А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 20
Текст из файла (страница 20)
У Венеры атмосфера очень плотная н, следовательно, находится в начале пути к равновесному состоянию. Для количественного рассмотрения вопроса о потере атмосферы планетами необходимо принять во внимание распределение молекул по скоростям. Силу земного притяжения могут преодолеть лишь молекулы, скорость которых превосходят вторую космическую. Этн молекулы находятся в «хвосте» распределения Максвелла н нх относнтельное число незначительно. Тем не менее за значнтельные промежутки времени потеря молекул является чувствнтельной.
Поскольку вторая космическая скорость у тяжелых планет больше, чем у легких, ннтенснвность потери атмосферы у массивных небесных тел меньше, чем у легких, т.е. легкие планеты теряют атмосферу быстрее, чем тяжелые. Время потери атмосферы зависит также от раднуса планеты, температуры, состава атмосферы н т. д. Полный количественный анализ этого вопроса является сложной задачей.
Заввенмость полярнзацнн полярных диэлектриков от температуры. Полярнымн диэлектриками называются вещества, молекулы которых обладают постоянным дипольным электрическим моментом. Днполем называется совокупность двух равных зарядов противоположного знака, расположенных на расстоянии 1 друг от друга 1рнс. 18). Момент днполя р = ~д~1 — вектор, направленный от отрнцательного заряда днполя к положительному, ~ 4 ~ — абсолютное значение каждого нз зарядов днполя. Дипольный момент имеет обычно значение порядка 10 во Кл.м.
Например днпольный момент у молекулы НС1 равен примерно 3,44 10 зо Кл.м, у НВг — 233 10 во Кл.м н т. д. Во внешнем электрическом поле днполн стремятся расположиться в направлении поля, в результате чего днэлектрик поляризуется, т.е.
приобретает макроскопнческнй днпольный момент, характеризуемый вектором полярнзацнн. Вектор поляризации равен сумме днпольных моментов молекул в малом объеме, отнесенной к этому объему. В противоположность внешнему электрическому полю тепловое двнженне молекул стремится разупорядочнть ориентировку днполей. В результате этого днпольные моменты ориентируются относительно направленца элехтрнческого поля случайно. Задача состоит в том, чтобы найти распрелеленне днпольных моментов по углам относнтельно электрического поля н выяснить зависимость вектора поляризации от температуры.
84 1. Статистический метод Из курса электричества известно, что диполь (дипольный момент р), помещенный в электрическое иоле с напряженностью Е, обладает потенциальной энергией Ег= — р Е. (9.19) Зта формула справедлива и для энергии диполя в изменяющемся электрическом поле, поскольку она не зависит от производных по координатам, а заряды в диполе располагаются сколь угодно близко один к другому. Очевидно, что распределение липолей по углам симметрично относительно оси У и зависит от угла 0 (рис. 19).
Потенциальная энергия зависит от угла О и не зависит от координат (напряженность Е в элементе объема, в котором вычисляется распределение по углам, является постоянной). Если обозначить дй элемент телесного угла, то формула (9.4) для распределения Больцмана записывается в виде г)и (г(П) = Аеа'Х" ПДЯ = Аеаке" адаПДгрк(п О ДО, (9.20) где А — нормировочная постоянная и принято во внимание выражение дли теггесного угла и сферических координатах: г1й =- г(гр яп 0 с10.
Зта формула решает задачу распределения дипольных моментов молекул по углам. В результате аксиальной симметрии средний липольный момент имеет составляющую только вдоль оси У: )л р сок О ехр (и сок О) яп О дО (р.-> — ' ) ехр(асокО) яп ОдО о 19. К расчегз зиергии Липоля л элеятричесяом поле д ( = — ~ рехр(сссокО)яп060, Оа ~ о (9.21) где а = рЕгг()су). Тогда (га,) = РЕ(гх), Е(гг) =- сгЬ и — 1гп. (9.22) Зту формулу наиболее просто можно вывести так. Направим ось У по электрическому полю. Силы, действующие на заряды диполя, направлены вдоль оси У (рис. 18) и равны дЕ и — ОЕ (пад 9 понимается абсолютное значение заряда). Общая связь между силами и х потенциальной энергией приводит к выражению потенциальной энергии этих зарядов: (У(гг) = — ОЕгг, У(г,) = = 9Егг.
Поэтому энергия диполя (поле однородно) гг = сгг(гг) + гсг(гг) = — чЕ(гг — гг) = — г(Е1 сок Π— — Р Е. а 9. Распределение Бсльцмана 85 20 Л Вид функции Е(и), называемой функцией Ланжевена, показан на рис. 20. Разложение в ряд гиперболического котангенса имеет вил сгЬа = )уа+ ся/3 — оа/45+... При сравнительно слабых полях, для которых рЕ «)гТ, можно ограничиться линейным членом и тогда формула (9.22) становится совсем простой: (р,) = р ЕУ(ЗАT). 20 Фуаяцня Лаааеввна Вектор поляризации направлен вдоль оси У, а его модуль равен выражению (9.24), умноженному на плотность атомов. Таким образом, поляризация полярных диэлектриков уменьшается обратно пропорционально температуре. Этот пример рассмотрен для того, чтобы показать применимость распределения Больцмана для анализа не только пространственного распределения частиц, но и также для анализа их распределения по другим переменным, от которых может зависеть их потенциальная энергия.
