А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В результате формула (5.10) принимает вид (5.14) Она имеет очень простой смысл: р = (Х,~Ж) = (г",/$') — вероятность нахождения частицы в объеме 1',; и = 1 — АУ,!Ж = 1 — р — вероятность нахождения частицы в остальной части объема 1' — Рр Как и должно быть, р+ и = 1, потому что частица находится либо в Ро либо в $' — Рр Формулу (5.14) удобно записать с помощью вероятностей р и с нахождения отдельной частицы в объемах У, и $' — )г,: (5.15а) Это распределение называется биномиальным.
В определении (5.15а) биномиального распределения объем г', не имеет значения, поскольку он выбран лишь для того, чтобы придать наглядный смысл вероятности р для отдельной частицы, находящейся в этом объеме. Содержание этого определения не зависит от выбора объема рн что отражено и в форме записи (5.15а) отсутствием Г, в явном виде в правой части. Поэтому дадим другое, более общее определение биномиального распределения. Пусть производится испытание на появление некоторого события, причем в каждом испытании событие может либо наступить, либо не наступить. Другого исхода не может быть.
В качестве примера можно взять вытаскивание шаров из урны. В урне имеется какое-то число шаров различного цвета. Испытание состоит из вытаскивания шара наугад. После фиксации цвета шар возвращается обратно и шары перемешиваются, чтобы последующее испытание происходило в тех же условиях, что и предыдущее. Другими словами, исход каждого последующего испытания не должен зависеть от результатов предыдущих и вероятность результатов отдельного испытания должна быть неизменной. Пусть изучаемым событием является вытаскивание шара определенного цвета, например черного. Обозначим р вероятность его извлечения прн отдельном испытании.
Тогда вероятносп, того, что шар при испытании ие буде~ извлечен, равна с = 1 — р. Найдем вероятность того, что при л испытаниях рассматриваемое событие ° Числа ннкрососталний, посредствам которыя осуществляетсл данное накросостояние. называется тернодиианической вероятностью накросостоянил. Зто число очень велико. Веролтнастыа макроскопического состояния системы иазываетсв отложение его терноднланической вероятности к общену числу возмажмык никросостолний системы.
Наиболее вероятным состолннен изолированной системы, предоставленной соила себе, является равновесное. 4 А. Н. Матвеев — !438 5В 1. Статистический метод наступит т раз. Прежде всего вычислим вероятность того, что событие наступит т раз в определенной последовательности, например такой: (+)(+)( —.)(+Н-Н вЂ” )( — Н+)"-, (и) ы событий, и пспытпний где (+) означает, что собьпие наступило, а ( — ) — не наступило в соответствующем испытании. Вероятность осуществления последовательности (и) по общему правилу умножения вероятностей равна рр(! — р) р(1 — РН1 — р)(1 — р) р " = р" (1 — р)" ", поскольку изучаемое событие в ряду из и событий наступает е раз. Однако оно может наступить т раз не только в указанной в (*) последовательности, но и во многих других последовательностях, общее число которых было вычислено в (5.5).
Поэтому вероятность того, что в последовательности и испытаний рассматриваемое событие наступит т раз, равна (5.15б) В формуле (5.15а) «испытанием» является фиксация местонахождения частицы. Результат испытания — частица либо находится в объеме У, (вероятность р = У,/У), либо не находится. Общее число испытаний равно обйцему числу частиц, местоположение которых фиксировано. Рассуждения, которые привели к (5.15б), можно обобщить на случай нескольких независимых событий А,, Аз, ..., вероятность наступления которых в отдельном испытании р„рж ... Поскольку события независимы, то р, + рй + ... = 1. Вероятность того, что в некоторой серии из и испытаний события произошли в какой-то конкРетной последовательности Айн А;, А!,, ..., Равна Р... Рйц Рьл ... ВеРоЯтность того, что в этой последовательностй событие А, встретилось т, раз, событие А, — т, раз и т.ди равна (5.15 в) (т! + ез + ...
= И), где множитель и!,!(тс!т,!...) учитывает число способов, которыми т, событий А„тй событий Ай н т. д. могут расположиться в последовательности событий. Значение У„(е!, еж ...) является вероятностью того, что в серии из и испытаний независимое событие А, произойдет е, раз н т.д. Бнномиальное распределение (5.15б) является частным случаем формулы (5.!5в).
При этом рассматриваемое событие может либо наступить с вероятностью р, = р, либо не наступить с вероятностью р, = 1 — р. Поэтому вероятность того, что в серии и испытаний это событие наступит е раз н, следовательно, не наступит и — т раз, по формуле (5.15в) равна и! ~п(И! и сИ) = — — — — р (! — р)" т ! (и — 3и) ! что совпадает с (5,15б), 4 5. Вероятность макроеостояняя 51 Наиболее вероятное число частиц.
Как это непосредственно видно, при очень малых т- 0 и ««ри очень больших т — и значение У(1',, т) очень мало: У(ро т- О) =9"- О, У(1'«, т- и) р" — О, поскольку 9 и р меньше единицы, а и велико. Прн некотором промежуточном значении т У(Г„т) достигает максимума.
Чтобы его найти, необходимо решить уравнение дУ(Г«„т)/«)т = О. Вычислим эту производную для случая, когда г'«и р достаточно малы, а ц близко к единице. Но„с другой стороны, объем 1', не должен быть слишком малым, когда р становится ничтожно мало. В этом случае член р настолько мал, что множитель нз факториалов в формуле (5.15а) перестает играть какую-либо роль. При этих условиях максимум достигается при достаточно больших значениях т, а факто- риалы в (5.15) можно преобразовать по формуле Стирлинга (5.11), однако при этом не во всех случаях можно отбросить т по сравнению с и. Тогда и . '(и/е) / и ««(1 — т/и) (5.16) т! (и — «и) ) (т/е) ~(п — т)/е]" (, т / (1 — т/и)" Поскольку и — ю, то (1 — е/и)" = е .
