А.Н. Матвеев - Молекулярная физика (1103596), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сейчас же она будет преодолена несколько искусственным и не полностью удовлетворительным методом, который был использован в классической статистической физике. Оправданием такого подхода являешься то, что он уже в рамках классической статистической физики привел к важным результатам, которые позднее были более удовлетворительно подтверждены в рамках квантовой статистики. Хорошо известно, что атомы и молекулы имеют определенные размеры. Их диаметр имеет порядок Н ж 10 '» м, т. е.
каждая молекула или атом занимают объем Ы'-1О з» м'. Выражение «занимает объем» означает, что если в этом объеме находится какая-то частица, то другая в том же объеме находиться не может. Поэтому считается, что частица изменила свое пространственное положение, если она из одного объема, который она занимает, перешла в другой объем, который может занимать. При таком представлении весь объем Г, который занимает газ, следует представлять себе разбитым на ячейки с объемом сР, которые могут быть занятыми отдельными частицами.
Движение частиц состоит. в скачкообразном переходе из одной ячейки в другую. В каждой из ячеек частица пребывает в течение интервала времени по порядку величины, равному «7ц где и — скорость частицы. Теперь возможно различать между собой микросостояния по положениям частиц. Микросостояние по просгранственным положениям характеризуется тем, что все частицы распределены определенным образом по ячейкам, на которые разбит рассматриваемый объем. Переходы частиц из одной ячейки в другую и составляют смысл изменения микросостояний системы.
Чтобы пользоваться таким представлением, не обязательно полагать, что частицы газа действительно имеют геометрические размеры порядка А Можно по-прежнему принять, что частицы идеального газа имеют нулевые геометрические протяженности, но законы движения таковы, что в одной ячейке может одновременно находиться только одна частица. Именно таким представлением мы и будем пользоваться в последующем при изложении вопросов об идеальном газе. В соответствии со сказанным в 1 м имеется всего 1У = 1ф~ - 10зв ячеек.
С другой стороны, при нормальных атмосферных условиях в 1 м' находится л = 2,7 10зз частиц. Это означает, что в типичных условиях одна частица приходится на У/л = 4 10 ячеек. Следовательно, основная часть ячеек пустая и лишь немногие из ячеек заняты частицами. Если ячейки группированы в виде кубов из ячеек, то одна частица занимает куб, в котором содержится 40000 ячеек. Влоль ребра такого куба располагается свыше 30 ячеек. Таким образом, среднее расстояние между занятыми ячейками более чем в 30 раз превосходит линейные размеры ячейки. Теперь необходимо найти способ различения микросостояний по скоростям. Вопрос сводигся к нахождению такого изменения скорости, при котором состояние движения частицы считается изменившимся. Другими словами, надо для скоростей образовать такие же «ячейки скоростей», как и для координат.
Эту задачу классическая теория не могла разрешить. Она была решена лишь с появлением квантовой й 4. Постулат равновсроятвости и эрголичссхая гипотеза 37 механики. Классическая механика удовлетворилась предположением, что такое разграничение состояний по скоростям (или импульсам) реально и можно в принципе подсчитать число состояний, но не указала, как это сделать. Во многих случаях такое представление достаточно, поскольку в окончательных результатах «число микросостояний по импульсам»либо вообще удавалось исключить, либо переходом к пределу удавалось заменить дискретный счет интегрированием по непрерывным переменным. Квантовая механика прежде всего показала, что частица не занимает какой-то объем в пространстве и какой-то «объем» по скоростям.
Ее пространственные и скоростные характеристики связаны между собой и не могут быть разделены, причем движение частицы определяется не ее скоростью т, а импульсом р. Объем ячейки, который может занимать одна частица, определяется не в пространстве координат или импульсов, а в пространстве координат-импульсов, называемом фазовым. Объем ячейки, занимаемый в этом пространстве одной частицей, равен (Лх Лу Лг)о (Ьр Лр„бр,)о = (2кЛ)', (4.1) где Л = 1,05. 10 з~ Дж. с — постоянная Планка. Заметим, что в оптике и спектроскопии чаще вместо й используется постоянная Планка Л = 2яй, поскольку ею удобнее пользоваться, если вместо круговой частоты оперировать частотой у =- го/(2я), ввиду того что Лго = Лц Квантовый подход к учету микросостояний, выражаемый формулой (41), будет использован в этой книге несколько позднее. Сначала ограничимся анализом различных микросостояний в обычном пространстве, избегая в явном виде анализа состояний в импульсном пространстве и довольствуясь лишь убеждением, что при желании это можно сделать.
Используемые при этом методы и понятия достаточно ясны и наглядны, с одной стороны, а с другой — они легко переносятся на фазовое пространство. Постулат равновероятности. Частицы, входящие в каждую систему ансамбля, считаются пронумерованными, пронумерованы также и ячейки, в которых могут находиться частицы.
