А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 16
Текст из файла (страница 16)
по формуле сложения вероятностей равна (7.6) Если распределение энергетических состояний непрерывно, то, обозначая с)п,= р(е„)с)е„ (7.7) число микросостояний, лежащих в интервале энергий между г и г, +да„, можно написать г)У(гч) = Ае Рьр(г )г)гч, (7.8) где дУ(е„) — вероятность того, что подсистема находится в одном из состояний с энергией между е„и е, + с)г„. Величина (7.9) называется плотностью вероятности для подсистемы иметь энергию г,. С учетом (7.8) запишем р,(е„) = Ае "'-р(е„). (7.10) Постоянная А определяется из условия нормировки, а постоянная (3 связана с температурой.
Нормировка распределении. Для упрощения рассуждений удобнее пользоваться прелставлением о дискретном распределении го различным состояниям. Будем в формуле (7.5) индексом и нумеровать различные состояния, в том числе и принадлежа- ° Статистическая сумма — важнейщая карактеристика системы. Поскольку эта сунна есть результат суммирования по всем микроскопическим састояниян,она ие является функцией какого-либо одного из ии», а представляет собой функцию все» зги» состояний одновременно, т. е. функцию параметров, яарактермзующик накроскопическое состояние. Тен санын статистическая сумма позволяет выразить параметры, описывающие накроскапическое состояние систены, через величины, карактернэующие ее микроскопические состояния.
Ь4 С Статистический метод щие одному и тому же уровню энергии. Все возможные состояния системы об- разуют полный набор возможных состояний, поэтому должно выполняться условие нормировки (7.11) ~У„= 1, из которого вычисляется постоянная (7.12) А = 1/~е Р. а Следовательно, каноническое распределение имеет внд (7.13) Вычисление средних. Пусть 7' — некоторая величина, которая в состоянии а имеет значение )'„. Ее среднее значение равно (7.14) (7.15) (7.16) называется статистической суммой.
Она играет очень большую роль, поскольку с ее помощью выражают многие важнейшие величины статистической физики. Пример вычисления (7.16) рассмотрен в 6 12. Флуктуации. В канонической системе они легко вычисляются с помощью формулы (7.14) для средних величин. Характер зависимости флуктуации от размера системы был в общем случае выяснен в ~ 6. Пример 7.1. Вычислить среднеквадратичные отклонения энергии от среднего значения с помощью статистической суммы и найти относительную величину флук- туацнй.
1 1 7'г Поступая аналогично (7.15), находим (е~) = ~~,а1е е"я~с сь~= — - —. Даю~. 1=— лее получаем ((е — (е)) ) = (е ) — ((ау) 1 г К /1 гК" г /1 гК'3 г<а> У д(3х 1,У бр( д)3 ~Х дф.( 6)3 Считая, что энергия системы пропорциональна полному числу частиц а и, находим Щ =,д7„е еь!,» е Р'-. Статистическая сумма. Особенно системы (а) — ',Г к„е и«/,'Ге ~ = — 61пУ/6(3, а й а где у =,'~ е х'« большую роль играет среднее значение энергии 8.
Распрследеиие Максвелла бб Распределение Мапснедда Указывается иа два возмоиных подхода к юучению распределения чавкни в системе. Обсуидается пяотиость состоянив. Анализируются основные особенности распределения Максвелла н его связь с распределенном Гаусса. рассматриваются вывод и условия применимости распреденеиня Гаусса. Описывается экспериментальная проверка распределения Максвелла. Обсуидается принпнп детального равновесия.
Два подхода к изучению распределения. Рассмотрим распределение по скоростям (и энергиям) частиц идеального газа. При этом можно поступить двумя спокхубами. Можно принять всю систему и частиц за каноническую систему, являющуюся частью большой микроканонической системы. Но можно систему и частиц рассмотреть как совокупность независимых канонических систем, каждая из которых содержит одну частицу. Именно такой канонический ансамбль подразумевался в 8 7 при анализе основных понятий, связанных с каноническими ансамблями. При расчете по первому методу необходимо использовать довольно громоздкие комбинаторные приемы, аналогичные тем, которые употреблялись в 8 5.
