А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 75
Текст из файла (страница 75)
К выводу воннового уравне- ннн Р = Р(Р)- (46.23) Соотношения (46.21) с учетом (46.23) имеют вид Ро + Р = Р(ро) + Р , др(ро) (46.24) т. е. , др Р =Р =Ре 2 др '46.25) называемое уравнением непрерывности. Сила, которая действует на массу в рассматриваемом объеме, обусловливается разностью давлений р на разные стенки пилиндра. Следовательно, уравнение Ньютона имеет вгщ $ 46. Теплоемкосп твердых гел 327 где др — =в. ср (46.26) Как будет видно нз дальнейшего, в является скоростью распространения волн. С помощью (46.25) можно исключить р' из уравнений (46.22), в результате чего они принимают такой вид: др' ди ди др' — +р,— =О, р,— + ' — -=О. дс дх ' дс дх Продифференцнровав первое из уравнений (47.27) по с, а второе — по х, и вычитая первое уравнение из второго, нахолнм дх ' ( дх ' — -- —,- =О.
дх' в дгх (46,28) Аналогично, дифференцируя первое из уравнений (46.27) по х, а второе — по с, и вычитая почленно одно нз другого, имеем дги ( дхи — — — — = О. дсх (46.29) нз которого следует, что (с)хссс(С) = в, (46З1) т. е. в является действительно скоростью распространения фронта волны. Решение уравнений (46.28) н (46.29) будем искать в следующем виде; Р' = РвехР(с(вс — (сх)], и = ивехР(с(вс — (сх)3.
(46.32) Подставляя (46.32) в (46.27), получаем алгебраические уравнения для определения рв и ив.. — свае + с)савив = О, с(с рв клав в = О. (46.33) Для того чтобы зта однородная система имела нетривиальные (ненулевые) решения для р', и ив необхолимо, чтобы определитель, составленный из коэффициентов уравнения, был равен нулю: ! с)сао г з х = — в ав+ й в ае = О, свао (46.34) откуда св = + в)с. (46.35) Соотношение (46.35) выражает связь, существующую между частотой волны в=2я)Т и волновым числом )с=2кс7., где Т и ),— период колебаний и длина Уравнения (46.28) и (46.29) описывают волну, распространяющуюся вдоль осн Х со скоростью в. Это непосредственно вилно нз того, что любая функция ф — х7в) является решением этого уравнения.
Поэтому фронт волны (= сопзс задается условием с — х(в = сопвс, 328 5. Твердые тела волны. Это соотношение называется дисперсионным. В данном случае оно имеет простой вид. Однако в других случаях оно может быть более сложным. Это соотношение позволяет определить частоты колебаний, а следовательно, н энергии соответствующих мод, если известны волновые числа. Определение числа мод. В теле конечного размера возникают стоячие волны. Границы тела свободно колеблются, на них никакие напряжения не возникают. Возьмем тело в виде куба объемом Ьз и поместим начало координат в одну из вершин. Рассмотрим плоские стоячие волны по оси Х. Обозначим Г, отклонение колеблющейся точки от положения равновесия. Поскольку поверхность куба свободна, на ней при колебаниях не возникают никакие напряжения, т.е.
граничное условие имеет внд 88~ ~х ~в=в б= ь Решение уравнения (46.29), удовлетворяющее условиям (46.36), имеет вид Г = ехр (йвг)(А з(п)ех + В сов/тх), (46.37) (46.36) где ез и (е связаны равенством (46.35). Для того чтобы удовлет.ворить (46.36), надо в (46.37) положить А = О, а на й наложить условие Ы; — ля(и=1,2, ...). Числа и„, и,. и, пробегают все возможные значения независимо.
Подсчет числа мод сводится к определению числа различных троек числа (и„, пи и,) илн, другими словами, к подсчету числа точек, декартовы координаты которых равны (и и„в,). Число этих точек в объеме с длинами сторон Лл„, Ьзз, и Лл, равно з5л„з5п,Ли,. Следовательно, число мод, соответствующее этим числам, тз (46.39) где Лн„= (Цл) е))с„и т.д., как это непосредственно следует из (46.38). В правой части (46.39) написаны дифференциалы д/» И дя„, потому что 2, много больше длины волн. Для подсчета д/з/ удобнее перейти к сферическим координатам (рис.
120), принимая во внимание, что к Й,. к, имеют лишь положительное значение. Это означает, что в (46.39) надо положить дя„азов, =(4л/8)ха е%. В результате для числа мод в интервале волновых чисел от х до я+ дя из (46.39) получаем выражение ,(я( з з" «(" (2я)з (46,40) Оно определяет дискретный набор волновых чисел, при которых возможно существование стоячих волн. Аналогичные формулы нахолятся и для других осей координат.
