А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Исключая из него Т с помощью равенства Т= рГ/В, находим р!'" = сопя!, (18.21) !8. Проиесс1и в идеальных газах 147 в, в, Рра = сопи! и = и С вЂ” С, С-Сн 32. Цилиндр с газом, разделенный на сри обнесен пересоролнами В, и В, 30а в отделениях А, н А, лолжны быть равными (Т, = Т, = =- 340 К). Поскольку массы газов в этих отделениях равны, объемы Уг и У, также должны быть равны. При адиабатнческом обратимом изменении состояния газа в отделениях Аг и Аз на основании (18.9а) имеем рз = = Рг = ро (Тг/То)™1'.
В начальном состоянии объемы всех отделений одинаковы и равны 1'о = 0,1КТо/ро, а в конце объемы отделений А, и Аз изменяются до Уг = 1 з = 0,!КТг/Рг Уг = )~з =(01КТо/Ро)(То/Тг)пв-г~. Для двухатомного газа 7 = (г+ 2)/г = 7/5, поэтому Уг = Уз — — — '- — ' — — — — м' = 1,8231 10 ' м'. 831'01'300 /300 з ~ з г= з= — И)з- — ~ щ~-~ Давление р,=0,1КТ/1',=8,31 0,1 340/(1,8231 1О ') Па= = 1,55.10' Па. Объем У, находится из условия сохранения полного объема цилиндра: У, = 3 Уо — (1'г + Уз) = 3 О,! К То/Ро — (2 0,1 КТо/Ро) х и (То/Т )гнг г)гнула У, = 3.8,31.01.300.10 з мз 2 18231 10-з мз 3833 1Π— з мз Для температуры Т, получаем Т, = Р, Уг/(К.
01) = РгУ/(К ° 01) = То (3(Т/То)Н" — 2 Тг/ТД = (1,55.10з.3,8328 10' '/(8,31.0,1)1 К = 715 К Внутренняя энергия изменяется на Л(/ = 0,1С„ЛТ= =- (0,1 1/2) К ЛТ, где 1 — число степеней свободы молекул газа. Отсюда находим: Л(1г = 8,31.0,1(715 — 300)(5/2) Дж = 8б2 2 Дж, Л(/г = Л(/з = 8 31' О 1(340 — 300)(5/2) Дж = = 83,1 Дж, Полная энергия, сообщенная газу Аы по закону сохранения равна Л(г = Л(/г + И/, + И/з = (8б2,2+ + 83,1 + 83,1) Дж = 1028,4 Дж. Пример 18.3. Решить задачу, сформулированную в примере 18.2, в предположении, что поршни В, и В, являются адиабатическими.
В этом случае состояние газа в отделениях А, н Аз изменяется вдиабатически в соответствии с уравненн- 7 оРо " = 7"гРг ' н 7 оРо ' =- 7"зРз '. '1'ак как гго- пРежнемУ Р, = Рг = Рз, то Тг = Т„ т.е. состоЯние газа в А, и А, то же самое, что и в примере 18.2. 148 2. Тсрмодннамическнй метод й 19 Энтропия идеального газа Дается опрелеленне энтропии лля ипеального гам и выясняется ее фнчнческвй смысл. Проводится расчет иэменения энтропии в раэлнчнык пролессак. Обсуждается спепифнчнссть теплоты как формы энергии. Онределеиие. Разделив обе части равенства, выражающего первое начало термодинамики, на Т, получим бО йт — = Ср — — + -(()г. Т Т Т Подставляя в (19.1) р(Т= й()г и учитывая, то ()Т)Т= (1 1п Т, (1(г()'= () 1п Г получаем ЬЯ(Т= (((Ср !п Т+ Тч!и 1').
