А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Это изменение энтропии равно Задачи 2Л. Пользуясь законом равнораспределения энергии по степеням свободы, найти внутреннюю энергию 2 л водорода и 3 л углекислого газа црн давлении 1Оз Па. 22. Происходит политропическое расширение газа с показателем политропы н = 2. В начале расширения Т„= 350 К, ро — — 19,6 10 Па н Ре = 5 л, в конце расширения р = = 1,96 1Оз Па. Найти объем и температуру газа в конечном состоянии.
2.3. Один кмоль илеального газа, взятого прн нормальных условиях (ре = 1013 гПа; Те = = 273,15 К), сжимается в полнтропическом процессе с показателем полнтропы н = 1,25 до объема, в два раза меньшего первоначалъного. Каковы давление н температура в конце пронесся? 2.4. Вычислить свободную энергию г, энтропию Я и энтальпию Н для 1 мз гелия при температуре 1227'С и давлении 100 Па. 25. Вычислить изменение свободной энергии и энтропии 50 см' гелия при алнабатическом расширении до обьема !00 смз, если в начальном состоянии земпература гелия 1227'С и давление 100 Па. 2.6. Найти изменение свободной энергии н энтропии 50 смз гелия прн изотермическом расширении до объема 100 смз, если начальная температура 1500 К и давление 1ОО Пц 2.7.
Имеется 28 г азота при температуре 127 С и давлении 0,98. 10' Па и 64 г кислорода при температуре 27'С н том же давлении. Газы смешиваются прн постоянном давлении, температура выравнивается. Колебательные степени свободы в данном интервале температур не эффективны. Найти изменение энтропии и температуру смеси газов после выравнивания температуры. 2.8, Происходит перемешивание 1 моль молекул азота, имеющего начальное давление 0,98 !Оз Па, н 2 моль молекул кислорода с начальным давлением 1,96 !Оз Па.
Температуры газов одинаковы и равны 300 К. Найти изменение энтропии при перемешнвании. 2.9. Идеальный газ сжимается так, что его внутренняя энергия не изменяется. Найти его молярную теплоемкость. 2ЛО. Проанализировать поведение термодннамнческих функций спиновой системы, вычисленных в примере 23.3, при отрицательной термодннамической температуре.
У к а з а н н е. Воспользоваться таблицами для гиперболических функций. 2.П. В цилиндрическом сосуде высотой й в поле тяжести помещен 1 моль молекул идеального газа, масса молекулы которого яь Найти теплоемкость газа в сосуде (прн условии мдй 4 Щ. 2Л2. В результате некоторого процесса молекулы двухатомного газа начинают диссоциировать. На сколько увеличится давление газа, если лиссоцинруют 10% молекул при неизменной температуре? 2.13. Какова концентрация молекул идеального газа при Т= 290 К и р = 10' Па? Ответы 2.1.
Гн = 490 Дж; (?го = 882 Дж. 2.2. Р=(р~/р)'" !'е = — — 15,8 л; Т= [р$')(реЩ Те =!036 К 2.3. р = 2,33.10' Па; Т= 324,8 К. 2.4. г" = — 2460 Дж; Я = 1,7 Дж/К; Н = 250 Дж. 2.5. 6Е = 0,0455 Дж, 113 =- О. 2.6. М' = — 0,00345 Дж; ?(5 = = 2,3 10 ~ Дж/К. 2.7. 65 = 8,3 Дж/К; ! = 60,3 С. 2.8.
68= = 17,3 Дж)К. 29. С =- — Сю 2Л1. С = Сг-~- (К/12)(тдй|ЯТЯз. 212 !О 213 25.10з' м-з Основное паложеннег одинаковые микрочастипы неразличимы между собой по опрелелению. По поведению неразличимые частицы бывают двух типов Ц ге, число которых в ланнохг «вантовом сосгояни» мажег быть произвольным; 2) те, число которых в данном квантовом состоянии не больше елиницы )г е либо О, либо 1).
Лналогняг В однолт и том жс месте пространства не может олновременно нахолнтьс» больше одного непроницаемого тверлого гела. Если же объемами являютсв, например, облака из пара или лыма, то возможно одновременное пребывание и многих объектов этого рола е олной н той же области пространства. Различные модели поведения частиц Обсужластся зависимость молсли поведения частил от ях свойств. Анализируется смысл понятия неразличимости частил.
Обсуждается «арактср заэиспмости статистики от модели повеления частил и дастся обпзая характеристика различных молглсй. Модель Максвелла — Больцмана. При рассмотрении системы многих частиц (см. гл. 1) предполагалось, что они обладают какнми-то признаками, которые позволяют отличать нх друг от друга, хотя частицы и принимались совершенно одинаковыми. В связи с этим при подсчете микросостояний два мнкросостояния, которые отличаются тем, что две частицы поменялись местами, рассматривались как различные.
Такая модель различимых частиц называется моделью Максвелла — Больцмана, а получающаяся прн этом статистическая теория — статистикой Максвелла — Больцмана. Неразличимвсть частиц. Нам неизвестны признаки, по которым можно было бы отличить одну частицу от другой, потому что частицы, по определению, совершенно идентичны. Представим себе две совершенно одинаковые частицы в некоторых состояниях. Тогда ясно, что в физической ситуации ничего не изменится, если частицы поменять местами.
Если взять два электрона, то их неразличимость еше более очевидна, потому что отпадают соображения о возможных различиях в их внутреннем состоянии. Если принимать частицы неразличимыми, то получаются другис правила подсчета микроскопических состояний, чем в модели Максвелла— Больцмана. ° В статистике Ферми — Дирака имеется еконкуренции» при занятии состоянияз если состояние занято какой-то частицей, то другая занять это состояние не пожег.