Следовательно, получаем следующие наборы волновых чисел, каждому из которых соответствует стоячая волна, составляющая моду колебаний: 8„= яи„/В )е = кп,/Т, й, = ял,/7. (46.38) (в„=1,2,...), (и„=1,2,...), (п,=1,2,...). 4 4б. Теплосмность таерлых тел ЗЮ где множитель 4я сохранен без сокращения на (2к)з в знаменателе для того, чтобы подчеркнуть произведенный переход к сферическим координатам. Далее воспользуемся соотношением (46.35), из которого следует, что ~ з )) ()~рз) з ) (46А1) и, следовательно, число мод с частотой колебаний между оз и оз+ с)ез равно 4яЬз ((22к)з ррз ~ (46.42) Плотюсть мод.
Число мод, отнесенное к интервалу частот, называется плотностью мод: р(оз) = аозт/йа (46.43) Поэтому из (46.42) следует, что 4кЬз Р (~) (2 (46А4) Аналогичные расчеты можно провести для квкщой из поперечных мод. В изотропном случае скорости обеих поперечных мод одинаковы. Обозначив скорости продольной и поперечной мод соответственно р„р и о„в и приняв во внимание, что плотность всех мод равна сумме плотностей отдельных мод, напишем 4)з в Р(ез)вв — Х з + з (2н) ~, р'„р' ) (46.45) !2С, Пространство волновьи на- сел Чтобы нс усложнять обозначений в (46.45), полная плотность мод показана той же буквоУЬ какой раньше в (46А4) была обозначена плотность мод одной из поляризаций. Отметим, что по самому смыслу предшествующих расчетов формула (46.45) не может быть справедливой для очень коротких длин нолй, поскольку мы пренебрегли атомной структурой твердого тела и проводили расчет так, как если бы оно состояло из непрерывно распределенной по его объему массы.
Для волн, длина волны которых существенно превосходит среднее расстояние между атомами, а смещения атомов из положения равновесия не очень велики, формула (46.45) является справедливой. Именно этот случай н интересен при рассмотрении теплоемкости при низкой температуре. С другой стороны, поскольку температура и )сТ очень малы, выражение (46.45) справедливо вплоть до частот, для которых лсо»)сТ.
В этой области ехр[лоу'(Щ~, 330 5. Твердые тала 4кузй зс 1 2 з Г озздоз (л(оз)) Р(го) лозого =' з з + з (2я)з (,оза оз ~~ ехр(ахо(()аТ)) — 1 о а о (46.46) Входящий в это выражение интеграл может быть вычислен методами функций комплексного переменного. Он равен | ~э Аач, .а ес — 1 15' о Формула (46.46) позволяет вычислить теплоемкость: (46.47) Такая зависимость теплоемкости от температуры вблизи температуры О К согласуется с данными эксперимента. Температура Дебая. Строго говоря, все проведенные расчеты, в частности вывод дисперсионного соотношения, справедливы только для волн с достаточно большой длиной волны.
Поэтому полученная на основе дисперсионного соотношения формула (46.45) также справедлива лшпь для таких же волн, т. е. для не слишком больших частот. Однако из замечаний о вкладе в теплоемкость волн с короткой длиной волны, сказанных в связи с формулой (46.45), следует, что мы не сделаем большой ошибки, если применим зту формулу также и для больших частот, вплоть до максимальной частоты го „„определенной таким образом, чтобы полное число мод при этом было равно фактически имеющемуся числу мод ЗИм Поэтому "макс Зс 1х — — ) р (оз) доз. (46.48) о Максимальная частота оз а зависит от упругих свойств материала. Вообще говоря, частота оз „может быть различной для различных направлений поляризации.
Однако для упрощения формулы в (46.48) взята некоторая средняя максимальная частота. Подставив выражение (46.45) в (46.48) и проинтегрировав, получим ЗХА~ ы (46.49) входящая в знаменатель выражения (46.16), велика и, слеловательно, среднее число мод с очень большими частотами экспоненциально мапо. Это означает, что вклад от них в общую энергию очень мал.
Поэтому, несмотря на то что выражение (46.45) для больших частот не справедливо, им можно пользоваться до сколь угодно больших частот, поскольку экспоненциальный множитель обратит в нуль вклад от этих частот в вычисляемые величины. Тенлоемкость при низкой температуре. Полная энергия всех мод колебаний, связанная с тепловой энергией, равна 4 46. Теплоемкость твердых тел 331 где (и) — средняя скорость звука, определяемая соотно- шением с ЗЛ 11пи + 2/П~е = 3/(С',ПУ)~. (46.50) Максимальную частоту, определенную в соответствии с условием (46.48), принято выражать через температуру Дебая 611ь получаемую из соотношения 1О =д (46.51) Обычно температура Дебая лежит в пределах от 100 ло 1000 К. Например, для меди она равна примерно 340 К, а для алмаза — около 2000 К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
