Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Для аффинныхрасслоений ситуация аналогична./ с сечениемУтверждение 14. Любое аффинное расслоение ∶ ∶ / канонически эквивалентно своему присоединенному расслоению ∗ ⇑ . Точке ∈ ∗ ⇑ при этом соответствует точка ⋅ () ∈ .2.3.2Эквивалентность аффинных и почти лагранжевыхрасслоенийПокажем, что пуассоново действие определяет почти лагранжево расслоениеоднозначно с точностью до поднятия 2-формы с базы.52Теорема 15. Любое аффинное расслоение ∶ → с присоединеннымрасслоением ∗ ⇑ может быть реализовано некоторым почти лагранжевым расслоением ∶ ( 2 , ) → с решеткой .Доказательство. Рассмотрим покрытие { } базы , над каждым эле/ . Каждое расслоениементом которого существует сечение ∶ −1 ( ) / канонически эквивалентно факторкокасательному расслоению ∗ ⇑ .
Обозначим через 2-форму на −1 ( ), индуцированную канонической 2-формой на ∗ . Рассмотрим разбиение единицы , согласованноес покрытием { }, и положим = ∑ .Расслоение ∶ (, ) / является почти лагранжевым расслоением срешеткой , для которого пуассоново действие ∗ ⇑ совпадает с исходным действием присоединенного расслоения ∗ ⇑ .
Явно проверим это вкоординатах. Для любой точки ∈ в координатах (, ), где координаты 1 , . . . , постоянны на слоях, а координаты 1 , . . . , , соответствуют ковекторам , матрица формы имеет вид ( −0 Φ ), где Φ — некоторая( × )-матрица, зависящая только от 1 , . . . , . Значит, в этих координатах0матрица формы равна ( − ∑ Φ ).Теорема 16. Два почти лагранжевых расслоения лагранжево эквивалентны с точностью до подкручивания тогда и только тогда, когда им соответствуют эквивалентные аффинные расслоения.Доказательство.
(⇒) Подкручивание не меняет структуру аффинного расслоения (поля = −1 ( ∗ ) одни и те же для обоих расслоений).(⇐) Пусть ∶ ( 2 , ) → ( = 1, 2) — два почти лагранжевых расслоения, которым соответствует одно и то же аффинное расслоение. Покажем,что 1 − 2 = ∗ . Индуцируем эту форму при помощи (локальных) сечений. Из утверждения 8 следует, что формы 1 и 2 одинаково изменятся припереходе к другому сечению, поэтому форма корректно определена.2.3.3Доказательство теорем 9 и 10Доказательство теоремы 10. Теорема легко следует из доказанных ранее утверждений, а именно из теоремы 16 и утверждения 8.
Достаточ53но заметить, что послойный автоморфизм почти лагранжева расслоения ∶ ( 2 , ) → , сохраняющий пуассоново действие ∗ ⇑ — это сдвигна решетчатую 1-форму ∶ / ∗ ⇑ .Докажем теперь теорему 9. Для этого удобно “забыть” о симплектической структуре, оставив только пуассоново действие — перейдём от почтилагранжевых расслоений к аффинным (см. раздел 2.3.2).Фиксируем клеточное разбиение пространства . Так же, как и в разделе2.2.3, через мы будем обозначать -ю -мерную клетку пространства ,а через ∶ / обозначено соответствующее характеристическое отображение. Для любого расслоения ∶ / через ∶ / обозначеноиндуцированное расслоение над -остовом.Теорема 17.
Два аффинных расслоения ∶ → ( = 1, 2) с присоединенным расслоением 0 ∶ ∗ ⇑ → , где — решетка на , эквивалентнытогда и только тогда, когда им соответствует одно и то же первое препятствие к построению сечения 1 = 2 ∈ 2 (, ).Доказательство. В одну сторону очевидно — у эквивалентных расслоенийпрепятствия совпадают. В другую сторону — пусть у расслоений ∶ → препятствия совпадают.
