А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Можно отдельную песчинку массы с(гл снять с поршня. В результате этого поршень поднимется на высоту с(х. Этот подъем происходит столь медленно, что в каждый момент температура газа под поршнем равна постоянной температуре Т, атмосферного воздуха, а давление газа под поршнем равно рж + (то — дт) д(5. Объем газа под поршнем при этом увеличивается на бр= 5 дх. Совершаемая газом работа (р — рж)5с(х =(р — рж)х($'. При изменении объема от Уо до 1' производится работа А = ) (р — р„)ЙР. у Ф Первое начало тернодинанимн является выражением закона сокранения энергии для промессов с участиен теплоты. Работа связана с передачей энергии путем изненемия накроскопически» параметров„а передача теплоты осуществляется переходон энергии молекулярного движения. Происходящее при этан изненение макроскопическнк параметров является следствием изнемения знергетическик условий на молекулярном уровне. 124 2.
Термодииамический метод Поскольку процесс бесконечно медленный, можно считать, что газ под поршнем все время находится в равновесном состоянии и межлу его давлением и объемом соблюдается соотношение р = иКТ97К Подставляя это значение для р в (14.5) и интегрируя, получаем работу, совершаемую газом прн увеличении его объема от 1«о до 1'. 4 = ий7о)п((УС)Уо) — Рь«()' — Ио). (14.6) При этом поршень смещается на Ах =(Р— )ло)у'$ и происходит превращение энергии в потенциальную энергию поршня и песчинок. Чтобы в этом убедиться, рассчитаем работу по подъему поршня и песчинок. Сила тяжести, против которой совершается работа, равна Г= в(х)д, где т(х) — масса поршня с песчинками на высоте х.
Отсчитывая координату х от дна цилиндра, имеем т(хо) = то, хоя = )ло, хя = К Работа подъема переменной массы А = ) в(х)д с)х. «о Для определения в(х) имеем равенство т (х) д = 5 (р — р„) = 5ий Тс() ьл — Яр„= иЯТо)х — Яри откуда А =: ) т (х) д с(х = иКТо 1и (хссхо) — 5р«, (х — хо) (14.7) «о Джоуль Дл«еио Прел«отт П8сВ-!8891 ( р с( уl = ) рго с1 И+ ) в (х) д с)х. У„ (14.8) Это означает, что совершаемая находящимся в цилиндре газом работа при расширении затрачивается на преодоление давления на поршень со стороны атмосферы и на преодоление веса поршня (с насыпанным на него песком).
Действие силы тяжести на газ в цилиндре здесь не учитывается. что совпадает с (14.6). Источником энергии для совершения этой работы является газ в цилиндре. Однако, как станет ясно нз дальнейшего, внутренняя энергия идеального газа прн этом не изменяется н вся энергия, превращаемая в потенциальную, поступает в газ из окружающей цилиндр среды в форме теплоты. С учетом (14.7) соотношение (14.5) запишем в виде 1 15. Дифференциальные формы и полные дифференциалы 125 С помощью (14.5) соотношение (14.8) может быть представлено по-другому. Несколько позже будет показано, что в идеальном газе внутренняя энергия зависит только от температуры. Рассматриваемый процесс происходит при постоянной температуре и, следовательно, с)с1=0 для этого процесса.
Подставляя в (14.8) рс(Р= ЬД из (14.5), получаем ЬД = ) р„с)1'+ ) т(х)дс)х. (14.9) Г= сспп В этом равенстве ЬД означает количество теплоты, поступающей в гаэ под поршнем из окружающей среды (термостата) с постоянной температурой. Таким образом, работа, совершаемая идеальным газом при расширении при постоянной температуре, производится за счет энергии, поступающей в газ в форме теплоты из окружающей среды (термостата). Если стенки цилиндра сделать теплонепроницаемыми (адиабатными), то поступление теплоты из внешней среды становится невозможным. В этом случае работа при расширении газа совершается за счет внутренней энергии таза: внутренняя энергия уменьшается, температура газа понижается.
В этом случае вместо уравнения (14.9) закон сохранения энерпси записывается в вице х — сИ/ = (Рюс(Р'+ (ис(х)дс(х. ар=о я, к Однако зависимость щ от х, конечно, совсем другая, чем в (14.9). Эта зависимость определяется законом адиабатного расширения газа (см. 9 !8).
