А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Если всего в канонической системе имеется и частиц. то по формуле умножения вероятностей в элементе объема дхдус1г около точки (х, у. г) находим ди(х, у, г) = А,иехр [ — (7(х, у, гу()гТ))дхдудг. (9.4) Постоянная А, находится из условия нормировки, которое в данном случае означает, что в объеме имеется и частиц: ) с1п = А,и) ехр[ — П(х. у„гт()гТ)1дхдудг = п, (9.5) откуда 1 — = ( ехр [ — (/(х, у, г 1((сТ))с1хдудг. А, (9.6) Формула (9.7) ° Энергия молекул,движущихся в ноле тяжести вверх, унемьнэается, однако средняя энергия при наксвепловскон распределении по сиоростям прн этом не иэненяется. Сокранение неиэненной средней энергии молекул при унемыиении энергии каждой молекулы осуществляется благодаря выбыванию «иаиненее энергичных» нолекул нэ потока при поднятии на высоту. Средняя энергия молекул, движущихся вниэ, не мэненяется в реэультате присоединения к потоку нолекул, которые выбыли иэ потока прн движении вверх.
называется распределением Больцмана. Оно дает распределение пространственной концентрации частиц в зависимости от их потенциальной энергии. Нормировочную постоянную А, не всегда необходимо вычислять, потому что в очень многих случаях нас интересует лишь распределение концентрации частиц, а не их общее число.
Пусть в точке (хо, уо, го) известна концентрация частиц по —— по (хо уо го) = дп (дхо ду, дго). Потенциальная энергия в этой точке равна По = = У(хо, уо, го). Концентрацию частиц в точке (х, у, г) обозначим п,(х, у, г), Тогда формула (9.7) для этих двух точек имеет вид — ' — ': — = А, р[- ( о)(ЕТ)1, по(хо уо го) (9.8а) и 80 !. Ститисгичеекий метод --о — ' — '-.
= А, ехр1 — (г(х, у, г]/(/сТД. и (9.8б) Выразив постоянную А, из (9.8а) и подставив полученное выражение в (9.86), найдем ио(х, у, г) = ио(хо, ут го) ехр ( — [Г(х, у, г) ~Уо3/(/сТ)). (9.9) (9.10) Из условий нормировки Ое о ! иог (") с!)с = иь о 1 иог(") с!" = иг о о (9.11) получаем: игтгд ( / тгайо'с1 ' иос(0) = — — — 1 1 — ехр[ — -- — — д ЯсТ1 ( !сТ Д лог(0) = ' „' — 1 — ехр (9.12) Отношение концентраций молекул на различных высотах равно лог () ) игтг 1 ехр и тгиЬос ссТ)г (тг тг)ий ио, (й) игт, 1 — ехр 1 1— тгдБ~ЯсТЯ ~ (сТ (9.13) Формула Больцмана наиболее часто употребляется именно в этом виде„причем особенно удобно выбрать такую нормировку потенциальной энергии, чтобы в точке (х„уо, го) потенциальная энергия была равной нулю ((Уо = О).
По своему содержанию формула (9.9) эквивалентна формуле (9.7). Если концентрация молекул газа неизвестна нн в одной точке, а известно лишь общее число молекул в заданном объеме, то и,(хо, уо, г,) является постоянной„определяемой из условна нормировки на полное число частиц в обьеме. Смесь газов в сосуде. Пусть в замкнутом цилиндрическом сосуде с площадью основания 5 и высотой )го находятся молекулы двух сортов. Полное число молекул первого сорта обозначим и,, второго — и„а массу каждой из молекул — соответственно т, и тг.
Найдем распределение молекул с высотой. Прежде всего ясно, что плотность вероятности нахождения некоторой молекулы каждого сорта не зависит от местоположения других молекул не только того же сорта, но и молекул другого сорта. Поэтому распределение молекул каждого сорта дается формулой (9.9). Обозначим )с высоту слоя молекул, отсчитываемую от дна сосуда. Концентрация молекул зависит только от Ь.
Потенциальную энергию молекул удобно нормировать на нуль на дне сосуда ()г = О). При такой нормировке потенциальная энергия молекулы на высоте й равна 1! = тд)с. Следовательно, распределение (9.9) концентрации молекул с высотой имеет вид ио ()с! = ног (0)ехр се тгй)сРТЬ иог(") = дог (О) ехр сс тгйМ(!сТ)1. Р 9.
Распределение Больпмана 81 Из формул (9ЛО) видно, что концентрация более тяжелых молекул убывает с высотой быстрее, чем легких. Формула (9ЛЗ) показывает„что более тяжелый газ больше концентрируется у дна сосуда, а легкий — у верхней части. Оценим порядки величины. Как известно, при нормальных условиях концентрация молекул в воздухе ив=2,7 10" м '. Для конкретности второй газ будем считать кислородом, первый — водородом. Температура воздуха равна Т = 300 К (? = 27 С); т, = 3,34 Ю г" кг; т, 16т„' )?Тсс4,14 10 г' Дж; д= 9,8 м/сг. При этих условиях показатели экспоненты для не очень болыпих )зс чрезвычайно малы.
