Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Остаетсясперва фиксировать нужное , а затем .Итак, группа циклическая. Докажем, что группа тоже циклическая.Начнем с простого алгебраического утверждения.Утверждение 24. Если бесконечная циклическая группа 1 является подгруппой индекса 2 в группе 2 , то 2 либо коммутативна, либо изоморфнагруппе матриц)︀[︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ ⎞⌉︀⌋︀⋁︀ = ±1, ∈ Z⌈︀ .⌉︀⌉︀⎝⎠⌉︀⌉︀]︀ 0 1⌊︀Доказательство. Утверждение следует из того, что у бесконечной циклической группы всего два автоморфизма.Лемма 11. Группа — циклическая тогда и только тогда, когда —циклическая.70Доказательство. Пусть порождена элементом ℎ, а — элемент не сохраняющий ориентацию.
Тогда 2 = ℎ так как 2 ∈ . Тогда квадрат элемента ′ = ℎ−(︀ 2 ⌋︀ (где (︀⌋︀ — наибольшее целое число, не превосходящее ) равенлибо , либо ℎ (по утверждению 24 либо и ℎ коммутируют, либо = 0).Любое аффинное преобразование такое, что 2 = , является симметрией.У симметрии есть неподвижные точки. Поэтому ′ порождает .Лемма 10 теперь легко следует из леммы 7.Теорема 20 полностью доказана.Доказательство теорем 12, 13 и 21. Нужно доказать следующее:1. Любая целочисленная аффинная поверхность 2 изоморфна одной изповерхностей из таблицы 2.2 (нужно привести действие 1 ( 2 ) к требуемому виду).2.
Все целочисленные аффинные поверхности из таблицы 2.2 корректноопределены (нужно показать, что действие каждой группы из таблицы 2.2 свободно, и что факторпространство R2 ⇑ — многообразие).3. Нужно доказать утверждения теорем 12, 13 и 21 про то, что поверхностииз разных серий неизоморфны.Приведение к требуемому виду. Рассмотрим целочисленную аффинную поверхность 2 . Чтобы привести действие 1 ( 2 ) к требуемому в таблице 2.2 виду достаточно воспользоваться леммами 7 и 8. После этого становится ясно, какой базис нужно выбрать.Рассмотрим случай бутылки Клейна 2 = K2 (остальные случаи аналогичны).Рассмотрим порождающие фундаментальной группы , ℎ ∈ 1 (K2 ), связанные единственным соотношением −1 ℎℎ = . Нужно привести порождающие и ℎ к требуемому виду при помощи следующих операций:∙ Можно менять целочисленный аффинный базис R2 ,∙ Можно менять порождающие фундаментальной группы 1 (K2 ).71Элемент ℎ сохраняет ориентацию (см.
утверждение 19), поэтому по лемме8 существует целочисленный аффинный базис, в котором=⎛⎛ ⎞ ⎛1 ⎞⎞,,⎝⎝ 0 − ⎠ ⎝2 ⎠⎠ℎ=⎛⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞⎞,,⎝⎝0 1 ⎠ ⎝2 ⎠⎠где ∈ Z, 1 , 2 ∈ R, и ∈ Z, = ±1, 1 , 2 ∈ R.Чтобы облегчить запись, в этой части доказательства мы не будем менятьобозначения для параметров элементов и ℎ (например, всегда будет обозначать элемент в правом верхнем углу матрицы ℎ).Без ограничения общности можно считать, что = 1. Несложно проверить, что равенство −1 ℎℎ = выполнено тогда и только тогда, когда1 + 1 + 2 = 1 − 1 + 2 − 2 и 2 + 2 = 2 + 2 . Если = −1, то 2 = 0,и следовательно = 0 (иначе действие ℎ не свободно).
Если же ℎ — сдвиг, топо лемме 8 существует целочисленный аффинный базис R2 такой, что = 1.Теперь⎛1 ⎞⎛1 ⎞ =,ℎ =.⎝0 −1⎠⎝0 1 ⎠Приведем линейные части и ℎ к требуемому в условии виду. Если и — нечетные, то изменим четность , заменив на ℎ (это корректнаязамена главных элементов — см.
утверждение 18). Теперь сделаем заменубазиса из утверждения 21 — если < 0, то обратим первый базисный вектор1 (чтобы сделать ≥ 0). После этого заменим второй базисный вектор 2 на2 − (︀ 2 ⌋︀1 (чтобы сделать равным 0 или 1). Итак, =⎛1 ⎞,⎝0 −1⎠ℎ =⎛1 ⎞,⎝0 1 ⎠где ∈ Z, ≥ 0, равно 0 или 1, и четно, если = 1.Приведем теперь векторные части элементов и ℎ к требуемому виду.Перенесем начало координат в точку ( −01 ⇑ ), чтобы сделать 2 равным 0.Затем, если 2 < 0, заменим 1 , 2 на −1 , −2 , чтобы сделать 2 > 0.