в 15 Дифференциальные формы н полные дифференциалы Анализируются условия, при которых дяффсрвнцяальпая форма является полным дифференциалом. Овсуидастся связь полного дифференциала с существованием функции состояния. Дифференциальные формы. В (14.3) бесконечно малые величины ЬД, с1сс, ЬА обозначены по-разному: одни — с помощью символа с), а другие — с помощью Ь. Необходимость подобных обозначений обусловлена различием в свойствах этих бесконечно малых величин. Допустим, что имеются некоторые независимые переменные.
Сначала рассмотрим случай одной независимой переменной, например х. Дифференциал этой величины— с(х. Пусть )'(х) с(х — бесконечно малая величина, где у"(х) — произвольная функция. Спрашивается, нельзя ли эту бесконечно малую величину представить в виде бесконечно малого приращения некоторой функции Г(х) в двух соседних точках, отстоящих на с)х, т. е. в виде Лх) с)х = Цх + с)х) — Р(х). (15.1) Да, можно в подавляющем большинстве случаев. Однако здесь нет необходимости останавливаться на некоторых математических тонкостях, связанных с недифференцируемыми функциями и т.д., и поэтому достаточно сказать, что это можно сделатгь если в качестве Г(х) взять первообразную функцию от 1(х), т.
е. Г(к) = )г)'(х)с(х. (15.2) 12б 2. Термолинамический метал Здесь символ д употребляется для обозначения бесконечно малого приращения функции. По-другому обстоит дело в большинстве случаев лвух переменных и большего их числа. Пусть для двух переменных имеется бесконечно малая величина ц = У(х, у)дх+ Д(х, у)пу, (15.4) в которой У(х, у) и Д(х, у) являются некоторыми функциями от х, у. Здесь бесконечно малая величина обозначена без использования символов д или Ь, поскольку еще не ясно, какой из символов использовать. Спрашивается, можно ли представить эту величину как приращение некоторой функции г(х, у) от переменных х, у в двух соседних точках, т.е.
в виде Е(х+ дх, у+ сну) — Р(х, у) = ст, причем такое представление должно быть возможно при независимых изменениях аргументов. В общем случае прн произвольных У и Ц это невозможно. Полный дифференциал. Это оказывается возможным лишь при определенном соотношении между У и Д. Запишем искомое требование: У(х, у) дх + Д (х„у) бу = Г (х + дх, у + г)у) — Г (х, у). Разложим г"(х+ дх, у+ ду) в ряд по дх, ду и ограничимся первым членом; дГ дГ Е(х + дх, у + ду) = Е(х, у) + — дх + — бу. дх ду (15.6) Равенство (15.5) превращается в следующее: бр дг" Удх + Яду = — ' — дх+ — ду.
= бх ау (15.7) Поскольку х и у являются независимыми величинами, из (15.7) следует, что У=, Ц= —. дх ' ду Дифференцируя У по у и Д по х, получаем: б ~ б т Р б е б з Г (15.9) ду дудх ' дх дхду Смешанная производная от порядка дифференцирований не зависит: дзгЯдхду) = = д'г7(дудх); из (15.9) заключаем, что (15.8) дУ дД бу дх (15.10) Таким образом доказано, что бесконечно малая величина (15.4) может быть представлена в виде бесконечно малого приращения другой функции Г(х, у) Поэтому в случае одной переменной практически всегда можно бесконечно малую величину рассматривать как бесконечно малое приращение некоторой функции.
Прн этом бесконечно малая величина 7(х)бх называется полным дифференциалом. Как бесконечно малое приращение функции Е он записывается в виде ЙЦх) =Лх) дх. (15.3) (1 15. Днфференцнвльные формы н цолные днфференцнвлы 127 в виде (15.5) или (15.7), если функции У и Д удовлетворяют условию (15.10), которое является необходимым н достаточным. В этом случае бесконечно малая величина (15.4) называется полным дифференциалом и обозначается с помощью (15.7) в виде (15.11) (15.14) (1 5.15) н вычислим интегралы между точками (хе, уе) н (хц у,) по двум различным путям, ндущнм параллельно осям координат (рнс.
24). Обозначим путь (х„, ув) (хе, уй (хц у,) как 1, а путь т. е. является бесконечно малым приращением функции Е, для которого используется символ ()Г, указывающий в явном виде величину Г, о приращении которой идет речь. Если бы условие (15ЛО) не выполнялось, то а была бы бесконечно малой величиной, которую невозможно представить в виде приращения другой функции. Для ее обозначения можно было бы использовать, например, символ Ы., однако в этом выражении У не обозначает какую-то величину, о которой имеет смысл говорить, что она при данных условиях имеет какое-то определенное значение. Буква Б в таком выражении используется для обозначения качества величины, о которой идет речь, чтобы отличать ее от других величин, а символ Ь указывает, что берется бесконечно малое количество указанной величиньь Поэтому символ И.
