А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Примитивная решетка. В результате периодичности структуры кристаллической решетки должна существовать некоторая элементарная совокупность атомов, повторением которой во всех направлениях можно исчерпать всю не ограниченную в пространстве решетку.
Как элементарная совокупность атомов (для простоты выражений мы говорим об атомах, хотя это могут быть и молекулы, и ионы), так и порождаемая ее повторением решетка являются, вообще говоря, очень сложными образованиями. Поэтому всю решетку целесообразно разбить на некоторые, более простые подрешетки, каждая из которых была бы достаточно простой. Ясно, что эта подрешетка сама является решеткой. Наиболес простой решеткой является решетка, состоящая из параллелепипедов как элементарной совокупности атомов, повторением которой исчерпывается вся решетка (рис. 101).
8 43. Кристаиличсскис рсшстки 305 101 (43.1) где и„из, из — целые числа (включая нуль). Векторы а,, ав, а, называются базисными, а нх совокупность— базисом решетки. Длины ребер а„аз, аз называются основными периодами решетки. Параллелепипед с ребрами а,, аз, аз вместе с атомами в его вершинах называется элементарной ячейкой кристаллической решетки. Если в формуле (43.1) числа л„л„л, пробегают вссвозможныс нсзависимые целочисленные значения от — со до +со, то радиус-вектор г проходит все узлы решетки и нет никаких узлов решетки, которые не охватывались бы формулой (43.1). Такая решетка называется примитивной или решеткой Бране, а ее элементарная ячейка — примитивной ячейкой.
Конкретная кристаллическая решетка, вообще говоря, не может быть представлена в виде одной решетки Браве, а является совокупностью нескольких решеток Бране. Поэтому она называется сложной. Неоднозначность выбора базиса примитивной решетки. Выбор базиса даже примитивной решетки не является однозначным. В этом легко убедиться по рис. 102, где для двумерного случая параллельными пунктирными линиями показаны два возможных построения примитивной решетки с различными базисами.
В первом случае базис составлен векторами а, н аз, во втором— 1О1. Базис примитивной кристалликсской решетки 20 А. Н. Матвеев — 1488 Выбрав начало координат в некотором узле такой решетки, можно радиус-вектор любого другого узла представить в виде и1а1 + л2а2 + лзаз 300 5. Твердые тела 102 векторами а'„а',. Элементарная ячейка в первом случае является прямоугольным параллелограммом, во втором — непрямоугольным. Около кажного атома в узле решетки в плоском случае располагается четыре элементарных ячейки.
Следовательно, площадь, .занимаемая одним атомом в решетке, равная общей площади, деленной на число атомов, равна площади элементарной ячейки ~а! х аз~ в первом случае и ~аз х аз~ — во втором. Как и следовало ожидать, площади элементарныч ячеек в обоих случаях равны, хотя базисы различны. Все эти выводы без ~руда переносятся на трехмерный случай, в котором выбор элементарной кристаллической ячейки также неоднозначен, однако объем элементарной ячейки при всевозможных выборах базиса является неизменным и по формуле для объема параллелепипеда равным ч( ,У ! л, Ж' †'+ †'Ф Е.
143.2) то =а,.аз х аз. 102. Неолиозиачиость выбора базиса кристаллической ре- шетки Это есть объем, приходящийся в решетке на один атом. Различные примитивные базисы отличаются друг от друга длиной базисных векторов или, что то же самое, основными периодами решетки. Примитивная решетка с минимальными основными периодами называется приведенной.
Определить, является некоторая заданная решетка примитивной или сложной, не всегда легко с первого взгляда. Лучше всего это делать, рассматривая всю решетку, а не ее небольшую часть, равную примерно элементарной ячейке. Задача сводится к возможности проведения трех систем параллельных плоскостей таким образом, чтобы все атомы решетки оказались в точках пересечения плоскостей и не было бы атомов, не попавших в эти точки пересечения плоскостей. Рассмотрим в качестве примера плоскую решетку !рис.
103). Если в качестве базисных взять векторы а,, аз, то решетка представляется сложной, поскольку атомы, находящиеся в центрах квадратов, не попадают в узлы примитивной решетки, построенной на этом базисе. На первый взгляд кажется, что для учета этих узлов необходима еще одна примитивная решетка и, следовательно, исходная решетка является сложной, а не примитивной. Однако такое заключение неправильно. Возьмем в качестве базисных векторы а',, а',.
В этом базисе вся исходная решетка может быть представлена в виде одной примитивной решетки, т. е. исходная решетка тоже является примитивной. й 43. Кристаллические решетки 307 103 104 103. Опрспсчсннс примитивной решетки 104. К опрспспснню возможного порвана поворотных н зсрханьно-поворотной асей в кристаллической решетке 20* Это очевтшно, если посмотреть на систему пунктирных линий 1рис. 103). Трансляционная система. Ввиду бесконечной про гяженности решетка обладает кроме симметрий, характерных для твердых тел, трансляционной симметрией, т. е.
способностью совмещаться с собой в результате поступательного перемещения. Например, если примитивную решетку переместить вдоль одного из ребер элементарной ячейки на целое число основных периодов, то решетка совпадет или совместится с собой. Если сместить решетку на вектор г, определенный в (43.1), то решетка опять совпадает с собой. Поэтому вектор г называется вектором трансляции. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что вся примитивная решетка может быть получена из любого узла, если его подвергнуть всевозможным трансляциям параллельно базисным векторам.
