А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В этом состоит главна» часть эргодической гипотезы, однако не ясв гипотеза. Нто же еще требуется доказывать? 40 1. Статистический метод С учетом (4.4) и (4.3) выражение (4.2) может быть представлено в виде (4.5) (4.7а) где сумма берегся по всем 1, соответствующим утй ячейке. С учетом (4.8) формула (4.76) приобретает вид Т= ,'1 Тй /= е Перепишем ранено~во (4.6) с учетом (4.7), (4.76) и (4.8): (4.9) (4.10) где хт — х-Я кооРдината утй Ячейки; У, — веРоЯтность того„ что частица находитсЯ а этой ячейке. Это выражение соответствует формуле (2.17) математического ожидания случайной величины.
В ее правой части в явном виде нет упомнниеия об ансамбле систем. Представление об ансамбле в этой формуле зафиксировано в неявном виде наличием вероятности Я~ нахождения частицы в Тай ячейке. Иногда с помощью формулы (4.5) рассуждения о вычислении средних по ансамблю оказываются проще, чем с помощью формулы (4.2), хотя, конечно, обе формулы эквивалентны. Вычисление средних по времени. Проследим за положением рассматриваемой частицы в олной из систем ансамбля в течение очень большого промежутка времени (Т- со) и найдем среднее значение квадрата х-й координаты этой частицы.
В нашей модели координата х(г) этой частицы изменяется скачками при переходе частицы из одной ячейки в другую. Тогда, по определению среднего по времени, (х')~ = 1пп — х'(г) ба (4.6) т-, Т) о Обозначим последовательные скачки частицы индексом 1; х; — координату ячейки, в которую при своам движении частица переходит после 1-го скачка, а Лй— время пребывания частицы в этой ячейке после прибытия туда при 1-м скачке.
На основании сказанного, интеграл в (4.6) можно преобразовать: т Ю )хт(г)е)г = 2 х,'.бгь о 1=е где и — число скачков в течение времени Т. ,'1„Ьг; = Т. (4.76) 1=1 При очень большом времени Т- сэ частица много раз попадает в каяотую ячейку.
Таким образом, за врлня Тона в 7зй ячейке проведет время Т,=2 Ьгь (4.8) 4 4. Постулат рзвнпвсроятносзи и эргодичсская гипотеза 41 где у 1пп (Т27Т) (4.11) Это продолжительность пребывания частицы в утй ячейке относительно всего времени. В соответствии с определением вероятности (2.2в) Я~ является вероятностью пребывания частицы в утй ячейке. Эргодичеекая гипотеза. Спрашивается: равна ли вероятность (4Л1) вероятности (4.3)? На этот вопрос приведенные рассузкдення не могут дать ответ, однако интуитивно представляется очевидным, что это так.
Утверждение а р — ф (4.12) (где ~~ определяется формулой (4.3), а Уз — формулой (4.11)3 называется эргодической гипотезой. Ее можно выразить в ином виде, если на основании (4,10), (4.5) и (4Л2) написать (хзу ( зу (4Л3) т. е, среднее по ансамблю равно среднему по времени. Доказательство справедливости этой' гипотезы для общего случая до настоящего времени отсутствует. Она является одним из основополагюощих допущений статистической физики.
Впервые эта гипотеза была высказана в 1871 г. Л. Больцмаиом (1844 — 1906). Затем Дж. Максвелл в 1879 г. проанализировал возможность замены средних по времени средними по ансамблю. Мы проиллюстрировали основное содержание эргодичсской гипотезы иа искусственном примере «состояний одной частицы», чтобы выявить наиболее наглядно ее сущность. Однако в действительности речь идет о состоянии системы, состоящей из громадного числа л частиц. В этом случае ансамбль систем, взятый в некоторый момент времени, предо~валяет совокупность микросостояний системы.
Эргодическая ° Постулатом равновероятности называется утверждение о равноверовтности различных ннкросостояний. Вероятности же различных макросостояний резко отличаются друг от друга. Эргоднческая гипотеза утверждает,что в состоянии равновесия средняя величина по ансамблю равна средней величине по времени. 42 Е Статистический метод гипотеза предполагает, что в этой совокупности имеются все возможные микро- состояния системы, которые только совместимы с пространственными возможностями движения частиуз и с законом сохранения энергии (если рассматриваются также и распрелеления частиц по импульсам). Любая из систем ансамбля в течение достаточно продолжительного промежутка времени пройдет все возможные микро- состояния, причем ее относительное время пребывания в каждом из микросостояний равно относительному числу систем в ансамбле, находящихся в этом микросостоянии.
Следствием этих двух допущений является положение о том, что средние по ансамблю равны средним по времени. Оно само может быль принято в качестве формулировки содержания эргодической гипотезы. Другими словами, эргодическая гипотеза может быть выражена в виде утверждения, что, начиная свое движение из любого состояния, система обязательно достигнет состояния, сколь угодно близкого к любому другому состоянию, совместимому с законом сохранения энергии. Оговорка о том, что система достигнет не любого возможно~о состояния, а состояния, сколь угодно близкого к любому возможному, весьма существенупь Возьмем, например, идеальный газ, для которого эргодическая гипотеза, вероятно, выполняется, и тем не менее можно указать состояния этой системы, которые наверняка не достигаются.