Здесь будет использован второй подход, когда расчет основывается непосредственно на формулах теории вероятностей и не приводит к громоздким вычислениям. Плотность состояний. Исходной является формула (7.5), в которой при применении к одной частице У„означает вероятность ее нахождения в одном из состояний с энергией пв Как было уже отмечено раньше в связи с формулой (4.1), одна частица занимает в пространстве координат-импульсов (фазовом пространстве) объем (2пй)з. Тогда в фазовом объеме г)хг(уг)гг)р„г(ртг)р, содержится число состояний одной частицы, равное г)Г = г(х г(у г(г г)р» Йр г)ркг(2пл) .
(8.1) Следовательно, для вероятности нахождения частицы в фазовом объеме аналогично (7.6) получим к),Р" = Ае ' дГ. (8.2) К Система координат е простраястве импульсов 5 А. Н. Матвеев — 1488 Для того чтобы перейти к вероятности для частицы иметь энергию б„, необходимо проинтегрировать (8.2) по всем элементам фазового объема, которые соответствуют г . В данном случае энергия с частицьг от координат не зависит и поэтому интегрирование по дхдуг(г дает объем К в котором находится частица. Для интегрирования по бб 1. Статистический метал гле о = р!гн — переменная скорость, которая используется в качестве независимой переменной при рассмотрении газов. Выражая также и энергию через скорость по формуле г = мог/2, окончательно (8.2) можно записать в виде $/4ллнз дУ(о) = А —, е Р "'го' с)гз (2яа)з гле дУ(о) — вероятность того, что скорость частицы по абсолютному значению заключена между о и о + с)а Постоянная А находится из условия нормировки л)У(о) = 1.
(8.6) в=е Задача сводится к вычислению Ю е-9""1'о' с(о = — е-Рог с(~ = — — (8.7) о о ~ е-9С*с)с = ')7'Я 2 Д (8.8) о Максвелл Джеме Кларк 11331 — 1з791 ° Изменение энергии нолекулы происгсодит при столкновениах. Для конкретной молекулы вероятности приобрести или потерять энергию при столмновениях не одинаковы. Они зависят от соотнокпемия между энергией нопекулы и наиболее вероятной энергией молекул газа. Если энергия молекулы неиьше наиболее вероятной, то больше внонсов. что с течением времени в результате столкновений молекула приобретет энергии», чен потеряет ее. Однако потеря энергии также воэножна. Есл» энергия молекулы больше наиболее вероятной, то больше илансов, что с течением времени в результате столкновений нолекула потеряет энергию, чен приобретет ее.
Однако воэмолкность приобретение г)р„г)р,е)р, необходимо учесть, что энергия частицы с= - — — = — + — — "— + — = — + — "+— 2 2 2 2 2лг 2лг 2гл 2т ' (8.3) где р„= п1о„и т. д. Поверхностью состояний с постоянной энергией в пространстве импульсов является сфера р' = = сопзг (рис. 9). Интегрирование по шаровому слою толщины др у поверхности, соответствующей энергии е= = р'!(2т), эквивалентно замене др„дрг др, = 4яр' л)р. Поэтому вместо (8.Ц можно написать )74лрг лр ) 4яшз,г ло — (2„й)з — (2лД)з 8 8.
Распределение Максвелла 67 Дифференцирование (8.8) по параметру (3 приводит к формуле 6-81 8'г)8 = ~Я 4 врагу о (8.9) (8.11) Следовательно, относительное число частиц со скоростями в интервале (е, с+ де) (8.13) Эта формула называется распределением Максвелла.
Оно характеризует распрелеление частиц газа по скоростям в состоянии равновесия. Прежде чем переходить к анализу этой формулы, необходимо выяснить значение параметра (3. Закон распределения скоростей газовых молекул (8.13) был впервые получен Дж. Максвеллом в 1860 г. Более строгое доказательство этой формулы было дано в 1866 г. лз энергии также не исключается. Поэтому в каком-то снысле в системе молекул аторжествуетя в конечном счете всеобщая справедливостсн обладающие иолой энергией ноле- купы в среднем приобретают ее.
