А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ясно, что число вылетевших через отверстие молекул пропорционально интервалу времени. Подсчитаем число молекул, вылетаюших из сосуда в интервал времени бг. Проделав достаточное число опытов, нандем это среднее число, которое пропорционально Лй т. е. имеет внд р Лб где р определяется условиями опыта. Спрашинается: какова вероятность того, что при подсчете молекул в очередном интервале времени Ь~ будет найдено т молекул? Эта вероятность дается распределением Пуас. сова 54 1.
Статистический метод Соблюдение условия нормировки распределения Пуассона следует из очевидного равенства О Полезно также заметить, что при больших значениях <',в>У = >в У(т)= — е = — — ж1, где использована формула Стирлинга >в! =(>я/е) . Это означает, что при больших в> вероятность 5>(л> Ф (т)) ж 0 и распределение вероятностей вблизи т =- (т) быстро убывает от своего пикового значения при и> = (и), как это изображено на рис. 7. Пример 5.1.
В урне находится 10 белых и 5 черных шаров. Производится 5 извлечений шаров из урньь причем после извлечения шар каждый раз возвращается обратно. Какова вероятность того, что при этом белый шар будет извлечен 3, а черный — 2 раза? Это типичная задача на применение распределения (5.15в). Имеем дз (3,2) 3 г Ю Пример 5.2. На одной из станций метро в результате длительных наблюдений установили, что в определенный день недели в течение 5 мип с 8 ч 45 мнн до 8 ч 50 мин 70;~ пассажиров проходят через автоматические двери, пользуясь пятикопеечными монетами, 20;4 используют проездные абонементы и 10; покупают билеты в кассе. Какова вероятность того, что из Ю наугад взятых пассажиров в этот период времени 7 воспользуются автоматическими дверьми, 2 используют абонементы и 1 проидет с билетом, купленным в кассе? Поскольку для каждого из пассажиров эти три возможности составляют полную систему возможностей, находим ~~с(7, 2, 1) — >2< > Ю 1 — —— 0,0275.
Пример 5.3. Изучение работы машинистки показало, что она в течение 20;Г рабочих дней в году делает меньше четырех опечаток, в течение 50;; число опечаток от 5 до 10 и в оставшиеся 30;4 дней число опечаток превышает 10. Определить вероятность того, что в течение трех дней нз пяти она сделает больше 10 опечаток. Вероятности того, что она сделает в течение дня меныпе четырех, от 5 до 10 и больше 1О ошибок, соответственно равны р, = 0,2; р, = 0,5; р, = О,З. Машинистка делае~ в течение трех дней больше 10 ошибок в трех различных случаях: б 6.
Флуктуации 55 1) два дня меньше 4 опечаток, три дня больше 10 опечаток: 5! У,(2, О, 3) = — (0,2)'(0,3)з„ причем в аргументе у У, показано число дней, когда реализуется число ошибок, соответствующее вероятности рн р, и рз; 2) два дня число опечаток от 5 до 1О и три дня больше 1О опечаток: 5! У,(0, 2, 3) = — '-(0,5)'(0,3)', 3) один день число опечаток меньше 4„один день — от 5 до 10 н трн дня— больше 1О: 5! У,(1, 1,3) = — '0,2 0,5 (0,3)', Эти три случая исчерпывают все возможности, при которых машинистка в течение трех дней делает больше 10 ошибок каждый день.
Полная вероятность того, что в течение недели будут существовать три дня, когда машинистка сделает больше 10 ошибок в каждый из дней, равна сумме вероятностей: У = У, (2, О, 3) + У, (О, 2, 3) + У, (1, 1, 3) = 5! = — (О 3) 1(0 2)' + (О 5)' + 2 . О 2 .
О 51 = О 013, т.е. примерно лишь в 1,3% недель случается, что машинистка в течение трех дней делает больше 10 ошибок. Флуктуации На примере числа частиц в объеме рассматривается вопрос о флуктуапиях физических величин. Вычисззыотся флуктуации в рамках биномиального распределения. Дае~ся абгннй вывод зависимости озноснтельной фззукзуа|зии ог числа чвсзтнз в системе Среднее число частиц в объеме. В соответствии со сказанным можно заключить, что с течением времени число частиц в некотором объеме не остается постоянным, а все время изменяется в небольших пределах.
Большие отклонения в принципе также возможны, но мало вероятны и поэтому встречаются чршвычайно редко. Зависимость числа частиц в объеме )хз от времени показана на рнс. 8. Среднее число частиц в объеме 1'„ по определеншо, равно 'чьт (63) при стремлении Т вЂ” х со. Зависимость лг от у неизвестна и вычислить среднее нельзя. Однако можно воспользоваться эргодической гипотезой (4.13), свести среднее гю времени к среднему по ансамблю и воспользоваться формулой (4.5). й 6.
