А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 12
Текст из файла (страница 12)
д. Таким образом, и предметов могут быть размещены на и местах и(и — 1)(и — 2)...1 = и! (5.2) различпыми способами. Например, пусть имеется и одинаковых стульев, стоящих в ряд, и и различных людей, которые могут сидеть на этих стульях. Число и! дает число различных фотографий, которые можно получить, рассаживая различными способами этих людей по стульям. Например, три человека (мужчипа, женщина, ребенок) можно рассадить на три стула 3! = 6 способами: Пусть теперь имеется т различных предметов.
Спрашивается: сколькими способами их можно размеспп.ь по и местам? При каждом размещении т предметов и — т мест будут свободными. Если бы эти и — е мест были заняты различными предметами, то при каждом фиксированном раслоложении т предметов их можно было бы разместить (и — е)! различными способами. Если перебрать все возможные размещения т предметов по и местам и при каждом из них произвести (и — т)! размещений и — т других предметов на оставшихся и — т мес~ах, то всего получается число различных размещений т+ (и — т) = и различных предметов по и различным местам, т. е.
и! Следовательно, искомое число способов размещения т предметов по и различным местам У(и, и — е) = иЦи — т)! (5.3) Необходимо себе прелставить, что при этом понимается под различными способами размещения. Возвращаясь к примеру с фотографиями, мы под е должны б 5. Вероятность ыакрюсостояння 45 понимать число различных людей, а под л — число стульев, на которых онн могут сидеть. Тогда У(л, и — гл) означает число различных фотографий, причем различными считаются не только те фотографии, на которых, например, неодинакова последовательность, в которой сидят люди, но и те, на которых они сидят в той же последовательности„но на других стульях.
Поэтому две фотографии, на которых они сидят рядом друг с другом в определенной последовательности слева направо и занимают стулья с 1-го по льй (стулья стоят в один ряд), о~личны от фотографии, где они сида. точно так же, но занимают стулья со 2-го по (и+ 1)-й. Например, на трех стульях (и =. 3) два человека (мужчина и женщина) могут быть рассажены 3!/~(3 — 2))1 = 6 способами: Предположим, что и предметов, о размещении которых по л местам идет речь, олинаковы и неразличимы между собой. Поэтому два размещения, отличающиеся один от другого только тем, что в них поменялись местами два предмета, принимаются одинаковыми.
В этом случае при каждом размещении пз предметов можно произвести ж! перестановок, которые не изменяют размещения. Следовательно, на основании (5.3) искомое число способов (5.4) В этом случае размещения различны, если заняты различные комбинации мест, независимо от того, какой комбинацией из гп предметов эти места заняты. Поэтому ° Система «не знает», какое накросюстояние является наиболее вероятнын.
Она переходит из одного никросостояния в другое, не отдавал предпочтения кокону-либо из них. Однако лодавлянэщее числю перекодов осуществляется в направлении равновесного состояли», в результате чего делается эаклгючение, что полностью хаотичные переходы нз одного никросостояния в другое созданэт упорядоченное денисенко сметены к равновеснону состюянииь 46 1. Статясчяческвй мегод фотография, на которои ги людей занимают места с 1-го по ги-е, отлична от фотографии, на которой они занимают места со 2-го по (иг+ 1)-е, но одинакова с фотографией, на которой они по-прежнему занимают места с 1-го по иг-е, но порядок их рассадки по этим местам каким-либо образом изменился. Например, лвое одгчиаковых мужчин (иг = 2) па трех стульях могут быть рассажены З~ (2'(3 — 2)~) 3 способамя' Наконец,осшегсяотвегип,епю оа оаггп вопрос.!1)с ~ь имеешься и раз~гпчных предметов.
Спрашивается: сколькими способами можно выбрагь из них группу из гн предметов, чтобы все группы были разными (отличаются составом предметов)? Порядок предметов в группе не играет роли. Эту задачу можно реши~ь следующим образом. Если в группу входит один предмет, т.о из н предметов можно образовать и различных групп. Различные группы из двух предметов образуются так: каждый из различных и предметов комбинируется оставшимися и — 1 предметами, т.е. общее число комбинаций и (и — 1). Однако комбинации, отличающиеся лишь порядком, считаются одинаковыми. Число перестановок для двух предметов равно 2!, и, следовательно, общее число различных групп по два предмета, которые можно образовать из и предметов, равно и(и — 1)12! Продолжая эти рассуждения„приходим к выводу, что число способов, которыми можно выбрать ги различных предметов из н различных предметов, и (и — 1) (и — 2)...
(и — (гн — 1)) н! С(и, ги) = ги! иг ! (н — ги)! (5.5) Эта формула по виду совпадает с (5.4), но ее смысл и значе- Ф ние входящих в нее величин совершенно другие. Пусть имеешься ° г группа из трех человек (и = 3) — мужчина, жешцина, ребенок, образующие группу «предметов», из которой производится выборка $ подгруппы: ЯЯЮ Ясно„что группа «предметов» полностью удовлетворяет условиям применимости формулы (5.5). Напомним еше раз, что как в полной группе, так и в выборках по полгруппам порялок следования «предметов» или их взаимное расположение не имеет значения. Из пях можно сформировать группы по ги = 2 человека.
