А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда 1', .1 Г 1', г 1' поскольку Т Ж = сПУ + р д)' = р сЬ' (2117 = О). Учитывая, что р~'Т= л2Я,2(М(г), где М вЂ” молярная масса газа, в результате интегрирования получаем 11+ гг 1"г К1 )21+ )22 ЛЯ = — К!п — — — --- —. + .. К1п— 11 М 12 Давление после смешения газов находят по закону Дальтона: Рг = (Рг)21 + Рг) г)Я" 1 + 1 2). Роль энтропии в производстве работы. Принцип Кельвина запрещает циклический процесс, резулътатом которого бьшо бы превращение нацело некоторого количества теплоты в работу в результате контакта с одним тепловым резервуаром. Формула для к.
п.д. цикла Карно показывает, что взятое от нагревателя количество теплоты лишь частично может быть превращено в работу, причем часть теплоты, превращаемая в работу, тем больше, чем меньше температура холодильника. Физической причиной этого являются требования второго начала термодинамики. Поскольку энтропия при любых процессах в замкнутых системах не убывает, некоторое количество теплоты не может нацело превратиться в работу потому, что это означало бы исчезновение соответствующей энтропии, что противоречит второму началу термодинамики, Поэтому при совершении работы в холодильник должна быть перелана по крайней мере такая же энтропия, какая была взята от нагревателя.
Энтропия, взятая в цикле Карно от нагревателя, равна Ды1(Т1, а пере- 12' 1 ! 1 —— 1 1 1 ! 23' ! 2 22' 2 22,', !2!+рэ г —— ! 1 1 ! 2 Р2, 52 82' !! 12 данная холодильнику — равна -!2! 2/Тз. На основании сказанного всегда должно быть — гу1-2~Т, ~ д2'21Т„ 50. Метод вычиеления изменения энтропия при выравнивании давления в газе или иначе д2эз а!†! — — — + — — <О, Т, по совпадает с (22.3). Именно это обстоятельство обусловливает ограниченность к.п.д.
действия машины. Максимальный к.п.д. достигается в обратимой машине, поскольку в этом случае холодильнику передается минимально возможная энтропия. Для увеличения макси- !80 2. Термодннамнчесанй метод 1 1 1 1 1 ! 1- 1 1 1 1 1 1 — — .! 1 22. Второе начало термодинамики 181 мально возможного к. п.д. необходимо либо повышать температуру нагревателя, либо понижать температуру холодильника. Понижение температуры холодильника ограничено естественными условиями, которые присутствуют в окружающей атмосфере. Можно, конечно, искусственно охладить воздух, но для этого пришлось бы затратить работу и в конечном счете никакого увеличения к.п.д. не получилось бы. Поэтому надо считать, что для производства работы имеется некоторая минимальная заданная температура 7;,.
Пусть имеется некоторая циклическая машина, которой при температуре Т сообщилн в форме теплоты энергию ЬД. Машина превратит в работу часть этой энергии, которая в наиболее благоприятных условиях равна ь и „, = (1 — т ~т) ьд. (22.16) Энергией системы, доступной для использования, называется та часть ее энергии, которая, будучи сообщенной машине в форме теплоты при температуре Т, превращается в работу. Ясли в машину сообщаются порции теплоты ЬД при различной температуре, то превращаюьцаяся в работу энергия на основании (22йб) максимально может быть равной и „„„, = ((1 — т,~т) ьб. (22.17) Остальная энергия, равная разнице между энергией, переданной в машину в форме теплоты, и энергией, превращенной в работу, является недоступной для превращения в работу энергией.
Допустим, что состояние системы, за счет энергии которой совершается работа, изменяется и система переходит из некоторого состояния 1 в 2, Прн этом изменяется и максимально доступная для превращения в работу энергия. Ясно, что это изменение максимально доступной энергии равно <г) ьи..„,= ((1 — т,~т) ьо, нг причем, для того чтобы сохранить условия максимальности изменения доступной энергии, необходимо в интеграле (22 18) считать, что состояния 1 и 2 соединяются с помощью некоторого обратимого процесса. При этих условиях ЬЯТ= оо и интеграл сразу же вычисляется: ЬИ макс 0 (о( г ~г).
