А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Давление равно импульсу, передаваемому стенке площадью 1 м' молекулами в результате их столкновений за 1 с. Поэтому давление есть удвоенный поток импульса молекул, нормального к поверхности стенки. Поток импульса по направлению к стенке за счет молекул, абсолютные скорости которых заключены между р и п+ г)п, равен согласно (8.31) гго)'(р) о„г+1гЫип '+ 1. (10.1) Индекс (+) у скоростей показывает, что этот поток созлается только теми молекулами, которые движутся к стенке (т.
е. половиной общего числа молекул). Тогда р„= 2 пош ~Я)(рх1'1)' г(п = по)гТ, (10.2) причем вычисление интеграла здесь проводится совершенно аналогично вычислениям в (8.32), которые были расписаны подробно. Совершенно аналогично вычисляются р„н ро которые дают тот же результат (10.2): р„= р = р, = р = по)сТ. Как и следовало ожидать, давление газа изотропно и его можно обозначить р без указания направления, к которому оно относится. Заметим, что это не всегда так. Если механические свойства среды анизотропны, то давление в данной точке в разных направлениях может быть различным.
В данном же случае, конечно, свойства газа изотропны. Выразив в (10.3) температуру через среднеквадратичную скорость г',пз) по формуле (8.18), можем записать уравнение (10.3) в виде (10.4) Это уравнение называется основным уравнением кинетической теории газов.
При выводе уравнения (10.4) не делалось никаких предположений о законе удара молекул о стенку сосуда. Этот процесс очень сложен и зависит как от снойств молекул, так и от свойств материала стенки и ее обработки. Отражение а~омов от стенки, вообще говоря, не происходит по законам зеркального отра- 88 1. Статис|ический метод Поскольку л непосредственно не измеряется для данной массы газа, необходимо придать уравнению более удобный вил. Для этого воспользуемся понятием моля. Общее число молекул в 9 молях молекул равно л = чад. Поэтому уравнение (10.5) может быть представлено в виде р(е.= 914 Т, (10.6а) где (10.7) й = /еМи — — 8,3!441 Дж,е(моль К) — молярная ~азовая постоянная.
Величины, относящиеся к молю вещества, называются молярными. Равенство (10.6а) называется уравнением Клапейрона — Менделеева. При Т= сонм получим уравнение Бойля — Мариотта, при р = сопя! — закон Гей-Люссака Введя понятие молярного объема, уравнению (10.6а) можно придать другой вид. Молярным объемом называется объем вещества, отнесенный к одному молю: объем, занимаемый газом 1' число молей газа и Меидееее» дммирии Иееиееии ГИ34 — 7907) Тогда можем записать (10.66) жения, т.
е. угол падения их на стенку не равен углу отражения. В большинстве случаев соблюдается «закон косинусов», когда интенсивность отражения в некотором направлении пропорциональна косинусу угла между этим направлением и нормалью к поверхности. От угла падения эта интенсивность почти не зависит. Если поверхность является гранью монокристалла, то закон отражения существенно зависит от характеристик кристалла, может иметь минимумы и максимумы в различных направлениях и ц д. Однако при расчете давления нет необходимости все это принимать во внимание, поскольку в стационарном случае при усреднениях тангенпиальные составляющие импульсов в конечном счете должны компенсироваться, а нормальные составляющие, по закону сохранения импульса замкнутой системы, должны обусловить возникновение давления (10.4).
Уравнение Клапейрона — Менделеева. Обозначая п общее число молекул в объеме 1'газа и принимая во внимание, что лр — — л7'К уравнение (10.3) представим в виде р)е= лйТ. (! 0.5) 5 1О. Дзвлснис 89 Во многих случаях целесообразно представить уравнение (10.6а) с использованием з2ичения массы газа в явном вцде. Для этого из соотношения (1.8) запишем М = ш/у, где М вЂ” молярная масса, ш — масса вещества. Тогда уравнение (10.6а) принимает вид ш рК= — Кт. М (10.8) Основанием лля присвоения уравнению (10.6а) имен Б. П.
Э. Клапейрона и Д. И. Менделеева послужили следующее обстоятельства. Сначала Клапсйрон записал объединенный закон Бойля— мариотта в виде рГ= А (267+ 2), гле А — постоянная лля данной массы газа; 2 — температура по шкале Цельсия; 267 в этом уравнении появилось потому, что Клапейром считал температурный коэффициент расширения газа равным не 1Д73, а 1/267. Затем эта запись была усовершенствована Д. И. Менлелсевым, который ввел малярную газовую постоянную в уравнение и записал его в виде (10.8).
