А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Поэтому можно считать, что число (27.9) где )г — объем, занимаемый газом. Интегрирование по пространственным переменным дает значение объема )г, а при интегрировании по импульсам можно перейти к сферическим коорлинатам в импульсном пространстве. Учитывая сферическую симметрию, можно положить г)р„г) р,г) р, = 4лрг с(р. В результате вместо (27.3) получаем 4яд)г ) рг др (2„Л)г ] ехр(а+ рг/(2„,ЛТ)]+1 о где () = 1/()гТ).
Произведя в (27.4) замену переменных 1 = рг/(2т„АТ), получим б 27. Злсктроилый газ 207 свободных электронов равно числу атомов. Если плотность металла р, а масса атома гп„то и = рр/е, и, следовательно, (27.10) принимает вид (27.11) Оценим числовое значение и. Например, для меди р = 8,8 10' кг/мз, гпэ = = (М/л)х) = 0,063/(6,02 10~') кг, где М вЂ” молярная масса. Подставляя эти значения при Т= 300 К в (27.11), находим а = — 271. Это означает, что ехр)'и+ е/()с7)1 в знаменателе распределения ферми — Дирака весьма мала вплоть до очень больших энергий электрона.
В данном случае вплоть до энергии с 265)сТ имеем е"тмсг> < <<е о, т.е. экспоненцнальным слагаемым в знаменателе распределения можно пренебречь. Поскольку )сТ= 1,38 10 " 300 Дж = 2,59 10 з эВ при Т= 300 К, этим слагаемым можно пренебрегать вплоть до энергии электронов около 6,86 эВ. Эта энергия весьма значительна, и в металле лишь очень немногие свободные электроны могут иметь такую энергию нли превосходить ее.
Поэтому лля подавляющего числа электронов экспоненциальный член в знаменателе распределения Ферми— Дирака можно положить равным нулю. Анализ распределения Ферми — Дирака. Введем новую величину р, которая с а связана соотношением (27.12) р = — айТ. То~да распределение (25.13) может быть записано в виде (27.13) При е; < р„Т- 0 К имеем ехр~(а, — р)/()сТ))-+0 и, следовательно, (и;/д)- 1, т.е.
в каждом квантовом состоянии с энергией, меныпей р„находится по частице. При г > > р, Т вЂ” 0 К имеем ехр Цгч — )г)/()гТ)] -ь со н, следовательно, (и,/д,)- О, т. е. квантовые состояния с энергией е > р свободны (в этих состояниях нет ни одной частицы). Вид распределения Ферми — Дирака для Т= 0 К показан на рис. 54.
Такое распределение обусловливается необходимостью соблюдения двух требований. Во-первых, ° В металлах эмергил Ферми имеет поглядков истолкование как максилальиая змергия злектроиов лри температуре би. В диэлектриках и попупроводииках энергия Ферми приходится иа запрещеимую для электронов зону эиергий и поэтому ею ке может в примпиле обладать какой-либо электрон. Эиергил Ферми определяется как то зиачелие энергии, при котором распределеиие Ферми — Дирака равно половике. Это определеиие справедливо и для металлов.
208 3. Электронный н фотонный газы 54 55 а,/е 0,5 (27.14) т. е. не зависит от температуры. Однако, как это видно из общего определения а, энергия Ферми зависит от температуры. Эта зависимосп, содержится в членах разложения а, которые следуют после учтенного члена (27.10).
Расчет приводит к формуле н=рн 1 — — — +.... (27.15) Харвктерисаическая температура. Зависимость энергии Ферми от температуры становится существенной, ко~да второй член в скобках в правой части (27.15) приблн- 54 Раснрелеленне Ферми — Днрака прн Т О К 55. Раснрелеленне Ферми — Дн- рака лрн О К с ТЧТГ полная энергия должна быть минимальна и, вовторых, должен соблюдаться принцип Паули.
Поэтому электроны начинают заполнять квантовые состояния с самого нижнего энергетического уровня, последовательно занимая квантовые состояния, причем каждое из них лишь одним электроном. После того как все электроны оказы- ваютсЯ исчеРпанными, заполнение пРекРащаетсЯ Послед нии электрон занимает уровень с максимальной энергией. Этот уровень называется уровнем Ферми, а энеРгия УРовня — энергией Ферми.
Однако ~акое наглядное определение имеет смысл лишь в применении к свободным электронам в металле. В общем случае такое определение не точно. Например, в диэлектрике энергия Ферми приходятся примерно на середину запрещенной зоны и заведомо нет электронов, которые обладают такой энергией. Поэтому более общее определение гласит: энергией Ферми называется такая энергия, при котоРой распределение Ферми — Дирака (25.13) принимает значение '~а. Из (27.13) видно, что (г является энергией Ферми.