Это означает, что дополнительная энергия составляет лишь часть энергии г2, которая сообщается системе в форме теплоты, причем отличие тем больше, чем больше при этом изменилась энтропия. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при анализе устройств для превращения теплоты в работу. Пример 22.1. Вычислить изменение энтропии при смешении одноаз омного идеального газа массы игг, имеющего начальные температуру Т, и давление р„и двухатомного газа массы игг, имеющего начальные температуру Тг и давление рг.
Молярные массы смешнваемых газов М, и Мг. Первоначальные обьемы газов Г', н 1', находятся из уравнения состояния: р~ 1 1 — игйто )гг (гг = югКТг, (22.19) где к, = иг,~М, и ог = игг/Мг — число молей одноатомного и двухатомного газов. 1Я2 ' тсрмодннамнчсскнй мс»од 51 Смешение газов можно мыслить как последовательное осуществление двух процессов: изотермическое расширение каждого из газов до объема )г= )гг + 1'з и выравнивайие температур при постоянном объеме. Окончательная температура в результате выравнивания температур определяется законом сохранения энергии: и»Сгг(Т, — Т) = нзСнз(Т вЂ” Т), (22.20) о~куда сгСг,тз + сзС~те (22.21) Р1Сгг + с»СР1 где С,, и Сне — молярные теплоемкости при гюстоянном объеме.
В общем соотношении Тао = а(/+ рс11'для изотермического расширения необходимо считать, сИ1 = О, для выравнивания температур при постоянном объеме ай= О, а(/ = сСгат. Поэтому полное изменение энтропии при смешении газов г г Га Гат Г и Гат »»»оо = СГК вЂ” + НГСН1 — + КЗ — -+ НЗС»т Т ~ 1г ~ Т г', т, 1'» г» Т Т = Р»Н!п — + с,Сш 1и-,,»- + изй!п — + с»Сгз)п -- —. (2222) ! Принимая во внимание, что ()г/К) = р»Т/(рТ»), ()г/)гз) = раТ/(рТ»), С,г — — ЗК/2, Сиз = 5Т»»12, 51. Расширение газа при носгоюн ном давлении из (22.22) находим ЛЯ = с»В 1п — ' — + и,Й 1п — — . (22.23) Пример 22.2. Рассмотреть необратимое расширение газа при постоянном внешнем давлении. Два цилиндра А и В соединены капилляром с краном К (рис.
51). Цилиндр А объема Р замкнут и в нем находится н молей одно- 4 22. Второе начало термодинамика 183 атомного идеального газа под давлением Р > Ро. ЦилиндР В соединен своим откРытым концом с атмосферой при давлении ро. В цилиндре В имеется поршень, который может скользить без .грения вдоль цилиндра. Вначале порпгень прижат к стенке цилиндра. Затем кран К, закрывающий соединительную трубку между цилиндрами, слегка открывается и начинается медленное перетекание воздуха из цилиндра А в цилиндр В, в результате чего поршень цилиндра В бесконечно медленно отодвигается от стенкй. Между газами в цилиндрах с внешней средой, находящейся при посгоянной температуре Т„происходит теплообмен. Найти, сколько молей газа перейдет из объема цилиндра А в объем цилиндра В, когда система достигнет состояния равновесия. Чему равны отношение объема 1'а газа в цилиндре В к объему К работа А, совершенная газом, и количество теплоты Ц, которым газ обменивается с окружающей средой7 Вычислить полное изменение энтропии Л5 газа и окружающей среды.
