А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 17
Текст из файла (страница 17)
([та„!тг— — т!))) =- О. Тогда ([%в ктг ч!)г) = [1/кт! + тг)э [(т! тг) (аъ гчг)) + + тг (тг) — т! (а,)1 = О. Поскольку скорости молекул перво~о и второго сортов не коррелированы, должно быть ((тктг)) = О. Поэтому кл, (рг) = т, (ег). Иначе говоря, (т,е',/2) = (тле~а!2), в чем и требовалось убедиться.
Харангерньке скорости распределения Максвелла. Виц распределения Максвелла показан на рис. 10. С увеличением скорости максимум распределения смещается в сторону больших скоростей, а высота кривой в максимуме несколько понижается. Наличие максимума объясняется тем, что кривая отражает результат двух противоборствующих тенденций; вероятность состояний с ростом скорости падаег, а плотность состояний увеличивается. При малых скоростях преобладает тенденция роста плотности состояний, при скоростях после максимума кривой преобладает тенденция уменьшения вероятности состояний.
Среднее значение функций кр(п)„зависящих от абсолютного значения скорости, вычисляется гю формуле для среднего: (ф) = 1 р(е)Л ) б . 18.17) е !О. Распределение Максвелла Определяя по этой формуле (е) и (рг), находим: (е) = ДУЕТ/[лт), )/(рг) = )/":))сТ(т. 18.18) Скорость п„соответствующая максимуму кривой, назы- памического равновесия [см. 18.14), 1815)). В этом можно убедиться также прямым вычислением.
Обозначим величины, относящиеся к молекулам первого и второго сортов, индексами 1 и 2. Возьмем всевозможные пары молекул и вычислим нх относительные скорости т, — т, и скорости их центров масс та и — (тге ! + тгтг)/(т! + тг). 70 !. Статистический метод вается наивероятнейшей. Она находится из условия экстремуьеа 11((и)!др = 0 и равна и, = 'у'2(сТ(т. (8.19) Из сравнения (8.18) и (8.19) получаем следующее соотношение между характерными скоростями распределений Максвелла: (еа) = )13к/8 (р) = )УЗ/2пв (8.20) Скорости на рисунке указаны штрихованными линиями.
Такое расположение обусловлено характером распределения, при котором существенный вклад в (с) и (са) вносится сравнительно большими скоростями. При комнатной температуре характерные скорости молекул кислорода и азота в воздухе равны примерно 400 — 500 м(с. Скорости молекул водорода при этом примерно в четыре раза больше.
С повышением температуры скорости молекул растут как )ГТ. Распределение Гаусса. В распределении Максвелла (8йб, плотность вероятности скорости определяется величиноР ехр( — тпа!(2)сТД, а множитель н' учитывает плотность состояний. Распределения, плотности вероятности в ко. торых определяются множителем вида ехр( — пх'), весьма часто встречаются в теории случайных величин, и важнс представлять себе, какие обстоятельства приводят к такому виду распределения вероятностей. Пусть производится стрельба по некоторой мишени с намерением попасть в ее центр (рис. 11). В результате всяких обстоятельств, которые даже невозможно перечислить, пули, как правило, не попадут в центр, а распределятся совершенно случайно и симметрично относительно центра, поскольку все направления эквивалентны.
Найдем их распределение. Начало системы координат поместим в центр мишени. Причины, отклоняющие пулю в направлении У, не зависят от причин, отклоняющих ее в направлении Х, причем оба направления совершенно эквивалентны. Обозначим ср(ха) плотность вероятности отклонения пули в направлении оси Х.
Ясно, что эта величина зависит от х', поскольку отклонения в положительном и отрицательном направлениях равновероятны. Плотность вероятности отклонения в направлении оси У есть ср(у'). Рассчитаем относительное число частиц Йп/и, попавших на площадку 65 с координатами (х, у), По теореме умножения вероятностей оно равно дл/л = ср(ха)ер(уа)дя, (8.21) где и — общее число частиц, попавшее на мишень. 11. К выводу распределения Гаусса 8 8.
Распределение Максвелла 71 Теперь повернем систему координат так, чтобы ось Х прошла через рассматриваемую площадку. В этой системе координат с1лгсм = ср (х") с15. Ясно, что это та же величина, что и в (8.21), поэтому ср(хг) ср(уг) = ср(х') = ср(х'+ у') — функциональное уравнение для определения вида функции ср. Оно должно быль справедливо при произвольных независимых изменениях х и у. Прологарифмируем обе части и найдем ик дифференциалы: ср'(хг) ср'(у') р'(х'+ у') ср(х ) ср(у') ср(х' р у') -г — 2хс1х + — — 2уду = — (2хс)х+ 2ус)у), или (8.22) с ср'(хг) ср'(хг р уг) ~) Г ср'(уг) ср'(хг + уг) ) ср(хг) ср(х + уг) ~ ~ ср(уг) ср(хг + уг) ~ Отсюда ввиду независимости дифференциалов следует: ср'(х ) ср'(х + уг) ср'(у ) ср'(х + у ) — — =с, г г г 0' ср(х') ср(х + уг) ' ср( г) р(х'+ Тогда р'(х') р'(у') ср(х ) ср(у ) ' что ввиду независимости х и у возможно только в случае, когда эти выражения равны одной и той же постоянной, т е.
