А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 18
Текст из файла (страница 18)
т (тв (834) называемой стандартным нормальным законом распределения. Имеются таблицы значений Ф(к). Внд функции г" (х) показан на рис. 13. Частота ударов молекулы о стенку. Направим ось Х перпендикулярно стенке (рис. 14) и обозначим ио концентрацию молекул. Тогда плотность потока молекул в направлении стенки со скоростями между р и о+ дп равна ио,Г(.) .„"'йо, (8.31) 74 !. Статистический метод п и С хз При вычислении (8.34) учтено, что в соответствии с (8.19) ехр 1 — трам(21сТД вЯп) можно представить как ехр ( — па7па), что более наглядно при анализе формы кривой распределения Максвелла. Имеются таблицы интеграла 4 -; а ф(х) = — ) е " пас(и. (8.35) С их помощью величина (8.34) вычисляется по следующей очевидной формуле: )9 (пь и ) = пе ~яр(п Фв) — ср Мпа)1.
(8.36) Из таблицы, в частности, находим; Ж(пв со) = 05724по' %(05гм 1,5п,) = 07053пс' ххх(2 лв оо) = 0,04бОпа. 1К Схема аксперимеитов пс проверке распределеиия Мак- свелла Таким образом; большая часть всех молекул имеет скорости в сравнительно неболыпом интервале около наивероятнейшей, а молекул со значительными по сравнению с наивероятнейшими скоростями очень мало. Экспериментальная проверка распределения Максвелла.
Ввиду принципиальной важности распределения Максвелла для статистической физики оно было много раз полвергнуто тщательной экспериментальной проверке. Принципиальная схема наиболее типичной экспериментальной установки состоит в следующем. В объеме Р (рис. 15) помещен газ, находяцшйся в стационарном равновесном состоянии. Через отверстие с( выходит пучок исследуемых молекул. Чтобы в процессе движения пучка распределение молекул в нем не изменялось, они должны двигаться практически без взаимодействия друг с другом. Позтому на пути движения' пучка создается й 8.
Распрслеленис Максвелла 75 высокий вакуум, а в сосуде )у газ находится под низким давлением. Для того чтобы в выходящем из сосуда пучке молекулы имели такое же распределение скоростей, как и в сосуде, необходимо обеспечить истечение газа через отверстие с1 без гидро- динамического напора. Это возможно, если в области вблизи отверстия молекулы не успевают сталкиваться друг с другом. Тогда молекула, попадающая в отверстие, вылетает из сосуда, не возмущая состояния всех ос~альных молекул в сосуде.
В результате число молекул в сосуде медленно уменьшается, но нх равновесное состояние не изменяется. Чтобы обеспечить такое абесстолкновнтельное» покидание сосуда молекулами, отверстие с1 по размерам должно быть много меньше длины свободного пробега молекул, т.е. среднего расстояния между последовательными столкновениями (см.
8 50). Для ориентировки в порядке величин полезно иметь в виду, что при нормальных условиях в воздухе молекулы сталкиваются с частотой примерно 1 млрд. в секунду, а средняя длина свободно~о пробега имеет порядок 10 ' м. При понижении давления длина свободного пробега увеличивается. Поэтому диаметр гз отверстия должен быть очень малым. В эксперименте с молекулярными пучками он составляет сотые доли миллиметра. Плотность потока молекул в направлении движения пучка дается выражением (8.31). После выхода из отверстия с) пучок проходит коллиматор К из последовательных щелей, который выделяет движущиеся почти параллельно молекулы. Далее имеется устройство С для сортировки молекул по скоростям и детектор 0 для регистрации молекул после их сортировки.
Для сортировки молекул наиболее часто используют метод вращающихся дисков с щелями вдоль радиуса (рис. 15,а). С помощью э~ого метода Физо в прошлом столетии измерял скорость света в земных условиях. Если щели повернуты на угол а друг относительно друга, а диски располагаются на расстоянии 1 друг от друга, то при угловой скорости ез лиски повернутся на угол и в течение времени Лу = и/со. Поэтому через обе гцели прондут молекулы со скоростями р = 1гЛ7 = )ыусс и о„= =-)озз7сс+ 2яп) (гле и =1, 2, ...), соответствующими нескольким поворотам дисков за время прохождения молекулами расстояния !.
