А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Равновесное состояние определяется требованием максимума числа состояний Г. Это число зависит от иь т.е. распределения частиц по энергии. При вычислениях удобнее оперировать не с Г, а с !и Г. Бели бы числа ц! 53 были независимыми, то условие экстремума для 1пГ выглядело бы так: д!и Г 61пГ = ,'à — Ьн; = О дн; и ввиду независимости н, свелось бы к уравнениям (д1п ГСднс) = О. Однако в действительности н; не являются независимыми величинами. Они связаны условием постоянства числа частил и =2 3,=2 2 нс=н, которое означает, что (25.5) л, ! 4,-5 т дн Ьн=2)л — Ьн;=О= ~) Ьно 2л днс (25.6) (25.7) л,-з 3,-3 откуда следует, что Ь(С = ~ — Ьн, = ~с~а!бис = О. х дд(7 днс (25.8) Условия (25.4), (25.6) и (25.8) должны быть удовлетворены одновременно, а н, в каждом из них не могут рассматриваться независимыми.
Умножим равенства (25.6) и (25.8) на неопределенные постоянные — и и — () соответственно и сложим их: (Ь)п à — РЬ(С вЂ” нбл) = г ~ — - - бе! — и Ьл! = О. (25.9) т Г д!пГ дн, В этом уравнении постоянные () и ес взяли на себя зависимость величин н, между собой, поэтому все н; в (25.9) могут считаться независимыми. Следовательно„ множители при Ьн, должны быть равны нулю и условие экстремума записывается в виде л, 2 Ис =4 !!си с ! Оси! 3,!пи! 3шис нни ии Изложенный метод нахождения экстремума называется методом неопределенных множителей Лагранжа.
Поскольку значения н; являются очень большими, при вычислении 1пГ используется формула Стирлинга (5ЛЗ), Тогда (25.11) Ю2 3. Элеилронный н билонный газы и условием постоянства энергии 2 еснс = (l, 53, Модель распределения час- (25 ГО) тип по анерсляы й 25. Рзапрсдслевнс Ферми — Дирака 2ОЗ и, следовательно, (25.10) принимает вид 1и — '- — 1 — (3е; — и = О. /д, 1,п; (25.12) Потенцируя, находим (25.13) где азад; — число частил„приходящихся на одно квантовое состояние с энергией сь Формула (25.13) называется распределением Ферми — Дирака.
Предельный переход к распределению Гиббса. При очень малых значениях и;/д, экспоненциальный множитель в знаменателе правой части (25.13) должен быть значительно больше единицы. Поэтому единицей в знаменателе можно пренебречь и записать распределение в виде л,.
= Ад,е Уь, д; ~з ехр (п+ беД + 1 ' (25.15) ° кКонкуремция» нежду частицами при занятии состояний в статистике Ферми †Дира чрезвычайно интенсивна, пасколыгу занятое какой-либо частицей состояние зопреаэемо для другнк частиц. Можно в определенном снькле говорить, что частица, закипающая некоторое состояние, «оттплкивает» от этого состояния другие частицы, как бы «удерживает» ик ма мекоторон удалении от этого состояния. «Конкуренция» между частицами ослабевает, когда число допустинык для мик состояний нного балы»в числа частиц.
где А = е ". Выражение (25.14) совпадает с распределением Гиббса (7.5), представленным в виде (7.б), поскольку, по определению, вероятность У(е„) в (7.б) пропорциональна числу частиц а» имеющих энергию е„. Таким образом, распределение Ферми — Дирака Переходит в распределение Гиббса при (лг/д;) «1. Определение параметра )3. Предельный переход можно использовать для выяснения смысла параметра )3. Поскольку в (25.14) иам извес~но, что (3=1/()сТ), то и в (25.13) этот параметр имеет то же значение.
Смысл параметра (3 можно выяснить также непосредственно в рамках (25.13), не обращаясь к предельному переходу. Для это~о, найдя выражение для энтропии и сравнивая его с выражением энтропии при постоянном объеме дб = ИЦТ, получают )3 = 1/(/сТ). Нет необходимости приводить здесь этот вывод. Определевие параметра сс Параметр а определяется нормировкой па полное число частиц, выражающей условие сохранения числа частиц: 204 3.
Электронный и фотонный газы Распределение Бозе — Эйюнтейна распределение Бозе — Эйнштейна выводитси комбииаториыми методами, примым расчетом числа ссстоаиий при фиксированном числе частиц и полной энергии. Указываетса на предельный переход к распределению Гиббса. В мо ели Бозе — Эйнштейна в ка ом (26.1) 1зА)г ." 1г Ха (а д (е(а- . Записанная в (263) последовательность означает следующее. В малом ящике 1, находатсЯ шаРы 1в )г,, 1г; в Ящике тн шаРов нет, в Ящике 1,- находигсЯ один шар ), в ящике 1, находятся шары 1а„э ... Возьмем конкретный ящик в качестве первого в (26.1), тогда, очевидно„число возможных различных заполнений равно числу перестановок всех элементов, стоящих после этого первого юцика.
Число этих, элементов равно д; — 1+ пи а число перестановок (д; — 1+ и;)1 Поскольку такое число перестановок возможно в каждом случае, когда на первом месте стоит конкретный юцик, то всего для всех д; ящиков число различных комбинаций равно д;(д; — 1 + и;)! Весь этот расчет велся в предположении различимостн шаров и существенности порядка, в котором следуют малые ящики. Но поскольку важно лишь только, сколько шаров находится в конкретном малом ящике, и не важно, каких шаров н в каком порядке следуют мадые ящики, необходимо полученное число различных комбинаций шаров и юциков разделить на д;1н,.1 Поэтому для полного числа различных микросостояний н; частиц в квантовых состояниях дв принадлежащих энергии еь получаем Г„. = [д;(д; — 1 — н;)(~т'(д,(д;1).