Закон Дальтона. Как уже неоднократно отмечалось, отдельные компоненты смеси газов можно считать независимыми. Поэтому каждая компонента создает давление, соответствуницее (10.3), а полное давление равно сумме давлений компонент: (10.9) (р + р + " + р;) К= ~ — + — + ... + ' Дт. "2! '~'2 ай (М2 М, " М / (10.10а) ° Поверхность твердого тела не поможа на эеркальмую гладкую поверхность для псщающим ма нее налекул. Она ближе к занысловатону рельефу, определяенону свойствен» твердого тала и характером обработки поверкности.
Паттону столкновение молекулы или атома с поверммостью является сложнын процессам. Детали этого процесса при анализе несущественны, поскольку закон сомранения ннпупьса для изолированной системы, который при этан используется, справедлив всегда. где р; — парциальное давление. Закон, выражаемый равенством (10.9), называется законом Дальтона. Ясно, что при достаточно больших концентрациях (давлениях) газов следует ожидать отклонения от закона Дальтона, поскольку должно проявиться фактически имеющееся взаимодействие между различными компонентами смеси, благодаря чему опи не будут вести себя как независимые.
И действительно, такие отклонения от закона Дальтона при достаточно высоком давлении наблюдаются. Этот закон был открыт в 1801 г. Д. Дальтоном (1766 в 1844) и им же был объяснен с помощью атомистнческой гипотезы. Обозначая рь гль М; соотве2а2венно парциальные давления, массы, молярные массы компонент смеси газов, уравнение (10.8) с помощью закона Дальтона (10.9) представим в пиле 90 1. Статисзяческий мс гол Обозначив давление смеси газов р = р, + р, + ...
+ рь ее массу и = и, + т, + + ... + т; и вводя среднюю молярную 'массу (М) смеси ~азов, посредством равенства (1/(М)) = (1/т)Цт,/М,) + (тз/М,) +... + (щ/М;)1 перецишем уравнение (10.10а) в виде, аналогнчном (10.8) для однокомпонентного газа КТ. (М) (! 0.106) Закон Авогадро. Из уравнения состояния ндеальных газов, записанного в виде (10.5), видно, что при одинаковых температурах и давлениях в равных объемах любого газа содержится одинаковое число молекул.
Это утверждение, установленное в 1811 г., называется законом Авогадро. Следовательно, моль любого газа при фиксированных температурах и давлениях занимает одинаковый объем. При нормальных условиях (р = 101,325 кПа; Т= = 273,15 К) этот объем равен Концентрапня молекул при этих условиях задается постоянной Лошмидта (10.11) Воздух в основном состоит из кислорода и азота. Поэтому формула для изменения давления в нем с высотой имеет вид рЯ = р, (й) + рз(й) = р, (0)ехр1г — т1дй/()сТ)1 + рз(0)ехрг 1— тэдом/ЯТЯ.
(10.12) Следовательно 1см. (9.13)3, соотношение компонент, а соответственно и соотношение парциальных давлений меняются с высотой. Однако массы молекул азота и кислорода близки друг к другу и это изменение несущественно. Упомянуто же здесь лишь для теоретической полноты картины.
Фактически смесь газов в отношении давления можно рассматривать как один газ со средней массой молекул (т) = (т„п, + т~п~)/(п, + п~). Учитывая, ~то '(т/(пТ))=ре/р„, где ре и р, являются плотностью и давлением при й = О, можно барометрическую формулу записать- в виде р(П) = де ехр( — рсдЬ/рп), (К!13) Барометрпческая формула. Поскольку формулой (10.3) давление однозначно выражается через температуру, то распределение Больцмана (9.9) позволяет сразу, без дополнительных вычислений написать распределение давлений прн тех же условиях, при которых справедлива эта формула, т. е.
в условиях равновесия (Т= сопя!). Поэтому в случае изотермической атмосферы распределение давления с высотой й дается для кажлой компоненты формулами р,(п) = п„ЯЯТ, р;(й) = р;(0)ехр1 — тдЩИТ)3 4 (О. Давление 91 2! причем у поверхности Земли принимается ро = 101,325 кПа. При этом считается, что температура с высотой не изменяется. Если выражать высоту в километрах, то барометрическую формулу удобно также представить в виде (принимая в формуле температуру равной 0"С) р()э) = ро ехр ( — )!/7,99).
(10.14) Однако в действительности атмосфера не является стационарной и фактически с высотой температура уменьшается. Благодаря этому существенно изменяется зависимость давления от высоты. При нетсоторых средних условиях, соответствующих среднему давлению ро на уровне моря и средней температуре 15"С на уровне моря вплоть до высоты 11 000 м (тропосфера), в качестве международной барометрической формулы принимается следующее выражение: а) б) (10.15) 2!. Схема сил, привопяхпих х воэнииновеннм архимеловой полъемной силы (с), полъемной силы аэростата (о! Эта сила равна весу газа, если его объем равен объему тела, как это и должно быть по закону Архимеда.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
