А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 34
Текст из файла (страница 34)
От одного из них к другому совершается переход формально с помощью уравнения состояния. Поэтому, как правило, прн изображении процессов пользуются каким-либо одним прелставлением, преимущественно в координатах р, )'. Изохорическвй процесс. Это процесс, осуществляемый при постоянном объеме: р= сопв1 (рис. 30). Работа в этом процессе равна нулю: 142 2. Термодинамичсский метод Изотермичесний процесс. Это процесс, осуществляемый зо прн постоянной температуре: Т= сопз1 (рис. 31).
Работа равна Р (18.4) В этом процессе внутренняя энергия идеального газа не изменяется, так как Т=-сопз1 и, следовательно, сП/= О. Поэтому на основе первого начала термодинамики ЬД = ЬА. Это означает, что в изотермическом процессе все количество теплоты„подводимое извне, идет на совершение работы. Адиабатический процесс. Это процесс, при котором отсутствует теплообмен с окружающей средой, Поэтому первое начало термодинамики для этого процесса записывается в виде (18.5) с,бтч- рй =О. Очевидно, что г) Т ~ О при д Р> О. Следовательно, работа, совершаемая газом при расширении, происходит за счет его внутренней энергии и ЙТ> О при с)(к<О, поэтому работа, совершаемая над газом, приводит к увеличению его внутренней энергии и температуры. Уравнение адиабаты — равенство, связывающее параметры в адиабатическом процессе.
Это уравнение называют также уравнением Пуассона. Выведем его. Из уравнения для идеальных газов получается следующее выражение для Т: (18.6) у, 30. Изохорнческнй процесс в координатах р, У ° Процессы в газе ме проискодят сани по себе. Ин пратемание обеспечивается соэданиен соответствумщиа внешни» условий.
Гаэ как бы заставлягот проходить определемнумк последовательность равновеснын состояний. Предоставленный самону себе идеальный газ не способен нм на что, кроне рассемвания в бесконечном пространстве. Реальный газ способен на многое: достаточно вспоннитсч что на онределеннон этапе развития Вселенная была, по-видимому, заполнена вещесквон в газообразмон состоянии. )8. Проиессы н идеальных газах 143 з) р здесь использовано уравнение Майера К = Ср — Си Раз- делив уравнение (!85) на С„Т, найдем с)Т др' Т вЂ” - + (7 — !) —. =-О, р' (18.7) где 7 =- Си)Сн — показатель адиабаты. Интегрируя, а затем потенцируя это уравнение, получаем уравнение адиабаты в переменных Т, И: ТЪ ' ' =-сопз1.
(18.8) для перехода к переменным р, р исключим из (18.8) с помощью уравнения состояния Т= р)У/)!. Тогда р) ' .= сопз1. (18.9а) Аналогично, Т'р' ' ' =- сопч1. (!8.9б) В соо) ветс) вии с уравнением (17. !9) получаем = ()'+ 2))б Позтому лля одноатомных газов, достаточно хорошо удовлетворяющих условию идеальности, ! = 3 и, следовательно, у = 1,6б. Это хорошо подтверждается экспериментом. Например, у гелия у = 1,бб.
У двухатомных газов, когда возбуждены лишь вращательные степени свободы,) = 5 и,следовательно, у = 1,40. Э)о также хорошо подтверждается экспериментом. Например, у кислорода, азота и воздуха 7 = 1,40, а у водорода 7 = 1,41. 31. Проиессы изотермичссяиа )черная линия) и ааиаба)ичесхна Поаубая линия) 144 2 Термодяиемичеекий метод Работа прн адиабатическом процессе.
По общей формуле для работы [2) 1 1'.(Р; ' )т е ')= ' ~1 — 1 '.1 ~ (181б) А = р дГ = р, г"( Г д$' где р,)т, = КТо Принимая во внимание, что ((ти')',)е ' = Т,~Тп можно выражение (18.10) преобразовать к виду (18Л!) ЛИ'=(гд(2)(~ е,~+ 2 )д — ~~е~2 = +2 ~ ~„~и, (! 8.12) где отброшен член порядка и~. Будем для определенности считать, что поршень движется в направлении положительных значений оси Х и объем при этом увеличивается. Тогда с учетом знаков можно написать ЛИ'= — 2яее ~+'и, (18.13) гле е„"' означает, что имеются в виду только те молекулы, которые движу~ох в направлении положительных значений оси Х и, догоняя поршень, сталкиваются При расширении газа из состояния рп Р, до некоторого другого объема 1' работа при адиабатическом процессе меньше, чем при изотермическом (рис.
31). Это объясняется тем, что при адиабатическом процессе происходит охлаждение ~аза, в то время как в изотермическом процессе температура поддерживается постоянной за счет притока тепла из термостата. Поэтому в изотермическом процессе при расширении давление газа уменыпается только за счет уменьшения плотности газы. а при адиабатическом — за счет уменыпения плотности и средней кинетической энергии„ т.е. температуры. Уравнение адиабаты можно получить из простых кинетических соображений. Направим ось Х системы коорлинат вдоль оси цилиндра, поршень и с~сики которого адиабатические.
Это означает, что удары молекул о стенки и поршень абсолютно упругие. Пусть поршень движется с исчезающе малой скоростью и, изменяя тем самым объем, в котором содержится газ. При ударе о движущийся поршень кинетическая энергия молекул не сохраняется, она либо увеличивается, либо уменьшается. Ясно, что о поршень ударяются лишь те молекулы, которые движутся в направлении к поршню. Если объем увеличивается, то молекулы до1оняют поршень, а если уменьшается, то они движутся навстречу поршню. Столкновение с поршнем происходит так, как если бы он имел бесконечную массу.