Экспериментальная проверка распределения Больцмана. При выводе распределения Больцмана не налагалось никаких ограничений на массу частиц. Поэтому в принципе оно применимо и для тяжелых частиц. Возьмем в качестве этих частиц, например, песчинки. Ясно, что они расположатся в некотором слое у дна сосуда. Строго говоря, это является следствием распределения Болын мана.При больших массах частиц показатель экспоненты столь быстро изменяется с высо~ой, что равен нулю везде за пределами слоя песка. Что касается пространства внутри слоя, то там надо принять во внимание объем песчинок. Это сведется к чисто механической задаче на минимум потенциальной энергии при заданных связях.
Запачи такого типа рассматриваются не в статистической физике, а в механике. 86 1. Статистический метод Для того чтобы тяжелые частипы не «осели на днояч а распределились в достаточно большом слое по высоте, необходимо, чтобы их потенциальная энергия была достаточно малой. Этого можно достигнуть, помещая частицы в жидкость, плотность которой лишь на немного меньше плотности материала частиц. Обозначив плотность и объем частиц р и т, а плотность жидкости — р„, видим, что сила, действующая на частицу, равна т(р — ро)д.
Следовательно, потенциальная энергия такой частицы на высоте й от дна сосуда равна 17(л) = т(р — ро)дЬ. (9.25) Поэтому распределение концентрации этих частиц по высоте дается формулой ао(6) = по(0)ехрà — т(р — ро)дй/ОсТЬ7. (9.26) Чтобы эффект был достаточно хорошо заметен, частицы должны быть достаточно малыми. Число таких частиц на разных высотах в сосуде считают с помощью микроскопа. Эксперименты такого рода впервые были выполнены начиная с 1906 г. Ж.
Б. Перреном (1870 — 1942). Проделав измерения, можно прежде всего убедиться, действительно ли концентрация частиц изменяется по экспоненциальному закону. Перрен доказал, что это действительно так и, слеловательно, распределение Больцмана справедливо. Далее, исходя из справедливости распределения и измерив независимыми способами объемы и плотности частиц, можно по результатам эксперимента найти значение постоянной Больцмана )с, поскольку все остальные величины в (9.26) являются известными. Таким путем Перрен измерил !с и получил результат, весьма близкий к современному. Другим независимым способом значение и было измерено Перреном из опытов с броуновским движением. В последующем были проведены также эксперименты другого типа, полностью подтверлившие распределение Больцмана.
Из экспериментов пру~ого типа можно указать, например, на проверку зависимости поляризации полярных диэлектриков от температуры, рассмотренную выше. Пример 9.1. Перрен использовал распределение гуммигутовых зерен в воде для измерения постоянной Авогадро. Плотность частиц гуммигута составляла р = = 1,21 10 кг/мз, а их объем т = 1,03 10 га мз. Температура, при которой проводился эксперимент, была равна 4'С. Найти высоту й, на которой плотность распределения гуммигутовых зерен уменьшалась в два раза.
Принимая во внимание, что, по условию задачи, т(р — ро) = 0,22 10 '" кг, получаем на основе формулы (9.26) Ь = /сТ)п2/(т(р — ро)д3 = 12,3 10 е м. Пример 9.2. В воздухе при температуре 27'С и давлении 1,0!3.10' Па взвешены шарообразные частицы радиусом 10 м.
Установлено, что концентрация частиц уменьшается вдвое на высоте 20 м. Найти массу взвешенной частицы. По формуле (9.26) нахолим т(р — ро) = !сТ)п 2/(дй) = 1,06. 10 кз кг. Учитывая, что к = 4,19 10 сы м', находим р — р„= 2,53.10 ." кг/м'. Поскольку ро = 1,293 кг/м', получаем р = 1,296 кт/м и, следовательно, масса частицы кл = 1,296 4,19. !О "' кг = 5,43. 10 а' кг. 1 1О.
Давление 87 Давлелне б 1О Выводнтся основное урааненне кннетвческой теории газов н обсуждаются его различные формы н связанные с ннм закономерности. Обсуждаются барометрнческая формула н механизмы возннкновення подземной снлы воздушного шара н азростата. Описываются основные методы измерения лавленнй в различных лнапазонах Основное уравнение кинетической теории газов.
Давление возникает в результате ударов молекул о стенки сосуда. Каждая молекула передает стенке тот импульс, на который изменяется импульс самой молекулы в результате столкновения со стенкой. Поэтому если ось Х направить перпендикулярно стенке (см. рис. 14), то переданный при одном столкновении импульс равен 2тр„"1 (гл — масса молекулы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