(19.2) Правая часть равенства представляет собой полный дифференциал. Следовательно, левая часть ЬД,(Ттакже полный дифференциал. Функция состояния, дифференциалом которой является бфТ, называется энтропией и обозначается 5. Таким образом, ()5 = ЬЯТ. (19.3) и, следовательно, (2( (2( ) (15= (ч 1 ()1п)', ((р ((> (19.5) что после интегрирования дает 5, — 5, = й ()п Р, — !и и,) = й 1п Р,,(),). (19.6) Для дальнейшего преобразования выражения, стоящего в правой части формулы (! 9.б), необходимо принять во внимание связь объема, который занимает газ в равновесном состоянии, с числом пространственных микросостояний частиц газа, Отметим, что справедливость этого выражения для полного дифференциала энтропии доказана выше лишь для обратимых процессов идеального газа. Распространение этого выражения на обратимые процессы в системах, отличных от идеального газа, будет выполнено несколько позднее. В случае неравновесных, необратил(ых процессов такое представление для .()5 через бД и Т несправедливо Необходимо также зал(етитрч что формула (19.3) дает определение разности энтропий, но не ее абсолютное значение.
С помощью этой формулы можно вычислить, чему равно изменение энтропии прн переходе из одного состояния в другое, но нельзя сказать, чему равна энтропия в каждом из состояний, т. е, энтропия этой формулой определена с точностью до произвольной алдитивной постоянной. Физический смысд энтропии. Применим формулу (19.2) для вычисления изменения энтропии в изотермическом процессе (Т= сопи(), где энергетическое состояние газа остается неизменным, а всевозможные изменения характеристик обусловлены лишь изменением объема.
Для этого случая ()5 = К(Пп й 19. Энтропия илоольмо1о 2зза 149 которая лается формулой (5.6). Число частиц в моле равно постоянной Авогадро 19А. Поэтому формула (5.6) для объемов )'2 и И2, входящих в (19.6), имеет внл )92! Л'2! (19.7) (2»~1 гг А) (2т 2 о А)1 (19.8) Г 19 А Р А (19.9) Логарифмируя (19.9), рахолим )2 1 1 102 (19,10) Полставляя это выражение в формулу (19.6), приводим ее к виду 52 — 51 — —.
-.--)п .= 81пГоз — )21пГо,, 'тА ! О1 (19.11) где К/2уА — — )г — постоянная Больцмана. Вид формулы (19.11) наводит на мысль, что энтропия 5 определяется логарифмом числа мнкросостояний, посредством которых реализуется рассматриваемое макросостоянне, т е. (19.12) 5 = )21пГ. Это равенство называется формулой Больцмана Вышеприведенные рассуждения не являются доказательством формулы Больцмана в общем виде, так как они ф Энтропия систены в каком-либо обратинан процессе изменяется под влиянмен внешни» условий, воздействующнк на систену.
Ме»омнэн воздействия внешни» условий ма энтропию состоит в следующем. Внепзние условия определяют никросостояммя, доступные системе, и и» чмсло. В предела» доступны» для нее никросостояний система достигает равновесного состояния,а энтропия — соответствунэщего значения. В результатезначениеэмтропии следует зо изменением внешми» условий, достигая максимального значения, совнестнного с внешнинм условиями. где )т'2 = )~211~, Х2 = )'2/1~, 1= 10 '" м.
Поэтому с использованием формулы Стирлинга (5.11) получаем 1 82 2т81(2»1 ЖА)1 Я2(е) '((Гт', — Ыд)1е) Го2 Хг (М2 1'А) ° (2ч!(е) ((гу 2 )торе1 2 А Исследуется не слишком сжатый газ, когда %2 >> 122А, Х2 >> ХА. При этом в основаниях степеней можно пренебречь бь по сравнению с )т'2 н бо Тогда вместо (19.8) получаем 150 2. Тсрмолияамичсский метод справедливы: 1) для идеального газа и для пространственных микросостояний; 2) для обратимых процессов.
