А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Пример 27Л. Найти число свободных электронов в объеме 10 смз меди и число электронов, энергии которых заключены между 7,01 эВ и 7,001 эВ при Т= 300 К. Концентрация свободных электронов в меди плотностью р равна (р/ла,) = = (8,9.10 6,02 10аз)0,0636) м ' = 8,4 1Оак м ' В 10 см' имеется 8,4.10".10 ' = = 84.10'з электронов. Энергия Ферми равна р = п)сТ= 271.1,38.10 зз.300 зВ = = 7,0! эВ. Таким образом, требуется найти число электронов в области, где распределение Ферми очень быстро изменяется и необходимо соблюдать осторожность при вычислениях.
Обратим внимание, что )сТ= 1,38 10 " 300 Дж = 4,14. 10 " Дж = = 2,59 10 ' эВ. Это означает, что на интервале 0,01 эВ от энергии Ферми экспоненциальный множитель изменяется от 1 до ехр(1)2,59) = 0,68, что не позволяет для таких или больших интервалов заменять дифференциал конечной величиной с1а = 0,01 эВ. В этом случае необходимо более точно вычислить интеграл. Однако на интервале 0,001 зВ экспонента изменяется незначительно и при вычислении можно заменить дифференциал конечной величиной дк = 0,001 эВ. Тогда по формуле (27.20) 2 — 34 а 10-а (2 91 10-зс)зп(701 16 10-ш)па 0001 16 10-ас 9 10ао 2 (3,14)а (1,05 .
10- за)а [ехр 0 + 1~ Если е << р, то экспоненту в знаменателе можно положить равной нулю, а при к» )ас — пренебречь единицей по сравнению с экспонентой. Пример 27.2. Найти максимальную скорость свободных электронов при Т = =0 К в меди. При Т= 0 К газ является полностью вырожденным и поэтому заполнены все состояния с энергиями от нуля до энергии Ферми. Максимальная скорость с, связана в этом случае с ря соотношением ла,г~„, = 2рм т.е. г„,к, =(2)сс/ва,)п~. Из (27.19) находим "='макс амакс = як аз 3 заз (27.26) сая о где и — полное число свободных электронов в объеме К Тогда (27.27) 14а 212 3. Электронный и фотонный газы Для меди р р/Уд ( .8,9 10''6*02'10 ~( -з зя -з Т зи, М ~ 0,0636 поэтому е = ' — — ' ' (8,4 10зи)"' м/с = 157 ° Ю" м/с = 1570 км/с.
(27,28) 1 05 10- за (3 3 14 3 14) из 9,11 Ю з' При интерпретации этого результата имеется в виду, что, строго говоря, масса свободных электронов в металле не ранна массе свободных электронов в вакууме. В более точной теории в качестве массы свободных электронов в металлах необходимо брать их эффективную массу, которая может существенно отличаться от массы покоя электрона. В (27.28) зто отличие не принято во внимание. Фотонный газ В распределении Ферми — Дирака учтено непостоянство числа фотонов.
Выводятся формула Планка и следующие из нее законы Стефана — Волздмана и закон смещения Вина. Обсуждаются основные характеристики излучения абсолютно чернота тела. Излучение абсолютно черного тела. Излучением абсолютно черного тела называется равновесное излучение, которое устанавливается в замкнутой полос~и, ст~нки которой поддерживаются при определенной температуре. Находягцееся в полости излучение является совокупностью фотонов, энергия ез и импульс рз которых выражаются формулами е, = Ьюа рз = Лаз/с.
(28.1) (28.2) Распределение фотонов по частотам. Учет числа фотонов в фазовом обьеме и все рассуждения н расчеты аналогичны тем, которые были подробно рассмотрены в случае электронного газа для распределения Ферми — Дирака, надо лишь вместо распределения (27.10) использовать (28.2). В результате вместо формулы (27.2) Совокупность находящихся в полости фотонов называется фотонным газом, поскольку фотоны могут н такой картине рассматриваться частицами, дннжущимися без столкновения друг с другом. Спин фотонов равен единице, и поэтому фотоны подчинщотся статистике Бозе — Эйнштейна.
Распределение фотонов. Фотоны в полости беспрерывно порождаются и уничтожаются. Поэтому при выводе распределения фотонов по энергиям нет ограничения в виде постоянства числа фотонов. Общее число микросостояний фотонов дается, конечно, формулой (26.3), однако при нахождении экстремума условие постоянства частиц „'з„'бн; = 0 отсутствует и поэтому в уравнении (26.4) член с и также отсутствует.
В результате в выражении (26,5) для распределения фотонов по энергиям п = 0 и оно для фотонов принимает вид (л(ез)) = — '= д, ехр фи,) — 1 8 28. Фосонный газ 213 для числа фотонов 4)л импульсы которых заключены в интервале (р, р+ с)р), получаем 1 2 41л = — -- — К.4лр г)р, Р хр())е) 1 (2 й)з (28.3) где е = ср, множитель 2 в числителе учитывает две возможные поперечные поляризации фотона. Напомним, что в случае злектронов этот множитель учитывал две возможные ориентации спина электрона.