(26.2) Общее число микросостояний равно (26.3) Распределение Бозе — Эйнштейна. Все дальнейшие рассуждения н вычисления точно такие же, как и в случае распределения Ферми — Дирака, начиная от формульз (25.2). Формула, эквивалентная (25.1б), имеет такой же вид, но с 1и Г, получаемым из (26.3). Вместо (25.12) и (25.13) соответственно находим: 1п~ — '+ 1~ — ()е; — а = О, /д, и, (26.4) Полсчет числа состояний. д жд квантовом состоянии может находиться произвольное число неразличимых между собой частиц. Используем ту же модель больших н малых ящиков и шаров, что и в й 25. Сначала допустим, что все малые ящики д, и шары н; различимы между собой.
Распределение шаров по малым ящикам будем производить следующим образом: даем номер ящику и перечисляем все шары, лежащие в нем; затем даем номер другому юцику н перечисляем все шары, лежащие в нем, и т. д. Если в малом юлике нет шаров, то после него стоит сразу же номер следующего ящика. Обозначим маленькие ящики в большом символами 1„1,, ..., з, а шары— а' символами 1„)з, ..., у„г Таким образом, некоторое конкретное заполнение Рго большого ящика выглядит, например, так: з 27.
Электронный газ 205 (26.5) Эта формула называется распределением Бозе — Эйнштейна. Так же как и в случае распределения Ферми — Дирака, эта формула переходит в распределение Гиббса (25.14) в случае, когда среднее число частиц, прнходяшихся на одно квантовое состояние, достаточно мало. б 27 Электронный газ Описываются основные свойства электронного газа. Аналвзнруготс» свойства электронного газа на основе распрелеления Ферми — Дирака в различных условиях.
Вычисляются энергия Ферми и характеристическая температура. хзбсуллаются внутренняя энергия электронного газа и обусловленная ею теплоемкость. (27.2) Свободные электроны в металлах. Электропроводность металлов обусловлена наличием в них «свободных» электронов, т. е. электронов, не связанных с конкретным атомом. Эти электроны как бы обобшествлены и принадлежат всем атомам металла. Поэтому нельзя сказать, что эти электроны свободны в том же смысле, что и частицы в идеальном газе или молекулы в не очень плотных газах.
Электроны взаимодействуют с совокупностью всех атомов, хотя и очень слабо. Энергетические уровни электронов расположены очень близко друг к другу ввиду большого числа атомов, с которыми они взаимодействуют, и большой области пространства, в которой они движутся (это весь объем металла). Их импульсы в каждой точке пространства также могут иметь всевозможные направления. В связи с этим их движение напоминает дниженне молекул в газе и совокупность таких электронов называется электронным газом.
Их заряд в среднем компенсируется противоположным зарядом атомов металла, электроны которых образуют электронный газ. Металл в целом электрически нейтрален. Определение параметра а для электронного газа. Для вычисления (25.15) в случае электронного газа поступаем точно так же, как в й 8 [см.
(8.1)1. Объем элементарной ячейки фазового объема, в котором может находиться лишь одна частица, равен (2кл)з. Поэтому число квантовых состояний в элементе фазового объема Лрм Лргг Ь рм Лхг Ьу; Лхг равно д = з гзрморт'стрижах гзуголг г — (2лх)з (27.1) где д учитывает внутренние степени свободы частицы. Электрон обладает олином, который может принимать два значения. Поэтому для электронов д = 2. Однако для обшносги получаемых формул сохраним в вычислениях д без спецификации ее числового значения. Подставляя (27.1) в (25.15), находим д Х Лрм Лргг Лры Ьх, Лу~ Л~„.
(2кл)~ с ехр(а + ~3е,) + 1 Юб 3. Электронный н фотонный газы Учитывая малость элементарной ячейки фазового объема и принимая во внимание, что энергия свободного электрона выражается через его импульс формулой а; = р,",(2т,), перейдем в (27.2) от суммирования к интегрированию: (2ЯЛ)' 3 3' 3 3 ехР (а + ()Рг/(2т,)] + 1 ' (27.3) 4яд) (2нг ЛТ)ггг ~ Д61 (2яЛ)З 2 ) е""е+ 1 о С помощью обозначения г"г„(а) = —.~ — г; —— к о выражение (27.5) запишем в виде н = д 1' ~т,)гТ/(2л Лг)]"' Ег „) (а). (27.5) (27.6) (27.7) Интеграл Е<„(а) называется интегралом Ферми инлекса ('/г). Этот интеграл не вычисляется аналитически, однако может бьггь получено представление в виде ряда.
Не влаваясь в технику математических расчетов, приведем лишь результат. Для отрицательных значений а, т. е. прн — а > О, с учетом главного члена разложения в первом приближении получается формула Е„г (а) = 4( — а)"'/(3)/к) (27.8) поэтому (27.7) принимает вид 4д)г ( т,)гТа )' 3)/я (г 2нйг г) Тем самым а выражено через другие величины, входящие в (27.9): 2яЛг / 3н)/н 'гггг а = --т.ЛТ~ 4д — ) (27.10) где т, — масса электрона. Число свободных электронов, приходящихся на олин атом в металле, различно, но оно обычно близко к одному электрону на атом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