Поскольку расширение газа происходит изотермическн, можно написать Р1'= Ро(Р+ Ра), т. е. Р = Ро(1 + ~'в~И, (22.24) откуда 1 в!~ = Р!Ро (22.25) Для нахождения числа х молей, перешедших в результате расширения в объем цилиндра В, можем написать для начального и конечного состояний уравнения Р)'= иЕТо, ро)'= (о — х) ЯТо, из которых следует, что х = о(1 — ро!Р). (22.26) Работа газа при расширении А = РоГа, или (см.
(2226) и (22.25)) А = (Р— Ро) 1'= р$'х!ч = хЯТо, (22.27) т. е. газ при расширении совершает работу над внешней средой. Поскольку процесс изотермический, внутренняя энергия газа (идекльного1) не изменилась и, следовательно, вся энергия, которую газ затратил на совершение работы, получена газом из внешней среды в виде теплоты. По закону сохранения энергии, это количество теплоты равно (22.28) Я =А =хКТо, т.е. теплота поступает в газ из внешней среды. Полное изменение энтропии слагается из изменения энтропии Ьо,. газа и изменения энтропии ЛЯ, среды: ЛЯ=Аз,+ЛЯ .
(22.29) Для вычисления изменения энтропии заменим рассматриваемый необратимый процесс обратимым с тем же конечным состоянием. Д11я газа это будет изотермическое расширение: ел ЛЯ, = ) БЦ)Т= нК)п(р)ро). и) 184 2. Термодинамическая метод Из внешней среды газу передается количество теплоты Д = хКТо, а количество теплоты во внешней среде изменилось на — Д = — хКТ, и ее энтропия изменилась на ЬЯ,р — — — Д,7о = — Х.К, (22.31) т.е. уменьшилась. Полное изменение энтропии в результате рассмотренного процесса ЛВ = тК 1п (р)ро) — хК = оК (1п ~у((о — х)~ — хЯ, (22.32) где р7ро = о((т — х). Пример 22.3. Найти работу, которую совершает газ в обратимом изотермическом расширении от объема и давления р до давления р, и объема 1'+ 1в (см. пример 22.2). Сравнить эту работу с работой (22.27) необратимого процесса и выразить разность работ через изменение энтропии. Работа при изотермическом расширении газа (2) (г) Аоор=- ) р(11'=оКТо ((11'(Р=тКТо(п~(~'+ )в)М = [!) (!) =тКТо 1п(р(ро) г оКТо 1п )у(((т — х)1.
С учетом (22.27) находим А — А,ор = хКТо — тКТо 1п~ч(((о — х)1 = — То ЬЯ (22 33) т.е. работа в необратимом процессе меньше, чем в об- ратимом. Пример 22.4. Исследовать необратимое расширение газа в пустоту. Имеются два цилиндра А н В одинакового объема, соединенных капилляром с краном К (Рис. 52). зз. расширение газа в. оуототт Оболочки цилиндров (и капилляра) адиабатические. Вначале кран К закрыт, цилиндр В пустой, а цилиндр А наполнен о молями газа при температуре Т.
Затем кран К слегка открывается и газ через капилляр переходит из цилиндра А в цилиндр В. Этот процесс предполагается достаточно медленным, чтобы можно было считать, что газ как в цилиндре А, так и в цилиндре В все время находится в квазистатическом равновесии. Однако он должен быть не настолько медленным, что между ци- 4 22.
Второе начало термодинамики 185 линдрами успевает произойти прямой обмен теплотой. Другими словами, обменом теплотой между цилиндрами пренебрегаем. После того как давления в цилиндрах стали равными р', кран закрывается. Найти число молей, перешедших из цилиндра А в пилиндр В, температуры газа Т„' и 7в в цилиндрах А и В, давление р' и изменение энтропии Л8 в этом процессе. В,начальном состоянии в цилиндре А имеется у молей газа при давлении р и температуре Т=р$'/(уй) в объеме 1; а в конечном состоянии имеется у — х молей газа при давлении р' и температуре Т'д. Процесс произошел с изменением количества вещества. Поэтому для использования формул, справедливых для процессов с неизменным количеством вещества, надо пересчитать конечное состояние на у молей газа прн тех же давлениях и температурах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