Число различных групп равно 3! ) 2! (3 — 2))З = 3: 1 5. Вероятность маяросостояння 47 Вычислим число микросостояннй, посредством которых реализуется рассматриваемое макросостояние„когда в объеме 1', солержнтся гн частиц. Обозначим это число Г(У,, лт). Если в объеме 1', имеется т какнх-то частиц, то общее число микросостояний для ннх у(У,, лт) = Фт !ДМт — тл)! Ь К иыяисяснию исрсятнссти мяярсссстсяния В остальной части объема 1' — 1', содержится л — тл остальных частиц. Число микрососгояний, которые для них доступны; 7(1' 1'т. л — лт) = (яхт — !ч т)!1(Х вЂ” д!т — (л — т)) ! (5.8) Таким образом, для конкретных тя частиц, находящихся в объеме Уо общее число микросостояний, посредством Расчет верояппости макроеосгояния. Обозначим: объем, занимаемый идеальным газом, л — число частиц, находятцихся в нем.
Число ячеек, которые могут занимать частицы, равно !я' = Уф~, где Й- !О Ян ма. Это число очень велико, и всегда соблюдается условие !я' » л. Найдем вероятность У(У„лт) такого макроскопического состояния системы, прн котором в некотором фиксированном объеме Уь составляющем часть объема У, находится лт частиц (рис. 6). По условию задачи, У, < 1', ьч < л. Но, кроме того, объем У, не должен быть слишком малым и должен содержать по крайней мере ят ячеек, в которых могли бы помещаться нт частиц.
Число Ячеек в объеме У, Равно Хт = УтД(Я, поэтомУ Жт > лт. Общее число микросостояний равно, очевидно, числу способов, которыми можно разместить л частиц по )я' ячейкам. Предполагается, что частицы отличимы друг от друга (например, пронумерованы). Это означает, что два микросостояния, в которых частицами заняты одни и те же ячейки, различны, если, например, две частицы поменялись местами в каких-то ячейках.
Здесь следует обратить внимание на то, что рассматриваемые частицы совершенно одинаковы по свойствам. Поэтому свойства двух микро- состояний, в которых частицы обменялись местами, должны быть совершенно одинаковыми; тем не менее мы считаем эти микросостояния различными. Это имеет вполне определенный физический смысл. Например, системе требуется определенное время для того, чтобы пройти эти кажущиеся одинаковыми микросостояния. Поэтому для полного числа микросостояния системы в соответствии с формулой (5.3) получаем Г„= ттт )/()я' — п)! (5.6) 48 1. Статистический метод которых реализуется макросостояние, равно у()'ь т) у (à — Ро и — т), поскольку с каждым из микросостояний в В; комбинируются все состояния в объеме Р— Го Однако произведение у(1',, т) у(1' — )гн и — т) не дает всех микрососгояний, посредством которых реализуется макросостояние.
Это только то число микрососгояний, которое соответствует некоторому конкретному набору частиц т в обьеме 1;. Но т частиц из общего числа и частиц можно выбрать и!фи!(и — т)!З способами, как это было найдено в (5.4). Поэтому общее число микросостояний, посредством которых реализуется макросостоянне, и! Г($'и т) = — — у(йо т)у()> — Ро и — т). (5.9) т!(и — т)! Следовательно, на основании (5.1) для вероятности макросостояния получим формулу у Г()~> т) и! Х1~Ж вЂ” Х1)!(Ж вЂ” и)! (5. 10) Г.
т!(и-т)! (1У,-иЮХ-Д,-(и-т)1!И! Тем самым вопрос об определении вероятности макросостояния решен, поскольку все величины в правой части формулы (5ЛО) известны. Однако чтобы сделать эту формулу наглядной, необходимо привести ее к более простому виду. Это можно сделать, пользуясь тем, что входящие в нее числа весьма велики. В самом деле, если газ находится при нормальных атмосферных условиях, то при 1', = 1 см и - 10>Я, 1з'- 10з4, М, = 1Оз' ($~,!'г). Поэтому число ячеек в 1>, также чрезвычайно велико, даже если 1; составляет небольшую часть объема К Для интересующих нас условий можно также предположить, что Х, » т.
При этом формула (5.10) значительно упрощается. Формула Стнрлвига. При больших и выполняется равенство и! (и~е)". (5.11) Эта формула Стирлннга доказывается исходя из равенства л 1пи! = 1п1+ 1п2+ ... + 1пи = ~ !лиди, Ли = 1. => (5.12) Поскольку Ли при больших и считается малой величиной, то можно в (5Л2) от суммы перейти к интегралу (5.13) (й!> — т)! = ~ — = — ' — 1 — — = ' е- где 1пп (1 + х/и)" = е".
!п и ! = ) !и и с!и = и 1п и — и, 1 где в правой части отброшена единица, которая мала по сравнению с и. Потенцируя (5Л3), приходим к (5.11). Формула для вероятности макросостояиия. Все факториалы в (5.10) необходимо выразить через степени по формуле (5.11). Прн использовании формулы Стирлинга необходимо принять во внимание, что М, » т, Х вЂ” М, » и — т, М » и. Например, 1 5. Вероятность ыакросостоявкя 49 Аналогично вычисляются другие факториалы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
