А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 27
Текст из файла (страница 27)
поэтому а „~ + + р~)/(2ийТ)) (ср) = г 3з )' ехр г — р'/(2тйТЯ «(Р~ = (~"~ 7) (12.24б) Принимая во внимание формулу Стирлинга (5.11), окончательно для статистического интеграла (12.24а) находим (12.25) (2кЬ)'"К 110 1. Статистический чехол Броуновское движение б 13 На примере броуновского двнження нзлагасгсн элементарная георня случайных блужданий.
Обсуждаегся эксперпмсн гальное определение постоянной Больпмзна из резульгзгон наблюдений броуновского даиженнн. Рассматриваются вращательное броуновское движение н проявление броуновского дннженп» в махрасхопнчссхнх ннленнях. Сущность. Достаточно мелкие частицы, взвешенные в жидкости, при наблюдении под микроскопом представляются находящимися в непрерывном дрожании. Это дрожание с течением времени не изменяется и продолжается сколь угодно долго. Оно наблюдается в жидких включениях ископаемых минералов, образовавшихся многие тысячелетия тому назад.
Это дрожащее движение называется броуновским по имени английского ботаника Р. Броуна, открывшего его в 1827 г. Молекулярно-кинетическое объяснение зюг о явления было предложено в 1905 г. А. Эйнштейном н независимо в !90б г. польским физиком М. Смолуховскнм (1872 — 1917). Онн разработали теорию явления, которая позволила нспользовпгь с~о для подзвержлення молекулярно-клнетнческой теории.
Эйнюжгйн Альбгргн 15879 -1955) Сущность этого движения в следующем. Частицы вместе с молекулами жидкости образуют единую статистическую систему. В соответствии с теоремой о равиораспределении энергии по степени свободы на каждую степень свободы броуиовской частицы должна приходиться энергия з,гз кТ. Энергия 7 зйТ, приходящаяся иа три поступательные степени свободы частицы, приводит к движению ее центра масс, которое и наблюдается под микроскопом в виде дрожания. Если броуновская частица достаточно жестка и ведет себн как твеРдое тело, то еще зУ'з 'кТ энеРгии приходится на ее вращательные степени свободы. Поэтому при своем дрожащем движении она испытывает также и постоянные изменения ориентировки в пространстве. Вращательное броуновское движение проще наблюдать на других объектах, а не на частипах, взвешенных в воде.
Поэтому, говоря о броуновском движении частиц, взвешенных в воде, имеют в виду дрожание центра масс частиц. Случайное блуждание. Уравнивание средних кинетических энергий происходит вследствие беспорядочных столкновений между частицами, а движение каждой из частиц в результате столкновений является случайным процессом. Рассмотрим положение броуновской частицы через неко- 1 13.
Броуновское движение 111 торые фиксированные промежутки времени. Начало координат поместим в точку О, в которой частица находится в начальный момент времени. Обозначим с)г вектор, который характеризует перемещение частицы между (г — 1)-м и г-м наблюдениями. По истечении л наблюдений частица сместится из нулевого положения в точку с радиус- вектором г„(рис. 22): и г.= ХЧ; (13.1) 1=1 Перемещение частицы в промежутках времени между моментами наблюдения происходит не по прямой линии, а по столь же сложной изломанной линии, как и перемещение от исходной точки к точке, характеризуемой радиус-вектором г„. Можно произвести серию опытов, в каждом из которых броуновская частица выходит из начала и через п шагов приходит в некоторую точку с радиус-вектором г„.
Ясно, что все г„будут различными. Вычислим средний квадрат удаления частицы от начала после п шагов в большой серии опытов. Очевидно, ча <".> =( Х йР)1) = Х«)'>+ Е<чч)2>, (1 3.2) (13.3) 22. Перемепгение часпгпы при броунаиском полнении. Кривыми лиииими обозначены шаги с б-го по Рг — П-й где Лг — промежуток времени между наблюдениями; 1=Ьгп — время, в течение которого средний квадрат удаления частицы стал равным <ггз>. Поэтому, несмотря на то что направления, в которых частица перемещается при каждом шаге, равновероятны, в среднем частица буде~ удаляться от начала.
Это особенно очевидно, если вместо последовательное~и многих опытов со многи- где <г),'> — средний квадрат смегцення частицы на 1-м шаге в серии опытов (ясно, что он для всех шагов одинаков и равен какой-то положительной величине аи); <йге) > во второй сумме является средней величиной скалярного произведения при 1-м шаге на перемещение при уьм шаге в различных опытах. Ясно, что эти величины совершенно независимы друг от друга, одинаково часто встречаются как положительные значения скалярного произведения, так и отрицательные. Поэтому, очевидно, все члены второй суммы <с)ге)1> = 0 (1 Ф1) и выражение (13.2) принимает вид 112 1.