Флуктуации 57 Воспользуемся тем же приемом, что и при вычислении (6.3): п т!(п — гп)! др др ~г т)(и — т)! гв (6.6) = р — р (р + 9)" = р (п(р + д)" г + рп(п — 1)(р+ 9)" др др С учетом того, что р+ 9 = 1, получаем (тг), = ир9 + игрг (6.7) Отсюда по формуле (2.26) для дисперсии находим ((Ьт) ) = (тг) — ((т)) = ир9. (6.8) Следовательно, стандартное отклонение равно о = ~((Ле) ) = ~4щ. (6.9) Это равенство показывает, что стандартное отклонение растет медленнее, чем общее число частиц в системе, в то время как среднее (6.4) растет пропорционально числу частиц в системе.
Это означает, что относительное стандартное отклонение убывает с ростом числа частиц в системе: (6.10) Физическое содержание формулы (6.10) чрезвычайно важно. Перепишем эту формулу для данного случая в виде У<( 0'> 1 ~ — — — 1 —. (т) )' )г, г„ (6.11) ф(Л )'> 1/ Р 1 <т> )1 Р !у" !/(>' (6.12) где и = (т)17)гг. Из (6.12) видно, что относительная роль флуктуаций возрастает с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются.
Например, если взять область, в которой в среднем находится всего несколько частиц„то относителъная величина флуктуаций составляет весьма заметную долю числа частиц. Если область столь мала, что в среднем в ней находится всего 10 частил, то относительное При 1', — Р относительная величина флуктуаций стремится к нулю и при г', = Р становится равной нулю, поскольку во всем объеме полное число частиц фиксировано, равно и и никаких флуктуаций числа частиц нет. При уменьшении 1', относитель- наЯ величина флУктУаций возРастает. ПРи (гг «Рможно в (6.11) пРенебРечь единицей по сравнению с (Р/$'г)» 1 и написать формулу в виде % !.
Статистический метод стандартное отклонение достигает примерно 1113. Если же при нормальных атмосферных условиях взять объем 1 ммз = 10 з см', то в нем в среднем содержится <лг> = 2,7 10'в частиц, а относительное стандартное отклонение меньше 10 '„т. е.
является очень малой величиной. Поэтому в макроскопических системах статистические флуктуации незначительны. Можно с большой точностью считать, что величины равны своим средним значениям. Рассчитаем относительную величину флуктуации с помощью распределения Пуассона: С- ш'(< >) гю С- (~(~ — 1)+ ~1(<и>)). <.> Лг! и! я =О =-о (< >) < >+ ™Э (< >) йи> (< >)2+< > (л1 — 2)! 2', (лг — 1)1 м=з =1 и, следовательно, <(Ллг)2> = <л22> — (<лг>)2 = <лт>, что, как это н должно быть, совпадает с (6.12).
Все только что сказанное относительно флуктуаций в системе идеального газа имеет общее значение и применимо также ко всем другим системам. Это очевидно из того обстоятельства, что при выводе всех соотношений использованы только общие статистические свойства системы и не использованы какие-то специальные соображения, применимые только к данной системе.
Однако целесообразно рассмотреть этот вопрос и в общем случае. Относателысая величина флуктуаций. Пусть Г характеризует систему л частиц, являясь суммой соответствующих величин, относящихся к частицам системы: Р =,'.Уь (6.13) ° Относительная роль флуктуации уненыиается с увелнчемиен области и среднего числа частиц в ней. Позтому в макросколических систеиах статистичесмие флуктуации незначительны и с болыиай точностью все величины равны нх средины значениям. О 1.
Почему флуктуации иепьы характерияовать просто средней величиной отклонения от среднегог 2. Какими общими свойствани яависиности стандартного отклонения и средней величины от числа частиц системы объясняется уменыиение относительной роли флуктуаций с увепичениен числа частиц! З 6. Флуктуации Ю где Д вЂ” значение г" для 1-й частицы. Например, если à — кинетическая энергия всех частиц системы, то 11 — кинетическая энергия 1-й частицы.
Среднее значение величин, входящих в формулу (6.13), можно вычислять как по времени, так и по ансамблю. Согласно эргодической гипотезе, результат будет одинаков. Поэтому усреднение обозначим, как обычно, знаком ( ) без указания переменнъ1х, по которым производится усреднение. Из (6.13) следует (6.14) <Р>= Х <Х> Отметим, что (Е) здесь не есть сумма энергий всех частиц какой-то системы в некоторый момент времени, деленная на число частиц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