В статистике Вазе — Эйнштейна такая «конкуренция» отсутствует: частица пожег занять некоторое состояние неэавиСино от тоге, занято ли оно другини частицани или свободно. Ясно, что если нкоикуренцня» в статистике Ферни — Дирака несу- 200 3. Электронный н фотонный газы Модели Бозе — Эйнштейна н Ферми — Днрвка. Модели, в которых частицы рассматриваются как неразличимые, называются моделями Бозе — Эйнштейна и Ферми— Дирака. Между собой эти модели различаются по поведению частиц в отношении микро- состояний.
Если в данном состоянии может находиться не более одной частицы, то такая модегь называется моделью Ферми — Дирака„а если может находиться сколь угодно много частиц, то моделью Бозе — Эйнштейна. Подчеркнем, что состояние характеризуется не только своей энергией, но и другими параметрами.
Например, состояния с одинаковой энергией, но отличаюгцнеся направлением импульса частицы, являются разными. Поэтому более точная формулировка гласит: в модели Бозе— Эйнштеина в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, а в модели Ферми — Дирака — не болыпе одной. Статистическая теория, основанная на модели Бозе — Эйнштейна, называется статистикой Бозе — Эйнштейна. Статистическая теория, основанная на модели Ферми — Дирака, называется статистикой Ферми — Дирака. Формулы статистинц Максвелла — Больпмаиа как предельный случай формул статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака. Реальные частицы являются неразличимыми, н поэтому они не соответствуют моделп Максвелла — Больцмана, они подчиняются либо стазистике Бозе — Эйнштейна, либо статистике Ферми— Дирака. Как было показано В.
Паули, частицы с целым спином подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна, а с полуцелым — статистике Ферми — Дирака. Нет частил, подчиняющихся статистике Максвелла — Больцмана, и тем не менее она правильно описывает поведение частиц в очень большом числе практически важных случаев, с которыми наиболее часто приходится встречаться. Это обусловлено тем, что формулы статистик Бозе — Эйнштейна и Ферми — Дирака переходят в формулы статистики Максвелла — Больцмана, когда число доступных для частиц состояний значительно больше, чем число частиц„которые могли бы занять зти состояния, или, другими словами, когда среднее число часгнп. приходящихся на одно состояние, мало. В практике наиболее часто всгречаегся именно гакая ситуация.
Особо отметим, что в предельном случае речь идет о совпадении формул, а отнюдь не о том, что изменяется поведение частиц. Частицы с полуцелым спином всегда подчиняются статистике Ферми — Днрака, а с целым — Бозе — Эйнштейна. ° щественна, то ее результаты должны быть близки к результатан статмстнкн Бозе — Вйнщтейнаг еконкуренцняв между частицами прн занятна состояимя несущественна, если чмспо частивз претендующик иа зто, , т.
е. если попо среднее число частиц, прикодящикся на одно состояние. В атон случае распределенмя Ферни — Дивана м Бозе— Вйнщтейна совпадают н сводятся к распределеннго Мансвелла — Больцнана. б 25. Расцрелеление Ферми — Дирака Ю1 б 25 Распределение Ферми — Дирака Распределение Ферми — Дирака выводится комбинаторными методами прямым подсчетом числа состояний при фиксированном числе частиц и полной энергии. Анализируется предельный переход к распределению Гиббса.
Подсчет числа состояний. Квантовые состояния частицы характеризуются дискретным набором возможных энергий — энергетическими уровнями. Каждый энергетический уровень включает в себя ряд состояний, одинаковых по энергии, но различных по некоторым другим характеристикам. Задача состоит в определении различных способов занятия частицами доступных для ннх состояний в соответствии с предписанными им моделью «правилами поведения». Д„чя наглядности представим различные энергетические уровни в виде больших ящиков, а различные состояния в пределах олной и той же энергии — в виде маленьких ящиков внутри больших (рис.
53). Число болыпих ящиков равно числу уровней энергии, а число маленьких ящиков в большом г-м ящике равно дь Число маленьких ящиков в различных больших ящиках, вообще говоря, различно. В этой модели частицы представляются шарами, которые необходимо размещать по малым ящикам, причем в модели Бозе — Эйнштейна в каждый маленький ящик можно поместить любое число шаров, а в модели Ферми — Дирака — максимум один шар.
Шары между собой неразличимы. Обозначим число шаров и и проведем расчет числа возможных размещений шаров для модели Ферми — Дирака. В каждом из больших ящиков может находиться и! частиц, причем и! < < дь Полное число частиц во всех Ящиках Равно л = 2 и;. ПРежде всего найдем число способов, сколькими и! не различимых между собой предметов могут быть размещены по д; местам. Эта задача была уже решена и ответ дается формулой (5.4), которая для рассматриваемых величин принимает вид Г! = д! (,!(л!! (д; — пг)!3. (25.1) В каждом нз больших ящиков микросостояния независимы, и не играет роли, какие нэ и частиц находятся в каком-то ящике.
Поэтому полное число состояний в совокупности всех больших ящиков равно произведению числа микросостояний в отдельных больших ящиках: (25.2) ! д! ! ! где П вЂ” произведение: П «з! = пзпг пЫ (25.3) В (25.2) имеется в виду, что ! в произведении учитывает все большие ящики. Формула (25.2) решает задачу подсчета числа микросостояний для модели Ферми— Дирака. Распределение Ферма — Днрака.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