Построим эквивалентность расслоений поостовно,а для каждого остова — поклеточно.Пусть над ( − 1)-остовом −1 уже построена эквивалентность:1−1 ∼−1 2−1Построим эквивалентность над -клеткой . Аффинное расслоениес фиксированным сечением канонически эквивалентно соответствующемуприсоединенному (см. утверждение 14). Поэтому для построения эквивалентности над клеткой достаточно задать два сечения ∶ → ( )∗ ( = 1, 2) так, чтобы эквивалентность, переводящая их друг в друга, совпалас эквивалентностью ∼−1 на ( − 1)-остовах.Таким образом, для построения эквивалентности над клеткой достаточно найти стягиваемое сечение 1 ∶ → ( )∗ 1 такое, что соответствующее ему относительно ∼−1 сечение 2 ∶ → ( )∗ 2 будет стягиваемым54(сечение над границей клетки будем называть стягиваемым, если онопродолжается на всю клетку ).
После этого достаточно перевести сечениянад клетками друг в друга.Рассмотрим три случая.Случай = 1. Над 1-остовом у обоих аффинных расслоений ∶ → существуют сечения 1 ∶ 1 → 1 . Более того, используя утверждение 13, этисечения 1 можно выбрать так, чтобы их препятствующие коцепи совпали.Случай = 2. Пусть эквивалентность ∼1 над 1-остовом определяетсясечениями 1 ∶ 1 → ( = 1, 2) над 1-остовом 1 такими, что их препятствующие коцепи совпадают. Покажем, что тогда эквивалентность ∼1 можетбыть продолжена на 2-остов.Рассмотрим произвольную 2-клетку 2 . Выберем произвольное сечение1 ∶ 2 → (2 )∗ 1 над этой клеткой 2 .
Требуется доказать, что сечение2 ∶ 1 → (2 )∗ 2 , соответствующее сечению 1 ⋃︀2 ∶ 1 → (1 )∗ 1 относительно эквивалентности ∼1 , будет стягиваемым. Отождествим аффинныерасслоения (2 )∗ → 2 с соответствующими присоединенными расслоениями (2 )∗ ( ∗ ⇑ ) → 2 . Без ограничения общности можно считать, чтосечение 1 ∶ 2 → 11 переходит в нулевое сечение.Даны два сечения 1 ∶ 1 / , обозначим через ˜ ∶ 1 → (2 )∗ ( ∗ ⇑ )( = 1, 2) соответствующие сечения расслоений (2 )∗ ( ∗ ⇑ ) → 2над 2 . Эти сечения ˜ задают один и тот же элемент группы1 ((2 )∗ ( ∗ ⇑ ))(этим сечениям соответствуют равные препятствия).
Поэтому разности ˜2 −˜1 соответствует нулевой элемент группы 1 ((2 )∗ ( ∗ ⇑ )).То есть сечение ˜2 − ˜1 будет стягиваемым. Поэтому сечение 2 стягиваемо,что и требовалось доказать.Случай > 2. Для локально тривиальных расслоений ( ⋃︀ )∗ → любое сечение продолжается с ≃ −1 на всю клетку ≃ . Действительно, препятствие к продолжению этого сечения лежит в группе−1 ( ) = −1 (T × R− ), которая тривиальна при > 2.552.3.4Реализация инвариантовДокажем теперь теорему 11. Для этого достаточно доказать, что аффинными расслоениями могут быть реализованы все возможные препятствия (см.раздел 2.3.2).Теорема 18.
Пусть — решетка на многообразии . Для любого класса ∈ 2 (, ) существует аффинное расслоение с присоединенным расслоением ∗ ⇑ и препятствием к построению сечения .Доказательство. Возьмём произвольный представитель ∈ . Явно построим расслоение, реализующее препятствующую коцепь ∈ 2 (, ). Строитьрасслоение будем поостовно, а для одного остова поклеточно.Заметим, что устройство расслоения над каждой клеткой определено однозначно. А именно, пусть ∶ → — некоторое аффинное расслоениес присоединенным расслоением ∗ ⇑ .
Тогда индуцированное расслоение( )∗ → для каждой клетки тривиально (локально тривиальное расслоение над диском тривиально). Любое тривиальное расслоение над дискомдопускает сечение. Поэтому индуцированное расслоение ( )∗ → эквивалентно ( )∗ ( ∗ ⇑ ) → .Пусть уже построено аффинное расслоение −1 ∶ −1 → −1 с присоединенным расслоением ( ∗ ⇑ )−1 . Остаётся лишь показать, как “приклеить”клетку с заданным на ней расслоением ( )∗ ( ∗ ⇑ ) → к расслоению −1 ∶ −1 → −1 .
