А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Действительно, из формулы (46.12а) видно, что при достаточно болыпой температуре (Т вЂ” со)С«-+ЗА, а при Т- 0 К получаем Су + 3» [ефсТ)зз' ехр ( — аЯИ)зз- О. Температура Эйяптейна. «Элементарная порция энергии» е зависит от свойств вещества твердого тела, причем с увеличением «жесткосги» вещества эта величина возрастает, поскольку увеличивается частота аз колебаний в формуле (46.3). Эту энергию принято характеризовать посрелством температуры Эйнштейна Оэ, определяемой соотношением (46.12б) Формула (46.12а) может быть переписана: Зй (ОэДУ ехр (Оэ 'Т) ~ехр(Оэ! Т) — Ц (46.12в) Недостаточность теории Эйнштейна.
Однако в количественном отношении формула (46.12а) не согласуется с экспериментом, потому что она предсказывает экспоненциальное уменьшение теплоемкости Сг ехр( — Ц(ИТЯ при приближении к 0 К, а эксперимент лает лишь степенное уменьшение Сг Т". Таким образом, модель Эйнштейна для расчета теплоемкости непригодна и лолжна быть заменена другой. Наряду с указанным выше количественным несогласием результатов этой теории с экспериментом следует отметить ее другой недостаток, имеющий принципиальный характер. Счизается, что твердое тело есть совокупность независимых линейных осцилляторов, энергии которых задаются формулой (46.4), т. е. движения атомов в т вердом теле считаются столь же независимыми друг от друга, как движения атомов и молекул в газах. Но это заведомо неправильно, поскольку само удержание атомов около некоторых положений равновесия есть результат взаимодействия атомов между собой.
Поэтому в твердом теле нельзя рассматривать атомы как независимые, необходимо принять во внимание их коллективные взаимодействия. Именно учет этого взаимодействия атомов приводит к теории теплоемкости, согласующейся с экспериментом. Элементарные возбуждения. Система атомов, составляющих твердое тело, при 0 К находится в основном состоянии с минимальной энергией. Чтобы проанализировать 324 5. Твердые тела теплоемкость вблизи О К, необходимо найти те энергии, которые может иметь система атомов вблизи О К. Предположим, что некоторый атом в результате сообгцения ему энергии извне движется из положения равновесия в некотором направлении.
Сила, стремящаяся вернуп его в положение равновесия, есть просто сила отталкивания со стороны других атомов решетки. Поэтому, выходя из положения равновесия, атом действует с определенными силами на соседние атомы, которые в свою очередь должны покинуть свои положения равновесия, в результате чего движение приобретает коллективный характер. Такое коллективное движение атомов когда смещение одного атома передается соседнему, затем следующему соседнему и т.д, есть не что иное, как звуковая волна в твердом теле. Таким образом, элементарными возбуждениями является звуковые колебания.
Нормальные моды. С учетом только что описанного взаимодействия система атомов должна рассматриваться как совокупность связанных осцилляторов. В этом случае любое движение системы атомов может быть представлено как суперпозиция нормальных колебаний или нормальных мод системы. Каждая из нормальных мод кроме прочего характеризуется своей частотой, а энергия этой моды задается формулой (46.3), т.е. мода частоты ео, имеет энергию а; = йоь (46.13) где постоянная для всех мод энергия оо отброшена.
В данном твердом теле может быть возбуждено одно, два колебания (и больше) данной моды. Если возбуждено л колебаний данной моды, то полная энергия этих и колебаний, очевидно, равна яь = луков (46Л4) Вероятность того, что с данной модой связана полная энергия е, считается под- чиняющейся распределению Больцмана и, следовательно, У,-„= А ехр [ — е;„/()еТ)1 = А ехр [ — айвой)еТ)3, где А — нормировочный множитель. Эта формула аналогична (46.5).
С ее помощью можно вычислить среднюю энергию, приходящуюся на рассматриваемую моду, а разделив эту энергию на энергию одного колебания моды, можно сразу же получить среднее число е',л;) колебаний данной моды, которые возбуждены. Вычисления совершенно аналогичны в математическом смысле тем, которые привели от формулы (46.5) к формуле (46.10), и дают следующий результат: (л;) = '" = — лЛщУи = (46.16) Теперь вопрос вычисления полной энергии возбуждения свелся к нахождению частот нормальных мод и их числа 'Фононы.