В некоторый момент времени некоторая частица находится в различных системах ансамбля в различных ячейках. Если от начального момента прошло достаточно много времени и все системы ансамбля «забылн» свое начальное состояние, ячейка, в которой очутилась конкретная частица в данной системе, является случайной.
Для рассматриваемой частицы нет никаких предпочтительных оснований находиться в какой-то конкретной ячейке по сравнению с другой. Все ячейки равноценны и все местоположения частицы равновозможиы. Если ансамбль ° Хотя все частицы по своим внутреннин характеристикам одинаковы, в систене частиц в каждый нонент вренени между частицани существует определенная «иерархия». Например, одни частицы обладагот большей кинетической янергией, чен другие, одни расположены ближе к центру сосуда, в который оми помещены, другие — ближе к стенкам н т. д. Однако «иерархические» положения частиц быстро неняютсл — нет ни наследственных королей, ми вечнык пищик.
В течение достаточно бопыиого промежутка вренени каждая частице побывает на все» ступемяк «иерархической» лестницы, причем все частицы ма жпкдой ступени находятся в среднеи одинаковый промежуток вренемн. 38 1. Статистический метод содержит очень большое число систем )т'„, то число систем, в которых рассматриваемая частица окажется в ячейке 1, равно числу систем, в которых она оказалась в ячейке 2, и т.д.
Другими словами, для данной частицы все возможные положения равновероятны. Микросостояние характеризуется положением всех л частиц, входящих в систему, т.е. конкретным распределением этих частиц по ячейкам, на которые разби~ объем. Поскольку все ячейки для каждой из частиц равновозможны, логично заключить, что все распределения частиц по ячейкам также равновозможны. А это означает, что все микросостояния равновероятны.
Поэтому, например, система, в которой все частицы собрались в одном углу рассматриваемого объема и заняли в этом углу все л ячеек определенным образом, будет встречаться в ансамбле столько же раз, сколько система, в которой частицы встречаются во всех точках объема и занимают соответствующие л ячеек также определенным образом. Утверждение о равновероятности микросостояний называется постулатом равно- вероятности. Проведенные рассуждения не являются, конечно, доказательством этого утверждения. Такого общего доказательства в настоящее время не существует, поэтому это утверждение и называется постулатом. Оно играет большую роль в статистической механике. Вычисление средних по ансамблю. Возьмем некоторую величину, связанную с конкретной частицей, например квадрат ее координаты.
Расположение системы координат может быть произвольным, необходимо лишь, стобы оно было одинаковым относительно всех систем ансамбля (рис. 5). Будем индексом 1 нумеровать координату частицы в йй системе статистического ансамбля. Тогда„по определению средней величины, получим (4.2) (ха) ~ х,. а, В этом равенстве индекс а показывает, что вычисляемая величина является средней по ансамблю, Մ— число систем в ансамбле, х; — координата частицы в Рй системе ансамбля.
Число ячеек в каждой системе ансамбля равно Ж = Юае, а число систем Ж, в ансамбле предполагается значительно большим этой величины ()т'„>> Х). Поэтому можно допустить, что число систем ансамбля, в которых частица находится в утй ячейке, велико. Пусть это число равно Х,л Тогда в соответствии с частотным определением вероятности (2.1) вероятность нахождения частицы в /дй ячейке *~ а ~ атт'~~а. (4.3) Преобразуем сумму в (4.2) так, чтобы сгруппировать члены, относящиеся к одной и той же ячейке, в различных системах ансамбля.
Поскольку, как это было уже отмечено, в 2-й ячейке частица находится в Ии системах ансамбля, 2' )т'„ха, где хт — х-я координата зьй ячейки; Х„.— число систем в ансамбле, в которых в у-й ячейке находится частица; Х вЂ” число ячеек в каждой системе статистического ансамбля. й' 4. Постулаг равновсроятпос~н и эрго;шчсскля ~ шнмсзн ЗЧ й Статистический ансамбль Рредположин. что мы смотрим «инофильм, показывающий ловлю рыбы удочкой. В некоторые промежутки времени рыбок вытаскивает крючок из воды, снимает рыбку с крючка и бросает ее в ведерке с водой, ютем насаживает червяка на крючок и забрасывает его в воду. Иы хронометрон измеряем «родолжительмасть этих промежуткОв времени. Очевидно, что суммарная продолжительность этих промежутков времени. деленная но продалжительность всего фильма, равнО числу кадрОв, но которых зафиксированы картинки от момента вытаскивания крючка из воды до нонента его юбрасыяания в воду, деленному на общее число кадров в фильне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