есть единое целое, имеющее количественный смысл лишь для бесконечно малого значения. Основное свойство бесконечна малых величин, являющихся полными дифференциалами, состои~ в том, что интеграл от них вида (и, м) 1 (Удх + ае(у) (15.12) (к„к,) между двумя любыми точками (х„у,) и (хь уз) зависит от положений начальной и конечной точек, но не зависит от пути, соединяющего эти точки. Отметим, что интеграл (15.!2) при соблюдении условия (15.11) вычисляется по формуле ( ьт*) (и, ш (Уе(х+ Яду) = ( ЙГ = г(хм уз) — Г(хо у,).
(15.13) (,н) ( ьл) Формула (15ЛЗ) показывает явно, что интеграл от бесконечно малой величины, являющейся полным дифференциалом, действительно не зависит от пути, а зависит лишь от конечной и начальной точек пути. Если переменные х, у характеризуют состояние некоторой системы н бесконечно малая величина вида (15.4) является полным дифференциалом от функции )е, то говорят, что функция Г является функцией состояния, т.е. функцией, которая в заданном состоянии системы имеет вполне определенное значение, независимое от того, каким путем нлн способом система в это состояние приведена. Функции состояния являются его важнейшими характеристиками. Рассмотрим две дифференциальные формы: и, = х йу + у дх, ое =хну — убх 128 2. Термодинамический метод 24 (хо уо) ~(хь уо)-у(хь у,) как 1.т.
Тогда рви) 1,(о,)= )(хс)у+ус)х)= ) (хйу+ус)х)+ (х .уо) (15.1б) (15.17) = уо (х, — хо) + х с (ус — уо) = у сх, — х„уе. Очевидно, что 1,(и,) =1,(п,). Для формы от 1, (от) = ) (хс)у — удх) = хо(ус уе) — ус(х, — хо) = ь, (15.18) = 2хоус — хоуп Усхь 1,(„,) = ~(хду — уд ) =У,(х, — х,) — х (У вЂ” Уо) = ) (15.19) = 2хсУо — хоуо хсус. Очевилно, что 1, (пт) Ф 1т(о,). Отсюда можно заключить, что о, ве является полным дифференциалом, т. е. не существует такой функции Е'(х, у), для которой с)Г(х, у) = хс)у — удх.
В этом можно убедиться также с помощью (!5.10). В рассматриваемом случае У= — у, Д = х, дУ/ду = — 1, дади = 1 и, следовательно, дУ/ду и дД/дх. В случае формы о, дело обстоит несколько сложнее. Из равенства 1,(о,) = 1,(о',) сделать заключение, что о, является полным дифференциалом, можно только в случае„если доказано, что оно справедливо при интегрировании по любым путям, соединяюпхим начальную и копечиусо точки. Мы же проверили только два пути. Поэтому, чтобы строго слелать заключение о том, что и, является полным дифференциалом, надо либо доказать равенство 1, (о,) = 1т (о,) для произвольного пути, либо воспользоваться критерием (15ЛО). Проще последнее.
Имеем У = у, Д = х и, действительно, дУ/ду = дД/дх. Нетрудно видеть, что в данном случае у (х, у) = ху + а, где а — произвольная постоянная. Тогла 24. Различимо пути иитегрироеаиил при переходе от точки (хе, уе) к точке (хь УД (15.20) бр (х, у) — — с) (ху + а) = х с)у + у с)х. Интеграл между точками (хе, уо) и (хь у,) по пути 1. вычисляется так: (хо у,) [х, ус) (хе)у -~ удх) = ( с) (ху + а) = [ху + а)х'у' = (х, уе) (х, уе) (15.2Ц = исус хеуе. Сх,. ),) + ) (хе)у+ ус)х) = хо(у — уе) + ус(хс — хо) =- Уухс — хоуп рву) Сх„уе) (хо у,) 1т(ос) = ((хйу Р Ус)х) = ( (хс)У+ Ус)х)+ ( (хе)У+ Ус)х) = ьс (х у) Схо у) 1 !6.
Обратимые н необрагимыс процессы 1Ж Обратимые н необратимые процессы Рассматрнааются характернстнкн пропессов н нх классификация. Аналнзнрустся соотношснае менлу равновесными н нсравновсснммн, обратимыми н нсобратнмымн процессами, Отмечается нсэквнвалентпость понятия бесконечно мсллснного я обратимого процесса. Процессы. Равновесное состояние системы характеризуется значением макроскопических параметров р, И и Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