Например, тзд)зофс7) рс 8 Ю е )зо; тгдиа?()?Т)ес 10 4 )?а. Экс?юненциальные члены можно разложить в ряд и сохранить линейный по )з член: — — — — ' дй~= — (1 — 1,2.10-вй). ?'аг(") ?зг (тг тз) з?г иоз()з) и, 1 )сТ ~ и, (9.14) Таким образом, в верхней части сосуда относительная концентрация молекул тяжелой компоненты уменьшается, а легкой — увеличивается. Это особенно отчетливо проявляется прн больших (зо.
Представим себе, что )за = 10в м. Тогда формула (9.13) приобретает внд — — — -О,1 — -ехр( — 1,2.10 ")з). ззог ('з) з?г исз ()з) из О К При подъене ~астиц в поле тяжести их кинетическая знерги» уменыцается. Почему при атон температура в поле тяжести в состоянии равновесия не зависит от высотъз? 2. Каким образом распределемие Больцнана применяется к смеси газов! 3.
Как распределения Больцмана и Максвелла связаны нежду собой? 6 А. Н. Ма?весе — ?48Х Так как ехр( — 1,2) = 0,3, то отношение концентраций частиц от 0 до 104 м изменяется больше чем в три раза. Отметим также, что хотя изменение концентрации с высотой прн небольшой разнице высот очень мало, все же именно оно служит причиной возникновения подъемной силы летательных аппаратов легче воздуха (см. 8 10).
Связь распределений Максвелла и Больцмана. Распределения Максвелла и Больцмана являются составными частями распределения Гиббса. Температура определяется средней кинетической энергией. Поэтому возникает вопрос, почему в потенциальном поле температура постоянная, хотя по закону сохранения энергии при изменении потенциальной энергии частиц должна также изменяться их кинетическая энергия, а следовательно, как кажется на первый аз~лад, и их температура. Другими словами, почему в поле тяжести при движении частиц вверх у всех ннх кинетическая энергия уменьшается, а температура остается постоянной, т.е.
остается постоянной их средняя кинетическая энер?ия, а при движении частиц вниз энергия всех частиц увеличивается, а средняя энергия остается постоянной? 82 !. Статистический метод Это объясняется тем, что при подъеме из потока частиц выбывают наиболее медленные, т. е. «наиболее холодные».
Поэтому расчет средней энергии ведется по мевьшему числу частил, которые на исходной высоте были в среднем «более горячими». Иначе говоря, если с нулевой высоты на высоту й прибыло какое-то число частиц, то их средняя энергия на высоте й равна средней энергии всех частиц на нулевой высоте, часть которых не смогла достигнуть высоты л из-за малости кинетической энергии.
Однако если на нулевой высоте рассчитать среднюю энергию частиц, досппших высоты л, то она больше средней энергии всех частиц на нулевой высоте. Поэтому можно сказать, что средняя энергия частиц на высоте Й действительно уменьшилась и в этом смысле они «охладились» при подъеме. Однако средняя энергия всех частиц на нулевой высоте и высоте 6 одинакова, т. е. и температура одинакова. С другой стороны, уменьшение плотности частиц с высотой также является следствием выбывания частиц из потока.
Поэтому закон сохранения энергии при подъеме частиц на высоту приводит к уменьшению их кинетических энергий и выбыванию частиц из потока. Благодаря этому, с одной стороны„плотность часптц с высотой уменьшается, а с другой стороны, их средняя кинетическая энергия сохраняется, несмотря на то что кинетическая энергия каждой из частиц убывает. Это можно подтвердить прямым расчетом, который рекомендуется проделать в качестве упражнения. Атмосфера планет.
Потенциальная энергия частицы массы тл в поле тяготения шарообразного небесного тела равна 11(г) = — б Мтл (9.16) т тлМ / 1 1'1( ло(г) = ло(го)ехр — 6 — — ~ — — — ц, йт(,...Ц (9.17) где учтено выражение (9.! б) для потенциальной энергии, го — радиус планеты. Формула (9.17) показывает, что при г -+ м плотность стремится к конечному пределу: аМ 11 по(г- со)- ло(го)ехр — 6 — — — /.
'о (9.18) Это означает, что если в атмосфере имеется конечное число молекул, то они должны быть распределены по всему бесконечному пространству, т.е. атмосфера рассеяна. Поскольку в конечном счете все системы стремятся к равновесному состоянию, то атмосфера планет постепенно рассеивается.
У некоторых из небесных тел, например у Луны, атмосфера полностью исчезла, другие„например Марс, имеют очень где М вЂ” масса тела, г — расстояние от центра тела до частицы, 6 — гравитационная постоянная. Атмосфера планет, в том числе и Земли, не находится в равновесном состоянии. Например„вследствие того что атмосфера Земли находится в неравновесном состоянии, ее температура не постоянна, как это должно было бы быть, а изменяется с высотой (уменьшается с увеличением высоты).
Покажем, что равновесное состояние атмосферы планеты в принципе невозможно. Если бы оно было возможно, то плотность атмосферы должна была бы изменяться с высотой по формуле (9.9), которая принимает вид 1 9. Распределение Болиамвив 83 1В 4 1В. К раочечу лолярюаиии чю- ляриыл лиэлввтрвяов разреженную атмосферу. Таким образом, атмосфера Луны уже достнгла равновесного состояння„а атмосфера Марса уже находится близко к достижению равновесного состояння.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
