что 316 5. Твердые тела Некоторый объем с))г= дхтдхзт)хз после леформации 115 равен с)'г" = т)х,')/1 + 2игке)хзг1/Г+ 2кгззе)хз~/ 1 + 2тезз = = г)х, 11хз 11хз(1+ и,г)(1 + иаг)(1 + изз) = = г)1 (1 + гг1! + и22 + нзз) (45.13) и поэтому относительное изменение объема (45.14) 116 т,е равно сумме диагональных элементов тензора деформаций.
'Упругие напряжения. Как показывает эксперимент, относительное удлинение в пропорционально силе и обратно пропорционально площади поперечного сечения, к которому приложена растягивающая или сжимающая сила (см. рис. 113): 1 Е в = — —. Е 5' (45.15) Здесь коэффициент пропорциональности записан в виде !7Е (Š— модуль Юнга); сила )с действует по нормали к поверхности 5; Ег5 = о — нормальное напряжение.
Тог- да формула (45.15) может быть представлена в виде (45. 1б) и дает значение нормально~о напряжения в зависимости от относительного удлинения. Знак о определяется зна- ком в. Аналогично (см. рис. 114) для деформации сдвига имеем (45.17) у = ~7(65), где 6 — модуль сдвига; à — тангенциальная сила, направ- ленная по касательной к поверхности; Г/5 = т — касатель- ное напряжение. Тогда формула (45.17) записывается в виде 11а Изгиб как «амбинадия деформация неоднородного растяжения и сжатия (45.18) т= бу. ! 16. Кручение как деформадия неоднородного сдвига Величина 116 называеуся коэффициентом сдвига. Коэффициент Пуассона. При одностороннем растяжении или сжатии наряду с длиной стержня изменяется также и его поперечное сечение: при растяжении — уменьшается, при сжатии — увеличивается.
Относительное изменение 4 45. Механические свойства твераых тев 317 поперечного размера определяется равенством е, =б)~, (45.19) где 1с и Иг — некоторые линейные поперечные размеры стержня и его удлинение. Величина (45.20) называется коэффициентом Пуассона, Знак минус учитывает, что при растяжении поперечные размеры тела уменьшаются, а при сжатии — увеличиваются. Коэффициент Пуассона характеризует изменение объема тела прн одностороннем сжатии или растяжении. Пусть имеется прямоугольный квадратный цилиндр объемом 1'= йгг. При растяжении объем тела равен )х 1(1+ )(г (1+ )г (х(1+ + 2 (45.21) где отброшены члены, квадратичные по е и е„т.е.
члены второго порядка малости. Из (45.21) следует, что ((хг — $')/(х = ЛВ'/Г = а + 2с, = а(1 — 2Р). (45.22) При растяжении объем тела увеличивается, при сжатии — уменьшается. Следовательно, ЛР и в в (45.22) одинакового знака и поэтому 1 — 2р) О, Н '/г. Таким образом, максимальный коэффициент Пуассона равен р„е = '!г.
В этом случае объем тела при одностороннем расппкении или сжатии не изменяется, так как изменение объема за счет растяжения или сжатия в одном направлении компенсируется изменением объема вследствие изменения линейных размеров в перпендикулярных направлениях. У большинства тел коэффициент Пуассона находится в пределах 0,30 — 0,40. Деформация сдвига, очевидно, не сопровождается изменением объема.
Всестороннее растяжение или сжатие. Если твердое тело подвергается всестороннему сжатию, то относительное изменение Л$'!)' объема пропорционально приложенному напряжению оп Л(х 1 — — а .г(' (45.24) гдеэ( — модуль объемного сжатия, 1~ к = я — сжимаемость. В случае твердых тел требуются большие напряжения для того, чтобы вызвать сколько-нибудь существенное изменение объема, т. е. сжимаемости чрезвычайно малы (порядка 10 "Па '). Ясно, что всестороннее сжатие эквивалентно сжатию по трем осям координат. Однако при этом необходимо учесть, что относительное удлинение, например вдоль оси Х, осуществляется как за счет действия напряжения вдоль оси Х, так и из-за удлинений вдоль этой оси, происходящих в результате напряжений вдоль осей у и к 318 5.
Твердые тела в соответствии с формулой (45.20). Поэтому, обозначая относительное удлинение вдоль осей г.„, е,, е„находим: г„= а„/Š— ре„— ре, = [а„— р (а„+ а,) уЕ, е, = а,(Š— ре„— рг.„= [а, — р(а, + а„ЯЕ, е, = а,/Š— ре„— рг = [а, — р(а„+ а )~/Е.
Для однородного всестороннего сжатия, когда а„= о„= о, = а, эти формулы упрощаются и принимают следующий вид: в„= (1 — 2р) а(Е, гх =- (1 — 2р) а~Е, е, = (1 — 2р) а(Е. (45.26) Таким образом, при всестороннем сжатии или удлинении относительное удлинение в данном направлении отличается от удлинения при одностороннем сжатии или удлинении под действием одинаково~о напряжения. Связь между модулем объемного сжатия и модулем Юнга. Отнссительное изменение объема при всестороннем сжатии и растяжении также отличается от одностороннего сжатия.
Для прямоугольного параллелепипеда объемом Г=1„1„!. прн однородном всестороннем сжатии (а„= а„= а, = а) имеем Л1„Ж, Ы, 3 (1 — 2р) ЫпГ=Ь(1п( +1п( +1и1)= — "+ — — '+ — — '=е +е +е = — — — — а. (4527) 1 " " ' Е У Это означает, что модуль объемного сжатия М связан с модулем Юнга Е соотношением (45.28) М' = Е/[3 (1 — 2р)3. Связь между модулем сдвига и модулем Юша.
При чистом сдвиге объем остается неизменным и поэтому должно соблюдаться соотношение Л(1г'= е„+ Я, + 6, = О, (45.29) которое с помощью (45.25) приводится к виду ЛР/$'= (1 — 2р)(а„+ а + а,)/Е = О. (45.30) Таким образом, чистый сдвиг осуществляется только при выполнении следующего соотношения между напряжениями в направлении осей координат: а„+а,+а,=О.
(45.31) С помощью (45.31) соотношения (45.25) преобразуются: е, =(1+ р)а,/Е, е„=(1+ р)а„/Е, е, =(1+ р)а,/Е. (45.32) Чтобы связать эти величины со сдвигом, рассмотрим, как он возникает в результате комбинации сжатий и растяжений. На рис. 114, б рассмотрен случай а, = О, когда сдвиг происходит в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа. Из (45.31) имеем (45.33) а = — а. У Это означает, что если в направлении оси Х происходит сжатие, то в направлении оси У в растяжение, причем )И„) = !Ы„), если рассматривать квадрат 1„ = 1„ = 1 б 45. Механические свойства твердых тел 319 117 (см. рис, 114, б).
Следовательно„сдвиг осуществляется параллельно диагонали квадрата. Очевидно (см. рис. 114, б), что м )г(а)' (ает -~/Гаь)' (а() (!/(/2) (!/(/2) = 1/2 )/сл -1- б'„= 1/2 —" ~/о' + о' (45.34) Равнодействующая нормальных напряжений о„и с' является касательным напряжением т, действующим вдоль диагонали (см. рис. 114,6). Поскольку длина диагонали 1-= (/21, то для касательного напряжения сразу же получаем т = )/а„'+ с зя/(/2 н формула (45.34) принимает вид у = 2 (! + р) т/Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