ср'(х ) ср'(уг) =+ш ср (х') ср (уз) (8.23) Интегрируя эти уравнения, находим: ср(хг) Аег * ср(уг) 4ег Р О С. Как изнениется распределение Максвелла с ростом температуры! 2. сСем обусловливается существование максимума на кривой, характеризующей распределение Максвеллаз 3.
Откуда следует. что в состоянии равновесия все части системы имеют одну и ту же температуруз а Какал связи существует между распределениями Максвелла и Гаусса> Функция со знаком плюс в экспоненте не подходит в качестве решения, поскольку он означает безграничное увеличение плотности вероятности при удалении от центра мишени, что невозможно. Обозначая г' = х'+ у' квадрат расстояния от центра, 72 !.
Статистический метод !2 окончательно получаем й(гт) й>(зст) й(ут) Ате. „зятя гт! Ате „,т /(я) (8.24) где случайная величина обозначена х. Принимая во вни- мание значение интеграла ) е "сЬ=)/я, из условия нормировки 1 = ) /(х)сЬ = В ) е '!' агс)х =- — ) е е'дс =В1/— находим В = )/оз/я, поэтому / (х) = (сс/я)па ехр à — а (х — уз)т~. Вычислим среднее значение х и дисперсию ат; с (х) =(ст/я)'" )' хехрà — а(х — уз)т) с1х = с =(а/я)"т ) (з', + 12)ехр( — !тот!с(с = р; (8.26) о = ((х — уе) ) =(и/я)п х !2.
Изменение вида тауссовскозо расиРсдеясиия в зависимости от ззисдессии !о, < о,и оз! х ( (х — р)т ехр [ — а(х — )т)т2 тс)х = 1/(2сс). (8.27) Таким образом, а = 1/(2от) и распределение плотности вероятности может быть записано в стандартной форме: (8.28) Это распределение плотностей вероятностей называется распределением Гаусса. Экспоненпиальный множитель в распределении Максвелла имеет подобный вид (в нем вместо г' стоит ет).
Множитель от не имеет отношения к вероятностям, а учитывает плотность состояний. Таким образом, скорости в распределении Максвелла отклоняются от нулевой скорости по законам случая точно так, как пули отклоняются от центра мишени. Максимум плотности вероятности в (8.24) приходится на и =О. Если этот максимум приходится на г = р, то /(х) = Ве "!и (8.25) 1 е.
Распределение Макснелла 73 !3 На рис. 12 показаны это распределение и плотность при различных значениях о. Максимум тем выше и уже, чем меньше среднеквадратичное отклонение о. Функция распределения вероятностей в соответствии с определением (2.21) имеет вид Р(к) 1 Г Г 1 (х — Р)') Г(х) = — — — ~ ехр~ — — ----- — ))дх. 2 ст (8.29) Эта функция называется гауссовым или нормальным законом распределения. С помощью подстановки к = (х — Р)/о выражение (8.29) приводится к формуле т Ф(х)= .
) е'дс)г„ (8.30) )/2л -ы (Р-за) (Р-а) Р (Рта) (Р+За) (Р-2а) (Р+2а) где н„'+' — составляющая скорости в направлении положительных значений оси Х (молекулы, скорости которых направлены от стенки, в образовании потока не участвуют). Тогда частота ударов молекул о стенки сосуда, приходящаяся на единицу плошади, равна / '39 ы к=И ) /(Н)Н!тЗЙО= И ~ ) Ц Е '"(т*"'**Итак)дп С)р Х вЂ” о к — о 2я)сТ ' * к т' )сТ ') у* х ) е нт) Оат) и дп = и 1 — — — ) о 22щ о (8.32) Принимая во внимание формулу (8.18), окончательно напишем р = ио(ру/4. (8.33) )3. Распределение функпии ееронтностев Гаусса )4. К аычнсленмо числа уларов ыолекул о стенку Число молекул в различных участках распределения Максвелла. Если плотность молекул ио, то число )т((п„оа) молекул, скорости которых распределены между и, и па, равно а 4 ""е ))((и! еа) = ио ~Г(о)60 = и ( е и Йи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