Статистический метод ми частицами представить себе один опыт со многими одинаковыми броуновскими частицами, помещенными в начало координат. Ясно, что «пятно» из этих броуновских частиц должно расползаться от начала координат. А это и означает рост среднеквадратичного отклонения со временем. Существенно в (13.3) то, что средний квадрат удаления растет пропорционально именно первой степени времени.
Расчет движения броуновсиой частицы. Для того чтобы охарактеризовать броуновское движение, необходимо в формуле (13.3) определить а. Ее можно, с одной стороны, найти экспериментально, измеряя <гг>, а с другой стороны, вычислить теоретически. Броуновская частица движется под действием случайной силы, возникающей за счет беспорядочных ударов молекул о частицу. Коэффициент трения частицы в жидкости из-за вязкости последней обозначим Ь.
Уравнение движения частицы имеет вид лгх = — Ьх + Р (13.4) где иг — масса частицы; Є— случайная силгь действующая на нее. Необходимо отметить, что член — Ьх также возникает вследствие ударов молекул. Однако при систематическом движении броуновской частицы со скоростью х случайные удары молекул против скорости частицы в среднем передают ей больший импульс, чем случайные удары в направлении скорости. Благодаря этому и возникает сила трения, которая описывается величиной — Ьх.
Аналогичный вид имеют уравнения движения для величин, относящихся к другим координатным осям. Умножим обе части этого уравнения на х, а члены хх и хх преобразуем: хх = (х /2) — (х)г, хх = (хг/2). (13.5) Тогда уравнение (13.4) приводится к виду (и/2) (хг) — иг (х)г = — (Ь/2) (хг) + )',х. (13.6) Усредним обе части этого уравнения по ансамблю броуновских частиц, учитывая при этом, что средняя от производной по времени равна производной от средней величиньь поскольку усреднение производится по ансамблю частиц, и, следовательно, переставимо с операцией дифференцирования по времени.
В результате усреднения (13.6) получаем ( Ч2Н<х >) "— <иг(х) > = — (Ь/2)(<х >)'+ <Р„х>. (13.7) Так как отклонения броуновской частицы в любом направлении равновероятны, то <х'> = <у'> = <и'> = <и'>/3. Поэтому из (13.2) получаем, что <хг> = си/3 и, следовательно, (<хг>)'=и/3, (<х'>)"=О. Из-за случайного характера силы Г„и координаты частицы х и их независимости друг от друга должно быть <Г„х> = О, и соотношение (13.7) сводится к равенству <ги (х)г > цЬ/6 (13.8) По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы, <иг(х)г> = = БТ и, следовательно, для и из уравнения (13.8) получаем а = 6/еТ/Ь, (13.9) где Ь, характеризующее силу жидко~о трения, действующего на броуновскую частицу, может быть выражено теоретически (формула Стокса), измерено экспери- ! 3. Броуновское движение 113 ментально и может считаться известной.
Температура Т известна. Поэтому формула (!3.3) с учетом (13.9) решает задачу о броуновском движении взвешенных частиц; (гг) 6)сТ1/Ь (13ЛО) Если гс считать измеренной в опытах по проверке распределения Больцмана (см. 9 9), то все величины в этой формуле известны и ее можно проверять экспериментально в смысле правильности зависимости от различных параметров.
В экспериментах, выполненных впервые Ж. Б. Перреном (1870 — 1942), начиная с !908 г., эти предсказываемые формулой (13ЛО) зависимости были подтверждены. Теперь, считая формулу обоснованной, можно ее использовать для уточнения и определения значения постоянной Больцмана (с, поскольку все остальные величины в этой формуле могут быть измерены независимо. Такое измерение )с было также проведено Перреном и дало результаты, хорошо согласующиеся со значением (г, полученным из измерений по распределению Больцмана.
Согласие этих результатов явилось в свое время (первая четверть ХХ в.) большим триумфом молекулярно-кинетических представлений. В связи с (13.10) возникает такой вопрос. Левая часть этого равенства не зависит от массы, поскольку Ь зависит только от радиуса частицы, а не от ее массы, как это непосредственно видно из формулы Стокса: Ь = бтЧыо (13.11) где )г — вязкость жидкости; го — радиус шарообразной частицы, движущейся в жидкости.
С другой стороны, средняя скорость частицы при одинаковой средней энергии уменьшается с увеличением массы, поэтому при прочих равных условиях более тяжелые частицы лрожат менее интенсивно, чем мелкис. Спрашивается: как же при совершенно различной интенсивности дрожаний легкие и тяжелые частицы тем не менее удаляются с одинаковой средней скоростью от начала? Ответ состоит в том, что легкие частицы действительно значительно более энергично движутся, чем тяжелые, но окончательный результат всех движений приводит к одинаковой средней скорости удшюния от начала.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
