А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Тенлоемкость при произвольной температуре. Прн вычислении энергии П в (46А6) не учитывалось наличие максимальной частоты гв,„„определяемой формулой (46.48). Если это учесть, то интеграл необходимо ограничить частотой 1» „,. Тогда вместо формулы (46.46) получим 12ях в ( шз с)ел (2яй)з ((рЗ)з ~ ехр РхпЯ)сТЯ вЂ” 1 ' е (46.52) где (и) определяется соотношением (46.50).
Переходя при интегрировании к безразмерной переменной 9 = аяп(()сТ) (46.53) н принимая во внимание (46.49) и (46.51), получаем о1уг П = 9Иа)сТ и Теплоемкость Си находим дифференцированием (46.54) по Т. При Т<< Оп верхний предел интегрирования может быть распространен до со, тогда получаем (46.47). При Т>> Оо верхний предел интегрирования близок к нулю и, следовательно, 9 в полынтегральном выражении очень малая величина, и можно считать, что ехр 9- - 1+ г,. Поэтому формула (46.54) принимает вид оо1т О =й .,')с (46.54) Ы1.
Уииверсапьиая кривая теп иеемкести твердых ьм Ю = 9Иа)сТ ~ — ~ ~ — = ЗХа)сТ = ЗКТ. (46.55) / Т'13 Т рад~ (О.1 1 е Следовательно, теплоемкость в этом случае равна Си = (д(ддТ)„= ЗК, (46.56) т.е., как и должно быть, соответствуе~ закону Дюлонга и Пти. 332 5. Твердые тела При температуре Т- бто интеграл в (46.54) не может быть вычислен аналитически и приходится пользоваться численными методами.
Свойства различных материалов учитываются значением температуры Дебая 6Зо. Поэтому кривая теплоемкости как функция отношения Т/бЗо является универсальной. Она показана на рис. 121 и находится в великолепном согласии с данными эксперимента, показанными качественно в виде кривой на рис. 118. Вывод формулы для теплоемностн, исходя нз представлений о фоиоиах. Для того чтобы освоиться с представлением о квазичастицах, полезно вывести формулу для теплоемкости твердого тела на основании представления о фононах.
Как уже было отмечено в связи с формулой (46.13), моду колебаний, несущую энергию Лсо„можно рассматривать как квазичастицу. При таком подходе тепловые колебания решетки сводятся к совокупности фононов, рассматриваемой как идеальный газ. Энергия фонона в соответствии с (46.13) равна е= Лот, (46.57) а его импульс р связан с волновым числом я обычвьзм соотношением для свободных частиц: р = й/т. (46.58) Энергия и импульс фонона связаны соотношением (46.35), которое с учетом (46.57) и (46.58) может быть записано в виде е = (е) р, (46.59) где учтено наличие нескольких поляризаций фононов и взята их средняя скорость в соответствии с (46.50).
Плотность состояний газа, состоящего из фононов как кввзичастил, дается формулой (8.4) в виде дГ = р(е)де = 3 Р4ярздр/(2яй)з (46.60) Множитель 3 учитывает три возможных поляризации фон онов. Принимая во внимание (46.58), из (46.60) получаем 12яР 1 р(е) (2 й)з ((( ())3 ~ (46.61) Для дальнейших вычислений удобно выразить р(е) не через среднюю скорость (о) звука, а через температуру Дебая, воспользовавшись условием, что общее число фононов должно быть равно зно Зтта = ) р(е)т(г- (46.62) о Тогда Р (е) = 9ттде /("кзо) .
(46.63) Фононы являются частицами, подчиняющимися статистике Бозе — Эйнштейна, и поэтому среднее число (в) фононов с энергией е дается формулой (28.2), которая в данном случае записывается в виде (п(а)) = (ехр(е/(/тТ)3 — 1) '. (46.64) 1 46. Тепдоемкость твердых тел 333 Для полной энергии фононов в теле получаем выражение ьэо вг,т (/ = ар(е) (л(а)) с(а = 9/с/х)сТ~ ) ~ Ор) ~ ехрг,— 1' (46.65) Поскольку у осциллятора средняя кинетическая энергия колебаний равна средней потенциальной, на каждую колеблющуюся молекулу приходится средняя энергия (в) = 31сТ.
Число молей в 1 кг массы равно 1/М, где М вЂ” молярная масса. Следовательно, в 1 кг массы имеется л = !х'д/М молекул и удельная теплоемкость равна с = д(6/сТ/с/д/М)/дТ = 6/с/94/М = бхс/М. Поскольку Мкс~ = 0,07456 кг/моль; Мн,о = 0,05845, находим: сксх = 6 8,31/0,7456 Дж/(кг К); снес, = 6 8,31/0,05845 Дж/(кг. К), Пример 46.2. Изучить теплоемкость твердых тел в предположении, что фононы являются фермионами и подчиняются, следовательно, не статистике Бозе — Эйнштейна, а статистике Ферми — Дирака. В остальном их свойства считать неизменными. Ясно, что все расчеты, которые привели к формуле (46.65), остаются без изменения, надо лишь выражение (46.64) для среднего числа частиц заменить выражением, соответствующим статистике Ферми — Дирака, т.е.
в знаменателе изменить знак на ~лрюс. В результате для полной энергии вместо формулы (46.65) получим аост (/ = 9%д/сТ о (46.66) о о что, как и следовало ожидать, совпадает с формулой (46.54). Приведенный вывод показывает, что представление о квазичастицах, в данном случае фононах, позволяет пользоваться понятиями и математическими приемами, выработанными для реальных частиц. Однако отсюда не следует делать вывод, что квазичастицы существуют в том же смысле, в каком существуют реальные частицы.