Пусть газ помещен в кубический сосуд и все частицы газа движутся параллельно одному из ребер и распределены в пространстве так, что не сталкиваются друг с другом, а сталкиваются последовательно лишь с двумя противоположными гранями куба. Система в этом состоянии движения будет пребывать бесконечно долго, и не может случиться, чтобы хотя бы одна из частиц стала двигаться не параллельно избранной грани куба. Поскольку движение частиц управляется уравнениями механики, которые обратимы по времени, следуе~, что система не может прийти в это состояние движения из других состояний, в которых имелись скорости частиц„ не коллинеариые рассматриваемой грани куба.
А это и означает, что для системы идеального газа, которая считается эргоднческой, имеются недостижимые состояния. Однако система обязательно подойдет сколь угодно близко к этим недостижимым состояниям. Связь постулата равповероятпоетп п зргодпческой гипотезы. Если считать зргоднческую гипотезу справедливой, то, пользуясь в классическом случае теоремой Лиувилля, а в квантовом случае — принципом детального равновесия, можно доказать постулат равновероятности. Однако это доказательство выходит за рамки материала книги. Ь Какую модель расположения и двиэкени» нолекуп газо приходится признать. чтобы придать определенный снысл представлению ое иэненении никроскопического состояния> К Разъясните смысл раэпичных формулировок эргодической гнпотеэы.
3. Приведите пример недостижимого для эргодической гипотезы состояния, которое, однако, совместимо с законом сохранения энергии. 4. Каков источник трудности подсчета числа микросостояний в доквантавой физике! б 5. Вероятность маьросастояния 43 б 5 Вероятность макрасостояння Олрелеляется понятие термодинамической вероятности и на основе обшей связи межлу микроскопическими и макрасканическими состояниями вычисляется вероятность макросостояиня. Выясняется связь между раваовесным и наиболее вероятным макрасостаяииями.
Выводится бииомиальное распределение и распределение Пуассона. Вероятность макросостояния. Она осуществляется посредством большого числа микросостояний. Если известны признаки, которыми характеризуется данное макро- состояние, то можно, в принципе, перечислить все микросостояния, совместимые с этими признаками, и подсчитать нх число. Обозначим Г„число микросостояний, где индекс п характеризует макрососгоянне. Можно, конечно, признак макросостояния, к которому относится Г, отличать в виде аргумента у Г, например Г(п), или каким-либо другим наиболее удобным в конкретных условиях способом. Обозначим Г, общее число состояний, достижимых для системы в соответствии с гипотезой эргодичности. Тогда на основании постулата равновероятности для микросостояний и определения вероятности (2.1) для вероятности У„рассматриваемого макро- состояния получаем (5.1) Число микросостояний Г„называется также термодинамической вероятностью макроскопического состояния.
Это число не является вероятностью в математическом смысле, поскольку она всегда или равна или меньше единицы, число же Г„ очень большое. Тем не менее оно получило название вероятности (термодинамической), поскольку с его помощью по формуле (5.1) находится вероятность соответствующего макросостояния. Задачей теории является определение числа состояний, входящих в формулу (5.1). Конечно, прямой подсчет числа состояний возможен лишь в редких случаях. Поэтому задача теории в большинстве случаев заключается в том, чтобы найти число состояний, не пересчитывая их, или лаже найти сразу вероятность У„, не зная числа состояний.
Различные приемы„с помощью которых это достигается, будут рассмотрены в последующем. В случае идеального газа сравнительно легко осуществить прямой подсчет числа микросостояний по пространственным переменным. Отметим, что пренебрежение состояниями, которые обусловлены распределением частиц по импульсам, не есть ограничение на справедливость анализа пространственного распределения частиц. Очевидно, что распределения частиц по координатам (пространственным ячейкам) н импульсам (импульсным ячейкам) можно рассматривать как независимые. Поэтому полное число микросостояний системы равно произведению числа пространственных микросостояний на число импульсных микросостояний. При вычислении вероятности некоторого макроскопического пространственного распределения число импульсных состояний одинаково как при вычислении числа микроскопических сост.ояний, посредством которых осуществляется данное макроскопическое состояние, так и при вычислении гюлного числа микросостояний системы.
Следовательно, число импульсньух состояний войдет сомножителем в числитель и 44 1. Сзатястяческяй метод знаменатель формулы (5.1) и сократится. Тогда в формуле при вычислении вероятности макроскопического пространственного состояния под Г„и Г можно понимать только число пространственных микросостояний.
Формулы элементарной комбинаторики. Для прямого расчета числа микросостояний необходимы некоторые математические формулы теории размещений. Пусть имеется и мест и и различных предметов. Спрашивается: сколькими способами эти и различных предметов можно разместить по и местам? Возьмем какой-либо предмет из и различных предметов. Его можно разместить на и имеющихся мест и способами. Второй предмет при каждом из и положений первого предмета может быть помещен в и — 1 мест и, следовательно, два предмета могут быть размещены на и местах и(и — 1) различными способами. При каждом из и (и — 1) размещений третий предмет может быть помещен на и — 2 мест и, следовательно, три предмета на и местах могут быть размещены и(и — 1)(и — 2) способами и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