В формулу (19.12) можно, в принципе, добавить произвольную постоянную, которую без доказательства полагали равной нулю. Однако имеются веские соображения в пользу того, что эта формула справедлива в общем случае. Прежде всего (см. 4 7) ясно, что число микросостояний, посредством которых осуществляется макросостояние, является важнейшей функцией состояния. Поскольку понятие числа микросостояний применимо не только к идеальному газу и равновесным состояниям, но и к произвольным статистическим системам, то естественно заключение, что формула Больцмана имеет общее значение.
Так оно и есть на самом деле. Формула (19.12) позволяет дать энтропии очень наглядное толкование. Чем более сильно упорялочена система, тем меньше число микросостояний, которымн осуществляется макросостояние. Допустим, например, что все атомы закреплены в определенных местах. Тогда существует только одно микросостояние, а соответствующая ему энтропия равна нулю. Чем болыце число микросостояний, тем больше разупорядочена система. Поэтому можно сказать, что энтропия является мерой упорядоченносги системы.
В состоянии равновесия энтропия достигает своего максимального значения, поскольку равновесие есть наиболее вероятное состояние, совместимое с фиксированными условиями и, следовательно, является макросостоянием, осуществляемым посредством максимального числа микросостояний. Очевидно, что система, предоставленная самой себе, движется в направлении равновесного состояния, т.е. энтропия должна возрастать в предоставленной самой себе системе. Это одна из формулировок второго начала термодинамики (см.
й 22). Расчет изменения энтропии в процессах идеального газа проводится по формуле (19.2) с учетом (!9.3): о5 =- с1 (С„!п Т+ тс 1п Р). (19.! 3) Изменение энтропии в изотермическом процессе дается формулой (!9.б): при увеличении объема энтропия возрастает, при уменьшении — уменьшается. Этот результат легко можно понять без вычислений: при увеличении объема увеличивается число мест, которое может занимать неизменное число частиц. Поэтому возрастает число различных возможностей расположения на этих местах, т.
е. число пространственных микросостояний. А это означаец что энтропия растет. При изохорическом процессе (Й!г=- й) 5з — 51 = Сг!п(Тзг'рт), (19.14) ° Энтропия определяется логорифноп числа ннкросостояний, посредствон которых реализуется накросостояние. В состоянии равновесие энтропия достигает наксинального значения, поскопьку в равновеснон состоянии тернодинаническая вероятность наксинальна. Отснзда следует, что энтропняизолированной предоставленной сеной себе систепы должна возрастать до тех пор, пока не достигнет ноксинапьного значения, совнестиного с условияни.
1 19 Энтропия идеального 1аэа 151 т, е. при увеличении температуры энтропия увеличивается. Этот результат объясняется следующим: средняя энергия частиц растет с ростом температуры, а поэтому увеличивается и число возможных энергетических состояний. При адиабатическом процессе из (19.13) получаем Тг )22 5 — 5 = Сг!и — + й1п —, 2 1 Т Р1' (! 9.15) причем ТР,-1= Т,Р)-1, 7= С„(С„ поэтому !и (тг(тг) = (7 — !) 1п ()217)22) = — (у — 1) !и ()22Я).
Тогда формула (19.15) принимает вид 5, — 5, = — Со — Я вЂ” 1 + К 1П вЂ” 2- = О, (19.1б) Работа ч молей газа при изотермическом расширении Т, =- сопя! от )2о ло А = ) Рд)2= оКТо ) д)2/)2= оКТо!п((2~1Ро). (19.17) 1' С другой стороны, в соответствии с (19.13) изменение энтропии при этом 121 Л5 = ) Ы = 52 — 5, = ой ~!и )'~„= ой !п()2/)го), (и (!9.18) поскольку дТ= О. С учетом (19.18) формула (19.!7) принимает вид А .= То (бг 51) = 7о ЛЯ. (19.19) 1 поскольку — С + С„Ч- К = О [в соответствии с формулой Майера (17.17а)1. Таким образом, при аднабатнческом обратимом процессе энтропия не изменяется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