При Тэ О К распределение Ферми — Дирака размывается в окрестности уровня Ферми (рис. 55). Причина размывания — взаимодействие электронов с тепловым движением атомов. Поскольку средняя энергия теплового движения атомов имеет порядок )сТ, то и область размывания энергий электронов вблизи уровня Ферми также имеет порядок кТ. Уровень Ферми. В соответствии с (27.12) определение энергии Ферми сводится к определению параметра и. В первом приближении она равна рн = — н(сТ, где а задается выражением (27.10) при д = 2: 6 27.
Электронный газ 209 жается к единице, т. е. при температуре Три ро,я, (27.16) которая называется характеристической температурой или температурой Ферми. С учетом (27.14) формула (27.16) может быть представлена в виде (27.17) Оценим порядок величины этой температуры, например, для меди. Поскольку значение и для меди уже было вычислено при Т= 300 К в связи с (27.1!), для Тг по формуле (27.10) находим Ту = 8,13.104 К. Это значение много больше температуры плавления меди. Характеристические температуры всех остальных металлов также имеют порядок 104, а температуры их плавления — порядок 10'.
Поэтому для подавляющего большинства металлов в тверлом состоянии соблюдается условие Т<< Тг и в качестве энергии Ферми в них можно взять ро, а распределение электронного газа в них очень мало отличается от распределения Ферми — Дирака при 0 К. Такой газ называется сильно вырожденным Ферми-газом. Температура Ферми является характерной температурой вырозкления газа и поэтому называется также характеристической.
Распределение импульсов электронов. С учетом (27.13) и (27.4) число электронов Йл, импульсы которых заключены между р и р+ з)р, равно 8л (г р с(р (2КЛ)з ехр ((б — р)7(/сТД + 1 ' В случае вырождения экспоненпиальиый множитель в знаменателе можно положить равным нулю. Распределение электронов по скоростям. Положив в (27.18) р = що, найдем: щзр зс) щ язаз ехр((б — р)7()сТ)3 + 1 ' 2 Распределение электронов по скоростям изображено на рис 56.
При Т = 0 К отсутствуют электроны со скоростями, большими з.ех, которые соответствуют энергии Ферми. 1. Какие обстоятельство делают возножнын представить свободные злектроны в неталле как электронный газз 2. Как зависит знергия Ферми от всестороннего давпеният 3. Каков порядок величины характеристической тенпературы дпя болыиинства неталлов и какие зто имеет следствия! 4. При каких условиях зпектронная теплоенюкть нетаппов сугиественназ 14 А.
Н Матвеев — 1488 210 3. Электронный и фотонный газы Распределение электронов по эиерг иям. Переходя в (27 18) от переменной р к переменной е = рэ,э(2эи,), получаем формулу распределения электронов по энергиям: /2 1зы ты л б,, = ---,-~ '-~ — — — — —, () = . (27.20) 2кт 1 л5' т) ехР(()(и — (т)э 1+ 1 ' )сТ Вид этого распределения показан на рис. 57. Средняя энергия электронов.
При Т= 0 К средняя энергия и )'аул, о * 3 (и> = 5 ) ди, а где учтено, что при Т = О К в распределении при- сутствуют только электроны с энергиями и < ро и, сле- довательно, интегрирование сводится к пределам (О, ро). Кроме того, принято во внимание, что в этом случае знаменатель в (27.20) равен единице и распределение по энергиям принимает внд (27.21) 4 "айза (27.22) При отличной от нуля температуре для определения (и) необходимо пользоваться (27.20) со значением р, даваемым выражением (27.15). Вычисления приводят к следующему результату: (и) 3„о 1+ 5ят ~~ + Внутренняя энергия и теплоемкость. На основании (27.23) внутренняя энергия 17 электронного газа 3 1 лэ)стл (7=л( >= — ро+ — -- 7', 5 4 1со где п — общее число электронов в металле.
Если оно равно постоянной Авогадро Хм то (7 есть внутренняя энергия моля электронов. Молярная теплоемкость Сг при по- стоянном объеме на основании (27.24) равна эс О(7'~ эт' lсТ л' 'кТ (27.25) 1, гт), 2 р, " 2 ро По закону Дюлонта и Пти, Сг= ЗА, что неизмеримо больше (27.25), поскольку в нормальных условиях всегда )сТ«ро. Это означает, что теплоемкость металлов за счет электронов пренебрежимо мала. Физически это обстоятель- (27.24) 5а Распределение электронна по скоростям при Т- О и Т= О 5Ъ Распределение электроноа по энерспнм при Т, > О й 27.
Электронный газ 211 ство обусловливается тем, что прн обычной температуре в тепловом движении принимает участие лишь небольшая часть общего числа электронов, а именно лишь электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми. Таким образом, вырожденный электронный газ не ведет себя аналогично обычному газу и, в частности, его вклад в теплоемкосгь нельзя рассчитывать простым применением к нему теоремы о равно- распределении энергии по степеням свободы. Утверждение о несущественности электронной теплоемкости справедливо лишь для высоких температур, При достаточно низкой температуре электронная тепло- емкость превосходит теплоемкость, обусловленную колебаниями атомов решетки твердого тела, поскольку последняя уменьшается -7' и при очень низких температурах становится пренебрежимо малой (см. э 46).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
