А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Статистический меюд ческой решетки показывает, что энергия колебаний атомов никогда не может быть меньше некоторого минимального значения. Соответствующие этой энергии колеба- ния называются нулевыми. Существование нулевых колебаний в кристалле было доказано экспериментально. Пример 11.1. В гелиевом газовом термометре постоянного объема в качестве термометрической величины берется давление. Значения !', = 0 и г', = 100 соответствуют точкам замерзания и кипения волы. Оценить погрешность, вносимую при измерении гелиевым газовым термометром, если считать известным из эксперимента„ что давление гелия в термометре объемом Г = 5000 смз достаточно точно описывается уравнением гТ а Р = — — — (Т= 273+ г), Т! 2 (11.7) единицах, спецификация которых гелий, а в качестве термометриопределим температуру аналогично Р— Ро .100 Р|оо Ро (11.8) Переписав (11.8) в виде ! (Р1оо Ро) = 100(Р Ро) ыаидем (11.9) т.
е. термометр достаточно точен. Например, при г = 50 разность Р— с = 6,4 10 о, а при г = 200 разность Р— г = 3,5 . 10 '. где г=2.10', а=8,4 10о, а Р выражается в не имеет значения для решения задачи. Взяв в качестве термометрического тела газ ческой величины давление при постоянном объеме (11.3а): !'(1 + А/373) = т 11 + А/(273 + г)]; А = а/(273гр). Из (11.9) видно, что при г, = 0'С и га = 100'С температура по термометру равна г', = 0 и га = 100, т. е.
в этих точках гелиевый дает точные показания. В других точках его показания отличаются значений. Принимая во внимание, что А = 8,44.10'/(2 10т. 273 5 10з) можно !' из (11.9) представить в виде !'- !11+ А/(273+ !)1(1 — А/273) = г)1+ А/(273+ т) — А/273+ ...], откуда г' — г = !— А (100 — !) 100 — г =ы83 10 ' — —— 373(273+ г) ' 273+ г ' гелиевому термометр от точных = 3,1.10 4 б 12 б !2. Распрелелснне энергии по степеням свободы 103 Распределение энергии по степеням свободы доваэыаытся теорема о равнораспрепеленнн энергии но степеням свободы н выясняютс» условия ее прнменнмостн и сложным частицам с внугренннмн степенями свободы. Число степеней свободы. Это число независимых переменных, которыми определяется состояние системы. Для того чтобы полностью охарактеризовать энергетическое состояние движения магериальной точки в некоторый момент времени, необходимо задать три компоненты скорости для определения кинетической энергии и три координаты для определения потенциальной энергии, т.
е. всего шесть переменных. При динамическом рассмотрении движения отлельной материальной точки эти переменные не являются независимыми, поскольку после решения уравнений движения коорлинаты можно выразить как функции времени, а скорости — через производные по координатам. Однако, когда точка становится частью статистической системы, такой подход невозможен и ее необходимо рассматривать как имеющую шесть степеней свободы. Статистическая система, состоящая из и точечных част~ш, имеет бп степеней свободы, причем Зп из них являются носителями кинетической энергии системы, а Зп — носителями потенциальной энергии, если система находится во внешнем потенциальном поле или частицы системы взаимодействуют между собой посредством потенциальных сил.
Последний вид взаимодействия в идеальном газе считается отсутствующим. Метод бп-мерного фазового пространства. В системах многих частиц используются два метода (см. р 8). Можно задачу свести к рассмотрению движения совокупности п частиц в 6-мерном фазовом пространстве переменных (х, у, г, Р„, Рп Р,). Именно этот метод до сих пор и использовался, поскольку он дает более наглядную картину. Сейчас же мы изложим другой метод, применяемый к доказательству теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы. В распределении Гиббса (7.5) в этом случае под е„следует понимать энергию некоторого состояния системы из и частиц.
Вся эта система погружена в очень большую сне~ему с температурой Т. Каноническим ансамблем при этом является большое число таких систем, состоящих из и частиц каждая. Энергия системы е, слагается из суммы кинетических энергий частиц и суммы их потенциальных энергий. Некоторое конкретное состояние системы характеризуется значением всех составляющих импульса и координат всех частиц системы„т.
е, бп переменными. Поэтому можно считать, что состояние системы изображается точкой в бп-мерном фазовом пространстве. В сущности говоря, бп-мерное фазовое пространство не труднее себе представить, чем б-мерное, поскольку в обоих случаях одинаково невозможно наглядное представление, которое мы имеем о трехмерном пространст.ве. Поэтому исходным является двумерное фазовое пространство, состоящее из одной координаты н олного импульса. Его можно, например, изобразить на чертеже, а затем уже с помощью воображения перейти к 4-мерному фазовому пространству, 6-мерному и т.