Например, в приведенном выше выводе формулы теплоемкости мы обращались с фотоном точно так же, как в 8 28 с фотоном при выводе формулы абсолютно черного тела. Тем ие менее нельзя назвать фонон элементарной частицей в том же смысле, в каком фотон является одной из фундаментальных элементарных частиц физики. Теплоемкость металлов. В этом случае к теплоемкости за счет колебаний кристаллической решетки добавляется теплоемкость за счет свободных электронов металла 1см. (27.21)3.
При обычной температуре она составляет ничтожную часть решеточной теплоемкости и может не приниматься во внимание. Однако с понижением температуры, поскольку решеточная теплоемкость убывает как Т', а электронная — как Т, ее роль возрастает и при достаточно низкой температуре электронная тепло- емкость играет главную роль по сравнению с решеточной. Пример 46.! На основе классического закона РавноРаспРеделеник вычислить Удельную теплоемкость КС1 и ХаС!. 334 5.
Твердые тела Различие в поведении теплоемкости [см. (46.66)) по сравнению с (46.65) сводится к следуюшему. При очень высокой температуре верхний предел мал и в подынтегральном выражении можно положить ехрс аз 1+ Ц. Тогда теплоемкость (46.65) постоянна. Для ферми-частиц но формуле (46.66) теплоемкость при высокой температуре стремится к нулю. Что касается низкой температуры, то теплоемкость изменяется пропорционально Т'. б 47 Кристаллизация а илаилеиие Рассматривается физическая картина плавления, кристаллизации и сублимации. Дается определение аномальных веществ. Описываются свойства жидкого гелия Приводится общая сравнительная характеристика фазовых переходов первого и второго рода.
Определение. Опыт показывает, что при достаточно низком давлении при понижении температуры все ве!цества, за исключением гелия, переходят в твердое состояние, т. е. кристаллизуются. Жидкий Не П при давлении меньше 3 МПа остается жидким вплоть до температуры О К. Лишь при давлении свыше 3 МПа он при достаточно низкой температуре переходит в твердое состояние. Такое поведение жидкого гелия обусловливается квантовыми эффектами. При высоком давлении с понижением температуры большинство веществ также переходит в твердое состояние. Исключением из этого правила является ряд аномальных веществ, которые остаются жидкими при очень большом давлении вплоть до температуры О К. К аномальным относятся вещества, плотность которых уменьшается при переходе из жидкого в твердое состояние при условии, что эта особенность сохраняется вплоть до очень большого давления и малых температур.
У этих веществ температура плавления при увеличении давления уменьшается. Например„вода при температуре около ОгС и давлении вблизи атмосферного является аномальным веществом, поскольку плотность льда меньше пло!.- ности воды. Однако с повышением давления лед переходит в другие модификации, для которых аномальность не имеет места.
Поэтому при очень высоком давлении н соответствуюуцей температуре вода существует в твердом состоянии в виде льда. К аномальным веществам, которые при достаточно высоком давлении остаются жидкими вплоть до очень низкой температуры, относятся, например, висмут и сурьма. Таблица 6 1'емпература плавления н удель- ная скрытая теплота плавлении аекоторых веществ Вещество гвл С кдж7кг Алюминий Беизал Вола Водород Глицерин Железо чистое Золота Медь Ртут ь Серебро Цинк 660,1 397,1 5,53 128,1 0,0 333,7 — 259,2 58,6 18,4 201,1 1535 277,1 1063 65,7 1083 205 — 38,87 11,8 960,8 !04,5 419,5 111 З 47.
Кристаллизация н ллавлснис 335 Переход из жидкого состояния в твердое происходит при определенных температуре и давлении. Этот процесс называется кристаллизацией. Обратный процесс называется плавлением. При плавлении необходимо затрачивать теплоту для перевода вещества из твердого состояния в жидкое без изменения температуры. Эта теплота называется скрытой теплотой плавления. При кристаллизации выделяется теплота кристаллизации. Таким образом, ситуация здесь совершенно аналогична той, которая была рассмотрена в й 30 при анализе перехола между газообразным и жидким состояниями. Так же как и рассмотренные там переходы, кристаллизация и плавление являются фазовыми переходами первого рода.
Скрытая теплота плавления, отнесенная к массе вещества, является удельной скрытой теплотой плавления (табл. 6). Удельной скрытой зеплотой плавления называется количество тепло~ы, необходимое для перевода 1 кг вещества из твердого состояния в жидкое при температуре плавления без изменения температуры. Кристаллизация и сублимация.
При достаточно малых давлениях переход в твердое состояние осуществляется сразу из газообразного состояния, минуя жидкую фазу, и, наоборот, при нагревании твердого тела при соответствующем давлении оно не плавится, переходя в жидкое состояние, а сразу переходит в газообразное состояние, как говорят, возгоняется, или сублимируется. Кристаллизация из газообразного состояния и возгонка также происхопят при определенных температуре и давлении и сопровождаются поглощением нли выделением скрьпой теплоты. Поэтому они также являются фазовыми переходами первого рода. Фазовые диаграммы. Соотношение между давлением и температурой при фазовом переходе первого рода лается формулой Клапейрона — Клаузиуса (31.4): бр 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