а обладающие большей— теряют. Каждая отдельная нолекула в течение достаточно большого промежутка вреиени является аобпадательниНейя «ак нальпг, так и большнк энергий. Средние энергии всем молекул одмнаковы и равны средней энергии всея молекул в любой номемт времени (зргодическая гипотеза). Однако равенства энергий налекул в любой заданный момент времени не существует,что и описывается распределением Максвеллгь использованной при вычислении (8.7).
Из условия (8.6) при учете (8.7) получим )г4я~т / 2 !з' ~Й (2яй) ~, ))гл ) 4 (8.10) Находя отсюда А и подставляя полученное выражение в (8.5), окончательно выведем следующую формулу лля искомой вероятности: 4 1 ()гл 1з~з л5г(е) = —. ~ — — ~ е 8» Лез г1г. (ггпу (~ 2 ) Распределение Максвелла. Для применения (8.11) к системе л частиц необходимо использовать формулу сложения вероятностей, считая кажлую нз частиц системы движущейся независимо и случайно, что, конечно, полностью соответствует характеру лвижепия частиц илеального газа.
Число частиц, скорости которых заключены между е и р+ дц г)л(е) = л дуг(с). (8.12) бя 1. С пиистяческвй метод Величина пУ(е)/дг является плотностью вероятности для частицы иметь скоросп, ц причем речь идет об абсолютном значении скорости. Как видно из (8.13), распре- деление скоростей молекул по направлениям изотропно, все направления скоростей равновероятны Температура.
Вычислим среднюю кинетическую энергию частиц: ( — ",-) = ) — чч = —,',-', (8.14) о где интеграл найден с помощью формулы, получаемой из (8.9) после дифференци- рования по параметру (3. Таким образом, б характеризует важнейшую величину статистической системы — среднюю кинетическую энергию частиц системы. Величина, обратная (1, получила название температуры: о 1/(3 = /гТ, где к — коэффициент пропорциональности, называемый постоянной Больцмана. Распределение Максвелла (8.13) с учетом (8.15) принимает вид бл/л = дУ(с) =/'(е) де, (8.15) (8.16) Температура Т формулой (8.! 5) введена чисто формально, как определение.
Она является термодииамической температурой (см. 8 11, 2Ц. Здесь пока достаточно знать это без доказательства и пользоваться интуитивным представлением о температуре, имеющимся у каждого. В СИ единипей температуры Т являешься кельвин. Она связана с температурой г'С по шкале Цельсия соотношением Т= г + 273,15. Постоянная Больцмана к = 1,380662. 10 зэ Дж/К. Ее экспериментальное определение дано в 8 13. Из вывода (7.5) видно, что р = д!пГ„е/дее и, следовательно, температура определяется свойствами системы, в которую погружена подсистема.
Поэтому температура является характеристикой системы в целом. Ясно, что все части системы имеют одинаковую температуру. В самом деле, любую небольшую часть системы можно принять за подсистему и получить для нее формулу (7.5) с тем же параметром (3, т. е. все части системы имеют одинаковую температуру. Например, если имеется смесь газов, то, рассматривая компоненты смеси или части этих компонентов как подсистемы, мы придем к выводу, что компоненты смеси газов имеют одинаковую температуру, т. е. средние кинетические энергии различных компонентов в смеси газов равны друг другу.
С другой стороны, если компоненты разделены пространственно, но могут обмениваться энергией, то на основании сказанного о равновесии они также обладают одинаковыми температурами как части общей системы. В смеси газов молекулы различных сортов имеют одинаковые средние кинетические энергии в условиях термоди- 1 8. Распределение Максвег!ла 69 !о Ввиду беспоряцочности столкновений и быстрой с<потери памяти» каждой молекулой о прошедших столкновениях скорости центров масс и относительные скорости между собой не могут быть коррелированными. Следовательно, среднее от их скалярного произведения, взятое по всем парам молекул, равно нулю, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