д., причем все эти многомерные фазовые пространства в нашем воображении в смысле ясности картины, в сущности, ничем не отличаются друг от друга. Элементарный фазовый объем в бп-мерном пространстве равен г(хг г(уг г1 г ыР г г(Ртэ ор*г г(хв г(Х» г(г» г(Ря г(Рг г(Р* (12.1) 104 1. Статистический метод т. е. произведению фазовых объемов, в которых может находиться каждая из частиц системы. Для упрощения обозначений произведение всех дифференциалов в (12.1) обозначим в виде (дх), а импульсов — (др), т. е.
фазовый объем равен ( )(М. Каждая частица в своем фазовом подпространстве согласно (4.1) занимает объем (2к)с)г. Поэтому и частиц в би-мерном фазовом пространстве занимают обьем (2М)гн и, следователъно„вместо формулы (8.1) получаем дГ = (д ) (д ),С(2 й)зк. Для вероятности нахождения частиц в элементе объема (дх) (с1р) би-мерного фазового пространства вместо формулы (8.2) получаем дУ= А ехр( — Вгч) дГ. (12.3) (12.4) Здесь масса частицы снабжена индексом ь потому что массы частиц могут быть и различными.
Энергия системы может быть записана в виде к„= рг /(2лс.) + е„', (12.5) где е,' — вся энергия системы за вычетом рг;сс(2исс), среднее значение которой мы хотим вычислить. Объем элемента фазового пространства может быть записан в форме (дх) (др) = (дх) дртс (др)', (12.6) Закон равнараспределенмя энергии подразуневает среднюю энергию, прикодяицмося на одну степень свободы. В конкретный нанент времени энергия. связанная с данной степенью свободы, может иметь всевозножные значения, отличающиеся, вообще говоря, от энергий, связанны» с другини степемяни свободы. Лищь средние энергии за достаточно бопыной пронежуток вренени, связанные с различныни степеняни свободы, равны друг другу. Согласно эргодической гипотезе, это означает также равенства средним значений энергии, приходящейся на соответствующие степени свободьь по ансамблю.
Постоянная А, как и прежде, определяется из условия нормировки. Для того чтобы найти вероятность того, что система частиц имеет заданную энергию г„необходимо в (12.3) произвести интегрирование по всем элементам фазового пространства, которые соответствуют энергии а„. Тем самым мы учтем вклад в вероятность от всех состояний, имеющих одну и ту же энергию с„. Таким образом, метод би-мерного фазового пространства использует те же самые понятия и приемы, которые в 8 7 — 9 были более наглядно при первом знакомстве применены для 6-мерного фазового пространства. Все дальнейшие приемы вычисления средних также аналогичны.
Вычисление срелией величины, относящейся к олной степени свободы. Вычислим среднее значение кинетической энергии, относящейся к х-й составляющей 1-й частицы: „г г (шсс) ( рс ) 2 2иьс 4 12. Распределение эиергпп по сэепеням свободы 105 (12.7) где знаменатель — величина, обратная нормировочной постоянной А, возникающая эа счет нормировки (12.З) на единицу.
Интегралы по всем переменным, за исклю- чением р„„в числителе и знаменателе (12.7) взаимно сокращаются; остается ) ехр( — фр~Д2тДЯ (рвЯ2тс)Зс)ры < -"-*-'->— 2тс ехр 1 — ()р~вС(2тс))с)р . !п ехр -"-'- с1ры (12 8) Такое представление среднего уже было использовано в (7.15); интеграл, аналогичный стоящему под знаком логарифма в (12.8), известен из (8.8), поэтому (12.9) Эта формула является выражением очень важного положения: на каждую степень свободы системы из и точечных частиц, дающую вклад в кинетическую энергию системы, приходится одна и та же энергия, равная с7,)сТ.
Еще раз отметим, что этот вывод справедлив также и для случая различной массы частиц. На основании этого вывода для полной кинетической энергии системы можем написать И'= Зп)сТ~Д (12.10) поскольку всего у системы Зп степеней свободы, дающих вклад в кинетическую энергию. Для потенциальной энергии различных степеней свободы никакого общего закона полобного типа не существует. Однако, когда потенциальная энергия имеет специальную, но очень важную и часто встречающуюся форму, дпя нее также справедливо соответствующее положение, которое сейчас будет доказано. Сложные часпщы со многими степенями свободы. Представим себе, что каждая из и частиц системы не является точечной, а состоит из нескольких точечных частиц, связанных меясду собой в единое целое некоторыми силами, которые без ограничения общности можно считать потенциальными, поскольку в противном случае в сложных частицах не сохранялась бы энергия и их нельзя было бы считать стационарно существующими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