Регистрация молекул производится различными методами в зависимости от их свойств. В простейшем случае они осаждаются на экран и по толщине осажденного слоя можно судить об их числе. Так поступают, например, когда в качестве объекта исследования берется пучок атомов серебра, газ из которых в объеме 1' образуется при нагревании в результате испарения.
О К В чен состоит содержание принципа детального равновесияз 6. Распределение Максвелла допускает сколь угодно большие скорости и кинетические энергии молекул. Как это согласовать с конечной полной кинетической энергией молекул газа! 7. Какими особенностями распределения Максвелла обусловливается, что средняя абсолютная скорость больше, чен наивероятмейшая, но неныие, чен корень квадратный из среднеквадра- тичнойз 76 1. Статистический метод !6 а) в) В другом способе (рис. 15, б) селектор и детектор совмещены во вращающемся цилиндре с щелью.
Когда щель попадает на линию пучка, через нее внутрь цилиндра входит порция молекул. Молекулы с различными скоростями достшают противоположной стенки цилиндра с различным запаздыванием по отношению к моменту прохождения щели и поэтому попадают на разные участки внутренней стенки цилиндра. Измеряя число молекул, попавших на различные участ.ки, можно вычислить распределение молекул в пучке по скоростям.
В одном из очень изящных экспериментов в качестве селектора молекул использовалась сила тяжести (рис. 15, в), более медленные молекулы, падая в поле тяжести, отклоняются в направлении к земле на большее расстояние, чем быстрые молекулы. Нетрудно рассчитать отклонение в зависимости от скорости.
Эти отклонения в практически осуществленном эксперименте такого рода были порядка десятых долей миллиметра, но измерения удалось надежно выполнить. Проведенные эксперименты подтвердили справедливость распределения Максвелла. Принцип детальнвтп равновесна. Распределение Максвелла является равновесным и, следовательно, также стационарным состоянием, ве изменяющимся со временем. Это означает, что число частиц в каждом элементе объема с)и„с(ия с(и, вблизи скорости и пространства скоростей не изменяется с течением времени. Однако между молекулами происходят столкновения, в результате которых состав молекул в каждом элементе объема беспрерывно меняется, хотя их среднее число остается постоянньхм. Поэтому в единицу времени в каждый элемент объема в пространстве скоростей приходит столько же новых частиц, сколько его покидает. Спрашивается: в какие элементы объема уходят частицы и из каких приходят? Теоретически можно представить себе различные возможности, с помощью которых условия постоянства частил во всех элементах объема будут соблюдаться.
) 6. Схема обмена частицами, несовместимая с иринцииом де тах|ьного равновесия 1 8. Распределение Максвелла 77 17 Глема обмена »астииамн, соотвегствуняная принлипу летального равновесия Пример 8Л. Найти число молекул кислорода О, скорости которых заключены в пределах от 195 до 205 мыс при 0 С. Масса кислорода 0,1 кг. Поскольку интервал скоростей от 195 до 205 м!с достаточно мал, можно воспользоваться теоремой о среднем н по формуле (8йб) написать: — — 4я *и- а лнцегг)р 1 2к)сТ) (8.37) где о = 200 мыс„с)о = 10 м/с. Возьмем, например, некоторые четыре элемента объема 1 — 4 (рис. 16,а) и представим себе обмен частицами между ними (рис. 17). Каждая нз стрелок изображает определенное число частнгъ которые покидают рассматриваемый объем илн приходят в него в единицу времени.