Послеэтого, если 1 < 0, заменим на −1 , чтобы изменить знак 1 . Оставшиеся−1условия на параметры и ℎ (т. е. 1 = −2 2 ) вытекают из формулы ℎℎ.72Аффинные поверхности в таблице 2.2 корректно определены.Рассмотри группу из таблицы 2.2. Чтобы доказать, что группа действует свободно, нужно проверить, что для любого элемента (, ⃗) ∈ уравнение( − )⃗ = −⃗ не имеет решений (см. утверждение 20). Это делается явно.Чтобы облегчить проверку в случае бутылки Клейна, опишем все элементысоответствующих групп.Лемма 12.
Пусть =⎛⎛1 =⎝⎝0 ⎛⎛1 ⎞ ⎛⎞⎞⎛⎛1 ⎞ ⎛ ⎞⎞,и =,. Тогда⎝⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎠⎝⎝0 −1⎠ ⎝0⎠⎠1+(−1)−12(−1)+ (−1) ⎞ ⎛ + 2 + ⎞⎞,⎠ ⎝⎠⎠(−1)(2.4.2)Докажем, что фактор R2 ⇑ — многообразие. Для всех поверхностей 2кроме бутылки Клейна это практически очевидно. В случае бутылки Клейнадостаточно заметить, что фактор плоскости R2 по действию подгруппы ⊂, состоящей из элементов, сохраняющих ориентацию, — тор.Неизоморфность серий. Аффинные структуры на недиффеоморфныхповерхностях попарно неизоморфны, и структуры из разных серий на ориентируемых поверхностях попарно неизоморфны (для цилиндра и для тораодна серия состоит из сдвигов, а вторая нет).2 практически очевидны: матрица Утверждения про серии T2,;, и ,соответствует замене репера, а — замене базиса фундаментальной группы.Случай тора T2,; был разобран Мишачёвым в [49] (этот случай можеттакже быть разобран аналогично рассматриваемому ниже случаю бутылкиКлейна).
Рассмотрим бутылку Клейна. Следующая лемма описывает всеизоморфизмы между двумя целочисленными аффинными структурами набутылке Клейна K2 .Лемма 13. Пусть две целочисленные аффинные структуры 1 и 2 набутылке Клейна задаются двумя парами 1 , ℎ1 , и 2 , ℎ2 стандартных по ), ( )).рождающих K2 , где ℎ = (( 10 1 ), ( )) и = (( 10 −10Автоморфизм плоскости переводит структуру 1 в структуру 2тогда и только тогда, когда существуют такие 1 = ±1, 2 = ±1 и ∈ Z,73что ℎ1 −1 = ℎ21 ,(2.4.3) 1 −1 = ℎ2 22 .(2.4.4)Если 1 ≠ 2 или ℎ1 ≠ ℎ2 , то таких автоморфизмов не существует(т.
е. аффинные структуры из разных серий неизоморфны). Если же 1 =2 и ℎ1 = ℎ2 , то является автоморфизмом тогда и только тогда, когдавыполнены следующие условия.1 1 ), ( 21. = (( 02)), где =−1 +1 +2 , 12∈R2. Если ≠ 0, то 2 = 1.3. Если нечетно, то четно.4. Если ≠ 0 (и четно), то 1 = 2 .Доказательство.
То, что — автоморфизм тогда и только тогда, когда онудовлетворяет уравнениям (2.4.3) и (2.4.4), следует из утверждения 18 (отом, как выглядят все автоморфизмы 1 (K2 )).Заметим далее, что автоморфизм сохраняет первый базисный вектор1 , так как 1 — единственный собственный вектор с собственным значением1 для всех элементов 1 (K2 ). Выпишем теперь явно действие изоморфизма.Следующее утверждение доказывается прямым вычислением.˜˜Утверждение 25. Пусть = (( 10 ˜ ˜, ˜, ∈ R.