Поэтому формула (5.15а) принимает вид У(ри т) т — р «)" (5 17) Дифференцируя это выражение по т и приравнивая производную к нулю, получаем уравнение для определения значения то, при котором достигается максимум: 1п — -- — 1 = О, то9 (5.18) (5.19) то иР/9 Ч«.
так как 9 т 1. Поскольку весь расчет был произведен приближенно, то можно говорить о равенстве (5.19) лишь как о приблизительном. Более точные оценки показывают, что оно соблюдается с громадной точностью при большом числе частиц и в объеме К и при не слишком малом объеме Ро Смысл этого результата чрезвычайно прос~: и/«'= ио — концентрация частиц в объеме, если бы они были распределены равномерно по всему объему. С другой стороны, и„, =то/Р«является, очевидно, наиболее вероятной концентрацией частиц в объеме ьи Учитывая, что р= ««/К можно равенство (5.19) представить в виде (5.л)) ««мам ««о наиболее вероятной концентрацией частиц в объеме р«является такая, которая соответствует равномерному распределению частиц по всему объему. Поскольку положение объема Р; совершенно произвольно и может быть выбрано в любой области объема Р непосредственно заключаем, что «ииболее вероятным распределением плотности частиц в объеме является равномерное распределение, Такое состояние замкнутой системы является стационарным и равновесным (по определению).
Поэтому полученный результат можно выразить по-другому: равновесным состоянием системы являешься ее наиболее вероятное состояние. 4* 52 1. Статистический метод Бивомиальное распределение. Формула (5.15а) называется биномиальным распределением по ее связи с формулой бинома Ньютона, имеющей вил и-е "(и 1) з -и Й+Р) =6+1,РЧ + 2~ РЧ +" — р"' " + ... + р". (5.21) Ие! Если принять во внимание (5.5), то становится очевидным, что вероятности (5.15) совпадают с отдельными членами бинома (5.2Ц, когда р и а интерпретируются как вероятности. При этом р + е) = 1 и формула (5.21) превращается в условие нормировки вероятностей: Зависимость У(Рп еп) от еи показана на Рис.
7 в виде сплошной кривой, поскольку в масштабе, который приходится использовать, значения ие очень большие и отдельные точки как бы сливаются в непрерывную кривую, хотя, конечно, это обычный результат чертежной процедуры, а отнюдь не возможность построения непрерывной кривой из отдельных точек. Кривая представляет собой очень высокий и узкий пик, максимум которого находится при т =и/)'.
Высота и ширина пика между собой связаны условием нормировки Лен У()'иле „)- 1, (5.22) (т7 и1 7. Биноми~ьное реепрепеление при болыпи» и и Св7 где Леи — ширина пика. Таким образом, вероятносп того, что число частиц в объеме ); отклонится даже незначительно от пт „„., совершенно ничтожна и очень быстро убывает с увеличением отклонения. Но тем не менее число частил не равно все время строго еи „ а колеблется около этой величины.
Эти отклонения называются флуктуациями. Предельные формы бииомиальиого распределения. При числе испытаний и -+ со распределение (5.15б) стреми~ся к предельному виду, зависящему от условий стремления к бесконечности. Имеются два важнейших предельных случая: 1) если и -+ со при р = сопз1, то получается нормальное распределение (см, й 8); 2) если и — ео при ир = сопз1, то получается распределение Пуассона.
1 5. Вероятность мяярососюяння 53 Распределение Пуассона. Обозначим (еУ среднее число частиц в объеме Р„ который рассматривался в связи с выводом формулы (5.15а). Поскольку и!'$'есть средняя концентрация частиц во всем объеме, то ((тУ,Ф',) = и!'1' илн г',/Г= (еУ/и, Подставляя это значение для Р;,!Г= р = (тУ/п в (5.15а), получаем У„(е) =, —, — 1— Преобразуем правую часть п(п — 1)...
(и — е + 1) «е)) (г (еу '~" е! 1 1 1 1 2 1 т 1 «т>) (1 — (еУ/и)" (1 — (т)!'и)" Отсюда при и- со получается предельная форма биномиального распределения: (5.23) 1йп 1 — — =е '. где учтено значение хорошо известного предела о (р Ьс) е! (5.24) Формула (5.23) называется распределением Пуассона. По ходу вывода ясен смысл распределения: если в неко~ором объеме, интервале времени и т. д. наблюдается в среднем (т) событий, то вероятность обнаружить в наблюдении т событий равна У(е). Применение этой формулы к расчету числа частиц в объеме Ро если известно, что среднее число частиц „в этом объеме равно (еу, очевидно.
В качестве другого примера рассмотрим истечение газа из сосуда через небольшое отверстие в тонкой стенке. Чтобы обеспечить независимость вылета отдельных молекул из сосуда от судьбы других молекул, будем считать, что вне сосуда вакуум, а внутри сосуда газ очень разреженный и молекулы сталкиваются между собой сравнительно редко; во всяком случае, в отверстии при вылете из сосуда они не сталкиваются между собой. Кроме того„чтобы обеспечить неизменность условий в сосуде при вылете из него молекул, будем считать объем сосуда и число молекул в нем достаточно большимгь а отверстие и число вылетевших в процессе эксперимента молекул— достаточно малыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