Выражение (46.13) для энергии, связанной с модой колебаний частоты еоь по аналогии с соответствуюшей формулой для онер~ни фотонов, наводит на мысль рассматривать такую моду как квазичастицу. Это представление было, в сущности, уже использовано, когда в (46.15) формула Больцмана была применена для определения средней энергии в моде. Такая квазичастица, связанная с модами звуковых колебаний, называется фоновом Введение понятия фононов является плодотворным приемом, значительно облегчающим рассуждения. Оно также весьма эффективно с чисто математической точки зрения, так как формальные математические приемы 1 46.
Телпосмкость твердых тел 325 вычисления различных величин, связанных с фононами, аналогичны соответствующим вычислениям, относящимся к фотонам. Эта аналогия обусловливается тем, что в обоих случаях мы имеем математически одинаковые волновые процессы. Однако физическая сущность этих процессов совершенно различна. Поэтому из факта существования фотонов как частил, которые обладают соответствующей энергией, обнаруживаемой экспериментально, и могут существовать изолированно, отнюдь не следует, что и фононы являются частицами с аналогичными свойствами. В современной физике имеется большое число других аналогичных квазичастнц, являющихся нормальными молами соответствующих возбуящений (магноны, поляритоны, экситоны и т.д.).
Сказанное выше о фононах справедливо также и относительно этих квазичастиц. Модель Дебая. В твердом теле возможно распространение продольных и поперечных волн с различными скоростями. Поперечные волны могут иметь два различных направления поляризации. Таким образ!,ьз можно говорить просто о длинно- волновых молах звуковых волн с тремя различными поляризациями, каждая нз ко!орых, вообще говоря, различна и может зависеть от направления распространения волны Однако для упрощения будем рассматривать случай изотропного твердого тела.
Вычисление числа мод для каждой поляризации совершенно одинаково. Теория теплоемкости Дебая основывается на расчете числа мод звуковых колебаний твердого тела. К сказанному выше следует лишь добавить, что речь идет о достаточно длинноволновых модах, поскольку возбуждения вблизи температуры О К и частоты колебаний должны соответствовать достаточно малым энергиям, т.е. быть малы ми. Дисиереюшюе соотюшение.
Прежде всего выведем волновое уравнение, например, лля продольных волн, распространяющихся вдоль оси Х (рнс. 119). Пусть имеется тонкий цилицдр, площадь основания которого 5 и высота Ьх. Обозначим: р(х, !) — плотность вещества, а р(х, !) — давление, которое в нем возникает в результате изменения плотности; и(х, !) — скорость колебаний частиц вещества вдоль оси Х. Эта скорость не является скоростью распространения волны, а во много сотен раз меньше ее.
Напишем закон сохранения ма»хы в объеме: изменение массы в объеме, отнесенное ко времени: д(р5Ьх)/дг, равно разности масс, вошедших в обьем и вышедших из него: — — = 5р (х, !) и (х, !) — 5р (х + Ьх, !) и (х + Ьх, г) = -5 Ьх д (р5 Ьх) д (ри) д! дх (»(б.(Л О 1. В чен состоит принципиальный недостаток недели Эйнютейно дпл теплоенкостн твердого тело» 2. Почелу напмчне-злектроммой теплоенкостн в металлах пралвляется пни»ь при близких к Е К тенпературах» 3.
Что такое фонан! Какие другме зленентарные возбуждения еы млею» К Как тенпературо Девая свлзама са средней скоростью звука в выцестлв» 5. Откуда следует, что кривая теплоенкости как функцил отнаюения температуры к температуре Дебел леляетсл универсальной» 326 5.
Твердые тела где последняя величина разложена в ряд Тейлора и сохранен лишь первый член, линейный по Ьх. Остальные члены можно отбросить, поскольку дальше Ьх принимается за бесконечно малую величину. После сокращения обеих частей (46.17) на Ядгх получаем уравнение др д(ри) — + — — -- =О, дг дх 119 (46.18) РЫх ди!д1 = Кр(х, 1) — Бр(х + г)х, 1) = — 515х друдх (46,19) нли ди др р — + — =0, дг дх (46.20) Изменения плотности и давления в среде можно считать малыми: (46.21) Р = Ро + Р ° Р = Ро + Р где ро н ро — постоянные плотность и давление в среде при отсутствии волны; р' и р' — изменения плотности и давления, связанные с волной. Обе эти величины являются малыми. Все дальнейшие вычисления проводятся с сохранением величин первого порядка малости по р' и р'.
Подставляя (46.21) в уравнения (46.18) и (46.20) н сохраняя лишь линейные по р' и р' члены, получаем: др' ди ди др' — -+ао — -=0, р,— + — =0. д1 де ' д1 дх Этих двух уравнений недостаточно для определения трех неизвестных величин р', Р' и и. Необходимо иметь еще одно уравнение, содержащее зти величины. Им является уравнение состояния, связывающее давление и плотность: 119.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