Для этого достаточно задать сечение над границейрассматриваемой клетки⋃︀ ∶ −1 → ( ⋃︀ )∗ −1 .Рассмотрим четыре случая.Случай = 1. Сечение над 1 существует, так как слои связны.Случай = 2. Требуется построить расслоение над 2-остовом 2 с препятствующей коцепью . Выберем на границе каждой двумерной клетки 2по точке . Коцепь ∈ 2 (, ) сопоставляет каждой точке элемент решетки ∈ .56Нужно найти сечение⋃︀2 ∶ 2 → (2 ⋃︀2 )∗ 1 ,которое задает над клеткой 2 элемент .Заметим, что расслоение 1 ∶ 1 → 1 эквивалентно ( ∗ ⇑ )1 , так какаффинное расслоение 1 ∶ 1 → 1 допускает сечение 1 ∶ 1 → 1 .
Расслоение ( ∗ ⇑ )1 можно представить как фактор ( ∗ )1 по 1 .Представим окружность 2 ≃ 1 , в виде отрезка = (︀1 , 2 ⌋︀ с отождествленными концами (соответствующими точке ∈ 2 ). Обозначим через( ∗ ) расслоение, индуцированное над отрезком кокасательным расслоением ∗ . Расслоение ( ∗ ) → тривиально, поэтому существует сечение ∶ → ( ∗ ) такое, что (1 ) = 0 и (2 ) = (значения над концамиотрезка отличаются на ).
Сечение ∶ → ( ∗ ) индуцирует искомоесечение 1 ≃ ( ∗ ⇑ )1 .Случай = 3. Покажем, что расслоение 2 ∶ 2 → 2 может быть продолжено с 2 на клетку 3 (т. е. что у расслоения (3 ⋃︀3 )∗ 2 → 2 существуетсечение). Нужно воспользоваться тем, что препятствующая коцепь являетсякоциклом.Случай, когда образ сферы 3 (3 ) не пересекается с 1-остовом 1 тривиален. В этом случае образ 3 (3 ) содержится в какой-то открытой клеткеInt 2 . Любое сечение ∶ Int 2 → 2 задает сечение над 3 .
(Сечение существует, так как расслоение над диском тривиально). Без ограничения общности можно считать, что на 3 существует такая точка 0 , что 3 (0 ) ∈ 1 .Представим сферу 3 ≃ 2 с фиксированной точкой 0 как диск со стянутойв точку границей. Другими словами, фиксируем произвольное отображениепар пространств ∶ (2 , 2 ) → (3 , 0 ), которое диффеоморфно отображает внутренность диска Int 2 = 2 ∖ 2 на 3 ∖ 0 . Обозначим через ∶ (2 , 2 ) → ( 2 , 1 ) соответствующее отображение диска в 2-остов.Покажем теперь, что любое сечение 1 ∶ 1 → 2 продолжается с точки 0 на всю сферу 2 .
Для этого рассмотрим следующую коммутативнуюдиаграмму:572 (2 , 2 )×ℎ1 ××Ö3 (3 , 3 ; Z)∗ÐÐ→2 (3 , 0 ; Z)∗ÐÐ→(3 ⋃︀3 )∗2 ( 2 , 1 )×ℎ2 ××ÖÐÐÐÐ→ 2 ( 2 , 1 ; Z) ÐÐ→ {1 ( )}(2.3.1)В этой диаграмме через обозначена препятствующая коцепь, соответствующая сечению 1 ; через ℎ2 — гомоморфизм Гуревича; через ℎ1 — композицияизоморфизма∗ ∶ 2 (2 , 2 ) → 2 (3 , 0 )с гомоморфизмом Гуревича2 (3 , 0 ) → 2 (3 , 0 ; Z).Гомоморфизмы ℎ1 и ℎ2 на самом деле являются изоморфизмами, так какв данном случае гомоморфизмы Гуревича являются изоморфизмами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