Например, на диаграмме 6 (рис. 16) из объема 1 частицы уходят в объем 2, но такое же количество приходит в него из объема 4, и т. д. На диаграмме в (рис. 16) в объем 3 приходят частицы из объемов 2 и 4, но зато равное их сумме число частиц уходит в объем 1. В результате осуществления указанных обменов частицами обеспечивается постоянство частиц во всех объемах. Однако равновесное состояние по таким схемам не может быть осуществлено. Принцип детального равновесия утверждает, что равновесие устанавливается детально, т. е. между всеми парами элементов объема. Это означает, что каждый элемент объема в единицу времени отдает в любой другой элемент объема столько частиц, сколько из него получает.
Поэтому единственно возможной схемой обмена частицами между четырьмя элементами объема является схема„изображенная на рис. 17. Интенсивность обмена между каждой парой элементов объема, вообще говоря, различна. Справедливость принципа детального равновесия обусловлена тем, что состояние равновесия устанавливается в результате хаотичного характера столкновений и беспорядочности движения молекул. Невозможность схем, изображенных на рис. 16, следует из того, что онн могут быть реализованы лишь в результате определенной упорялочеупгостн движения молекул и нх столкновений. Принцип детального равновесия справедлив не только для столкновений. Он справедлив также и для всех других процессов в любых системах, равновесное состояние которых устанавливается в результате полной хаотичности процессов.
78 !. Статистический метод Относительная молекулярная масса кислорода М„ = 32 и,следовательно, масса молекулы гп = 32 1,66.10 г' кг = = 5,3! 10 г' кг. Молярная масса кислорода М = 32 х х 10 ' кг!моль, поэтому в 0,1 кг кислорода имеется п = [0,11(32. 10 )3.602. 10гз = 1,88 !Оге молекул. Далее учтем, что )с7'= 1,38.!О " 273 Дж=3,77.10 " Дж, поэтому 5,31 !О-" Лп = 4. 3,14 — — '-- — — — —.) х 1,6,28.3.77 !О " ) 5 31 1О-ге (200)г -) х ехР— .—.' — — — — — ~. (200)г. 10 1,88.
!Огк = 2.3,77 10 " / (2 2 !О-а)з1г ехр ( 028) 9 44 10зо = 3,08 ехр ( — 0,28) . 10гг = 2,3 10гг. я 9 Распределение Больнмана Обсуждаются особенносгн распрелеления Боньпмаиа и его простейшие применения. Анализируется связь распределений Больпмана и Максвелла. Описывается экспериментальная проверка расерелеления Больпмана.
Независимост.ь плотностей вероятности координат и скоростей частицы. Если газ находится во внешнем потенциальном поле, то энергия частицы и, входящая в формулу (7.6), равна с„= лгпг,г2+ К (9.1) Число состояний в элементе фазового пространства задается формулой (Я.!). Поэтому вместо формулы (8.2) получаем А дУ(х,»,г,р р,р,)= — ~-х (2кй) глп х ехр — () ~ — + (7 дх ду дадр„др, др,. (9.2) Очевидно, что плотности вероятности координат частицы и ее импульсов являются независимыми, поэтому дУ(х, », г: Рм Рэ, Ря) = дрг(к, !л г)дУ,(йм р„р,), (9,3) где дУг Ок у, г) = А~ ехр [ — )3(г (к, », г)) дхд»дг дУг (Р. Рт, Р.) = Аг елр ( — ))шп-у'2) дрк ар„др,. Постоянные А, и Аг находятся, как обычно, из условия нормировки.
Формула для дУг(р р, р,) была изучена в () 8 и дает распределение Максвелла. Формула для с1У,(х, у, г) приводит к распределению Больцмана. Больпман Лгоакиг Пвеа-грей! 5 9. Распределение Больпмонв 79 Распределение Больцмана. Величина дУ,(х. у, г) в (9.3) опрелеляет вероятность того, что частица находится в объеме дхдудг вблизи точки (х, у. г), Переход к системе и частиц мы производим точно так же. как это было сделано в й 8 при выводе распределения Максвелла, т. е. рассматриваем частицы независимыми и пользуемся формулами распределения вероятностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