Из законов сохранения энергии и импульса при столкновении получаем, что абсолютное значение х-й компоненты скорости частицы в результате столкновения изменяется на 2и, увеличиваясь при сжатии газа и уменьшаясь при расширении. Поэтому кинетическая энергия молекулы в результате столкновения изменяется на величину !Х. ПРоцессы в идеальных птах 145 с ним. Прн столкновении молекулы с поршнем меняется лишь х-я составляющая скорости, а остальные составляюшие не изменяются. Поэтому и кинетическая энергия молекулы изменяется лишь вследствие изменения х-й составляющей скорости. В соответствии с (8.31) число молекул, сталкивающихся в течение времени г)1 с поршнем плошади 5 со скоростью, заключенной между с и с+ т)в, е(п = (и/У) /' (с) г1с и„' "5 дг, где / (с) — распределение Максвелла.
Поэтому изменение кинетической энергии молекул, находящихся в цилиндре, с учетом (18.13) задается выражением сИ/ = — 2тит+'и дп = — 2т(п/У) 5и !11 !" (с)(стт!)х дс Учтем, что Яц г(1 = Я с(х = т) У вЂ” изменение объема цилиндра за счет движения поршня. Поэтому полное изменение внутренней энергии газа в цилиндре при адиабатическом увеличении его объема д(/ = -2т(п/У)с(У)/(с)(ст")'г)с, (18.14) г.!с интеграл (см.
10.2)3 распространяется лишь на молекулы, х-я компонента скорости которых положительна. С учетом (102) выражение (!8.!4) принимает вид !(т — -- — (и/1') г(У йТ. (18.15) Для газа с ! степенями своболы (/ = п!/сТ/2. Тогда уравневие (18.5) преобразуется: !т 2)т)Т/Т= — с)У/У. (18.16) Учитывая, что (!/2)г)Т/Т= е)(!п Т"), с)УттУ= й!и И находим й!п(ТсвУ) = О. Следовательно, уравнение адиабаты Тс'У= сопв1. После возведения в степень 2/т оно принимает более привычную форму ТУ'и =. ТУт ' = сопв1, (18.17) поскольку у = (1 + 2)/! = 1 + 2/й Этот пример иллюстрирует получение термодинамических соотношений методами кинетической теории.
Политропяческий процесс. Все рассмотренные процессы обладают одной общей особенностью — они происходят при постоянной теплоемкости. Это непосредственно видно после записи условий процесса в математической форме. При изохорическом и изобарическом процессах теплоемкости равны соответственно Ср и Ср, при цзотермическом процессе (дТ= 0) теплоемкость равна + со, а при адиабатическом (г!Д = 0) теплоемкость равна О.
Про!гесс, в котором теплосмаосгь является лостояююй величиной, называется полптроппчсскпм. Изобарнческий, изохорический, изотермический н адиабатический процессы являются частными случаями политропического процесса. Уравнение полптропы. Из требования, чтобы теплоемкость С была постоянной в процессе, следует, что первое начало термодинамики должно иметь вид СОТ= С,йт+ рйУ. !О А. н. матвеев — !схз 146 2. Термолинамический мезод Поступая с уравнением (18.18) точно так же, как с (18.5), для получения уравнения (18.7), находим г)Т С вЂ” С г) — +- — — — =О. т С вЂ” С (! 8.! 9) Интегрируя (18.19), получаем ТМ" ' = сопя!, (18.20) где (ф— Сг)/(Сг — С) =- и — 1. где л = (С вЂ” Ср)/(С вЂ” Сг) — показатель политропы.
Очевидно, что при С = О, и = у из (18.21) получается уравнение аииабаты, при С = сс, и = 1 — уравнение изо термы. при С = С, и = 0 — уравнение изобары, при С = С, и = + со — уравнение изохоры. Пример 18.1. Происходи~ адиабатическое расширение гелия, имевшего первоначальную температуру Т„= 400 К и объем Р„= 10 л, при этом давление падает от р„= 5.10ь до р=-2.10' Па. Найти объем и температуру гелия в конечном состоянии. При алиабатическом расширении имеем р~ =Ро~И где у = Сг/С, = 5/3 =- 1,66 для гелия. Отсюда находим конечный объем Р= (ро/р)п'Ъ'о = (25)е,ь 10 л = 69 л. Записав уравнение идеального газа для начального и конечного состояний, найдем рсРэ — ' чКТм р! = тйТ. Разделив почленно левые и правые части этих уравнений, получим 2 69 Т= Тв= 400 К= !!0,4 К.
рГ„" 50!О Пример 18.2. Цилиндр с алиабатическими стенками разделен на три отделения А,, Аь Аз (рис. 32) теплоизолируюшим поршнем В, и теплопроницаемым поршнем Вп Поршни могут скользить вдоль цилиндра без трения. В каждой из частей цилиндра содержится 0,1 моль идеального двухатомного газа. Вначале давление газа во всех грел частях р„= !Оз Па и температура Т= 300 К. Затем газ в отделении А, медленно нагревается до тех пор, пока температура в отделении Аз не станет Тэ = 340 К. Найти давление, температуру, объем, изменение внутренней энергии газов в конечном состоянии для каждого отделения, а также полную энергию, которая была сообщена газу в отделении А, при нагревании. В равновесном состоянии лавления газов во всех отделениях будут олинаковыми (р, = р = рэ) и, кроме того, вследствие теплопроницаемости поршня Вз температуры Это уравнение политропы в переменных Т, Г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