Тогда при ), ( ˜ )), где ,сопряжении автоморфизмом = (( 01 2 ), ( 12 )), где 1 = ±1, 2 = ±1, ∈ Z,1 , 2 ∈ R имеют места равенства˜ 22 2 −1 2 )) −1 = (( 01 (−1)2+1 2 ˜ ), ( 1 ˜+˜+(1−)(1−)2 +2 ˜(2.4.5)В частности, если и — те же, что и в лемме 13, то выполнены следующие равенства. −1 = (( 10 1 12 ), ( 1−−1 2 2 +22 )),1 2 ), ( 1 +22 2 −1 2 2 )). −1 = (( 10 −22 +22−174(2.4.6)(2.4.7)Поэтому уравнения (2.4.3) и (2.4.4) будут эквивалентны следующему набору уравнений1 2 1 = 1 2 ,(2.4.8)−22 + 1 2 1 = 2 − 2 ,1 − 12 − 1 211 − 1 2 1 2 + 1 =2 ,222 1 = 1 2 ,1 1 + 22 2 − 1 1 2 2 = 2 − 2( − 1)2 +2 2 + 2 2 ,2222 = 2 .(2.4.9)(2.4.10)(2.4.11)(2.4.12)(2.4.13)Уравнения (2.4.8) и (2.4.9) получаются из сравнения линейных частей уэлементов ℎ1 , ℎ2 и 1 , 2 соответственно. Уравнения (2.4.10) и (2.4.11) — изсравнения векторов сдвига у ℎ1 и ℎ2 , а (2.4.12) и (2.4.13) — из векторов сдвига1 и 2 .Так как > 0, а = ±1 и = ±1, то из уравнения (2.4.11) вытекает,что 2 = 1 и 1 = 2 .
Аналогично, из уравнения (2.4.8) следует, что 1 = 2 .Кроме того, если ≠ 0, то 1 = 1.Уравнения (2.4.9) и (2.4.13) дают соответственно = −2 2 +22 2 +1 1 и 2 =22 . Подставляя полученные равенства в уравнение (2.4.12), получаем, что1 = 2 , 1 = 2 .Остается показать, что 1 = 2 . Если 1 (= 2 ) нечетно, то 1 = 2 = 0 (и четно, так как целое). Если же 1 (= 2 ) четно, то 2 2 = 1 1 , так как целое (т.
е. 1 = 2 , и если ≠ 0, то 1 = 2 ).Оставшееся уравнение (2.4.10) будет выполнено автоматически. Лемма 13доказана.Теоремы 12, 13 и 21 полностью доказаны.2.4.4Остальные инвариантыРассмотрим полную решетку на двумерной поверхности 2 . Найдемнетривиальные подкручивания 2 ( 2 , R)⇑2 ( 2 ) и группу первых препятствий 2 ( 2 , ).75Теорема 22.
Для любой полной решетки на двумерном многообразии 2 , отличном от тора и бутылки Клейна, пространство препятствий 2 ( 2 , ) и нетривиальные подкручивания 2 ( 2 , R)⇑2 () тривиальны.Доказательство. Напомним, что полные решетки существуют только наторе, бутылке Клейна, цилиндре, листе Мёбиуса и на плоскости (см. теорему20). Нетривиальные подкручивания отсутствуют: 2 ( 2 ) = 0, так как базанекомпактна. Препятствий нет: 2 ( 2 , ) = 0, так как база 2 может бытьстянута к окружности или к точке.Оставшаяся часть раздела 2.4.4 посвящена доказательству теоремы 14— вычислению инвариантов для лагранжевых расслоений над тором и надбутылкой Клейна.
У бутылки Клейна также нет нетривиальных подкручиваний, так как 2 (K2 , R) = 0. Итак, остается найти нетривиальные подкручивания для тора, а также препятствия к построению сечения для тора ибутылки Клейна.Нетривиальные подкручивания. Нетривиальные подкручивания длятора были найдены Мишачёвым в [49] (там нетривиальные подкручиванияназывались когомологическими инвариантами сдвига), поэтому приведемлишь набросок доказательства.Напомним, что на торе T2 существуют только две серии решеток: серияT2,;, и серия T2,; . Тор T2 с решеткой — это фактор плоскости R2 подействию фундаментальной группы 1 (T2 ) ≃ Z2 .Для решетки T2,;, порождающие 1 (T2 ) имеют вид=⎛⎛1 0⎞ ⎛⎞⎞,,⎝⎝0 1⎠ ⎝ ⎠⎠ℎ=⎛⎛1 0⎞ ⎛⎞⎞,.⎝⎝0 1⎠ ⎝ ⎠⎠Для решетки T2,; порождающие 1 (T2 ) имеют вид=⎛⎛1 0⎞ ⎛⎞⎞,,⎝⎝0 1⎠ ⎝ 0 ⎠⎠ℎ=⎛⎛1 ⎞ ⎛0⎞⎞,.⎝⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎠Чтобы найти все нетривиальные подкручивания 2 (, )⇑2 (), возьмем произвольную решетчатую 1-форму и найдем когомологический класс76дифференциала (︀⌋︀ ∈ 2 (T2 , R).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