Пространстненные группы. Элементы симметрии твердого тела образуют точечные группы симметрии. Если к ним добавить трансляционную симметрию, характерную для периодических бесконечных структур, то совокупность этих симметрий образует пространственную 1руппу. Поэтому можно сказать, что кристаллические решетки характеризуются пространственными группами симметрий. Элементы симметрив решетки. Прежде всего необходимо от.метить, что симметрии решетки в целом отличаются от симметрий се элементарной ячейки. Это очевидно из того, что элементарная ячейка выбирается неолнозначно, а различные элементарные ячейки могут иметь различную симметрию. Поэтому под симметрией решетки понимается симметрия именно решетки, а не ее элементарной ячейки.
Ясно, что всякая примитивная решетка имеет центр симметрии, которым может быть любой узел примитивного параллелепипеда, серелины его ребер н центры его граней. Плоскость симметрии также является элементом симметрии решеток. Что же касается осей и зеркально- поворотных осей симметрии, то они могут быть лишь осями 2, 3, 4 н 6-го периодов, а осн других порядков невозможны. Для доказательства заметим, что при нращенни атомы решетки перемешаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Рассмотрим атомы, лежащие в некоторой плоскости. Они создают плоскую кристаллическую решетку, узлы которой образуют систему правильных одинаковых многоугольников, переходящих при вращении друг в друга 308 5. Твердые гела и, следовательно, плотно, без промежутков, покрывающих всю поверхность. Рассмотрим точку О (рис. 104), в которой сходятся ребра примыкающих в этой точке правильных многоугольников.
Если р — число ребер, сходящихся в этой точке, то угол между ребрами равен 2к/р. С другой стороны, угол между сторонами правильного в-угольника равен я(и — 2)/и. При заполнении плоскости правильными многоугольниками без промежутков эти углы равны: 2к/р = к(п — 2)/и. (43.3) Отсюда следует, что р = 2в/(и — 2), (43.4) причем числа р и и должны быть целыми. Решениями этого уравнения в целых числах р и п являются значения и=3, и=4, я=б.
(43.эз Таким образом, поверхность без промежутков можно покрыть равнос~оронними треугольниками (я = 3); квадратами (и = 4): и правильными шестиугольниками (и = 6) (структура пчелиных сот): Других правильных многоугольников, способных без промежутков покрыть поверхность, не существует. К ним добавляешься, очевидно, возможная ось и = 2, соответствующая отражению в плоскости, проходящей через ось, а также тривиальная ось л = 1, соответствующая углу поворота на 2л. Таким образом, у кристаллической решетки возможны оси вращения только 2, 3„4 и 6-го порядков. Аналогично показывается, что и зеркально-поворотные оси могут быть только тех же порядков.
В результате получается, что число элементов точечных групп симметрии у кристаллических решеток конечно, а следовательно, конечно и число возможных симметрий. Кристаллические классы. Поскольку сложная кристаллическая решетка состоит вз решеток Браве, то классифицировать кристаллы в первую очередь целесообразно по симметрии решеток Бране, причем под симметрией, как это было только что сказано, понимается точечная симметрия.
Такая классификация была произведена Бране. Он показал, что хотя симметрия решетки не обязательно совпадает с симметрией любой примитивной ячейки, можно всегда найти ~акую примитивную ячейку, которая имеет те же элементы симметрии, что и решетка в целом. Это возможно для всех решеток, за исключением гексагональных, где примитивная ячейка не содержит всех элементов симметрии, которые имеются у решетки в целом.
Наименьшая из примитивных ячеек, включающая в себя все элементы симметрии решетки, называется ячейкой или параллелепипедом Браве. Имеется шесть типов примитивных параллелепипедов Браве и поэтому с учетом гексагональной решетки — всего семь типов решеток или семь типов кристаллических систем. Помещение в центрах граней нли в центре объема параллелепипедов Браве новых атомов не изменяет симметрии решетки, но добавляет новые ф 43. Кристаллические решетки 3??чз 105 и) г) н) л) б) д) 105. Кристаллические классы и типы решеток. Око."мн.
— «убнческал. б — гечрагональнан, — ~ежагоньчьнан, . ро боырн есчан, Š— ро бнчеснан, — о оклнннаа, 'чт 1. Что такое принитивиа» решетка? 2. Сводится пи, вообще говор», кристаллическая решетка к одной принитивной решетке? 3. Что такое приведенная принитивиая решетказ 4. Совпадает лч синнетрия решетки в целок с синнетрией ее алемеитарной нчейкиз Откуда ато видиоз 5. Какие порядки осей вращения возножны у кристаллической решетки! Кокни фигурок, покрывающин плоскость без пронежутков, ати оси соответствуют! 6.
Сколько тинов кристаллических систен имеется! Сколько инеется типов примитивных яаралпеленипедов Бране! 7. Как обозначаются направления и плоскости в кристаллах! трнкл кнаа 310 5. Твердые тела типы решетки. Поэтому всего сушествует 14 типов ренгеток Бране, распределенных по семи кристатшическим системам. Подробное опнсигие этих решеток является предметом кристаллографии, а мы здесь ограничимся лишь краткими замечаниями. На рис.
105 изображены решетки, принадлежащие к семи кристаллическим системам. В каждой из систем, за исключением гексагональной, первым показан основной параллелепипед Браве, а затем указаны решетки, которые получаются центрированием' обьема и граней основного параллелепипеда. Эта операция не изменяет симметрии решетки, но, конечно, примитивные ячейки получаемой в результате этого решетки уже не совпадают с основным параллелепипедом Бране и имеют симметрии, отличные от симметрии решетки. Что касается гексагональной системы, то у нее элементарная ячейка, имеющая те же элементы симметрии, что н решетка, не является параллелепипелом. Элементарный параллелепипед в этом случае указан на рисунке вместе с элементарной ячейкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