Переходя в (28.3) от импульсов р к частотам аз = рс/й, получаем г) г з 4)ОЗ. (28.4) лгсз ехр()3 йгд) 1 Формула Планка. Энергия каждого фотона ранна Ьо, и поэтому спектральная плотнос~ь энергии излучения имеет вид (28.5) — формула Планка. Ее открьзтие Планком и попытки интерпретации положили начало выработке квантовых представлений, приведших впоследствии к созданию квантовой механики.
Закон Стефана — Больцмана. Полная плотность энергии излучения равна зн кгсз ~ ехр(' йсо7()сТ)] — 1 о о к'с' й ех с — 1 ' о ьвз а» Учитывая, что — =, представим ) ехрЦ вЂ” 1 15' (28.6) плот- Плана Минс Карл Эрнснг Людвиг Г!858- 19475 о ность энергии излучения в виде (28.7а) где а = )слкг7(15сзй) = 7,56 ° 10 зо Дж ° м з К 4. (28.7б) Однако вместо плотности равновесного излучения удобнее пользоваться понятием энергетической светимости (из- 214 3. Электронный н фотонный газы лучательности). Энергетическая светимость характеризует 88 плотность потока излучения с поверхности по всем направлениям (в пространственный угол 2л).
Она равна потоку, отнесенному к площади поверхности. С плотностью энергии излучения эта величина связана соотношением (28.8а) где о. = са/4 = 5,67032. 10 ' Вт м з К ". Формула (28.8а) называется формулой Стефана — Больцмана, а а — постоянной Стефана — Больцмана. Закон смешения Вина. Максимум спектральной плотности излучения может быть найден из (28.5). Положение максимума зависит от шкалы, для которой он определяется. Для вычисления по шкале длин волн необходимо перейти к длинам волн Х = 2яс/то с учетом того, что в„т)то = — в,2лс й./) '.
(28.9) Поэтому распределение плотности энергии излучения по длинам волн имеет внд а 1 1 — (28.10) ехр [2лсд/(/еТХ)] — 1 ' где отброшены несущественные для дальнейших вычислений постоянные сомножителя. Максимум плотности излучения находим из условия экстремума дв„/дХ = О, (28.11) которое для определения ллины волны Х при максимуме плотности излучения дает уравнение 5 = хе"/(е" — 1), х = 2ясд/(/сТХ „,). (28.12) Решением этого уравнения является х = 4,965. Поэтому Х„ определяется соотношением (28.13) 88. Сиектр излучении абеолютно черно! о тела называемым законом смещения Вина.
С увеличением температуры абсолютно черного тела максимум плотности излучения в его спектре смещается на более короткие длины волн, т. е. на большие частоты. Спектр излучения абсолютно черного тела показан на рис. 58. Прамер ае)Л. Найти число фотонов, излучаемых в интернале частот от озт до то, при температуре Тс поверхности площадью о. з 28.
Фотонный газ 215 В соответствии с (28.8) и (28.5) можно выразить искомое число фотонов в виде 4 3 " 4л'сз ) ехррхоД/гТ)3 — 1' Если речь нцет о видимой области спектра, то формула иногда упрощается. Для середины видимой области спектра йго 2 эВ. При Т= 6000 К имеем )г Т= = 1,38 10 ".
10 .6Дж = 8,28. 10 зо Дж =0,518 эВ; лаз(ЯТ)=3,45; ехрРхо~()гТ)]=31,5 и поэтому в знаменателе можно пренебречь единицей. При Т= 6000 К формула упрощается, если интервал частот попадает на видимую часть спектра, и тогда ш и=- —; —; р"1 — Б ~ЯТ)3тй . м, Этот интеграл легко берется по частям. Вообще полезно всегда, когда встречается не простой интеграл, прежде чем пытаться его вычислить в общем виде, оценить числовое значение различных членов подынтегрального выражения. Результат этой оценки может позволить значительно упростить вычисления или свести аналитически не выражаемый интеграл к сравнительно легко обозримому аналитическому выражению. Имеем два уравнения (28.13) и (28.8) с учетом (28.7) для двух неизвестных )г и аз Запишем эти уравнения в следующем виде: 2лсЬ й= — — —, 4,965 Х Т * ,, 60сзМЬз (283 5) =- -лсвта (28.14) Решение этих уравнений элементарно: (4,965)' 15 Хз„, М макс 2лзс Т (4965)4 15 4ла сз Отсюда при значениях, полученных в эксперименте, находим: (4965) '15'(1451'10 а) '90448'10 — з 2 (31416)» (3 10а) 10з (4965) '15'(1.451'10 а) '90448'10 -за 4 (3,1416)з.
(3 10')' (28.16) (28.17) Пример 28.2. Измерения спектра излучения абсолютно черного тела позволяют определить постоянную Больцмана й и постоянную Планка зз Для мощности излучения абсолютно черного тела в полупространство с поверхности площадью 8 = 1 м' в экопернменте получено значение М = 904,48 кВт при Т= 2000 К. Максимум спектральной плотности излучения при этом пришелся на )м,„, =1,451 10 а м. Найти значения постоянных й и й 3.1. Найти знерппо Ферми для серебра, сч~пая, что р = 10,5 10э кг/мэ и М, = 107,9. 3.2. Чему равно полное число электронов в 1 г серебра при Т= 100 К и число электронов, энергии которых заключены между 2,0 и 2,1 эВ7 Исходить из данных о серебре, приведенных в задаче 3.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
