Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054)
Текст из файла
ФГБОУ ВПО “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТИМЕНИ М. В. ЛОМОНОСОВА”МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТНа правах рукописиКозлов Иван КонстантиновичИНВАРИАНТЫ СЛОЕНИЙ ВСИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ И ПУАССОНОВОЙГЕОМЕТРИИ01.01.04 - геометрия и топологияДиссертация на соискание учёной степеникандидата физико-математических наукНаучный руководитель:д.ф.-м.н., профессор А. А. ОшемковМосква - 2013ОглавлениеВведение41 Основные определения171.1 Интегрируемые гамильтоновы системы . . .
. . . . . . . . . . . . 171.21.31.41.5Примеры симплектических и пуассоновыхНевырожденные особенности . . . . . . . .Круговые молекулы . . . . . . . . . . . . . .Бигамильтоновы структуры . . . . . . . . .многообразий. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .................2 Классификация лагранжевых расслоений352.1 Основные результаты главы 2 . . . . . . . . .2.2 Инварианты лагранжевых расслоений .
. . .2.2.1 Пуассоново действие . . . . . . . . . . .2.2.2 Решетка в кокасательном расслоении .2.2.3 Препятствие к построению сечения .2.3 Доказательство теорем классификации . . .2.3.1 Аффинные расслоения . . . . . . . . .2.3.2 Эквивалентность аффинных и почти21243133............................................35444548. .
. . . . . . . . . . 49. . . . . . . . . . . . 51. . . . . . . . . . . . 52лагранжевыхрасслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.3.3 Доказательство теорем 9 и 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.4 Реализация инвариантов . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 562.4 Классификация лагранжевых расслоений наддвумерными поверхностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592.4.1 Целочисленные аффинные многообразия . . . . . . . . . 602.4.2 Фундаментальная группа бутылки Клейна . . . . . . . . 6122.4.3 Полные целочисленные аффинные поверхности .
. . . . 632.4.4 Остальные инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.5 Примеры лагранжевых и почти лагранжевыхрасслоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.6 Классификация при помощи теории пучков . . . . . . . . . . . . 863 Инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновыхструктур893.1 Основные результаты главы 3 . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 893.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера . . . . . . . . . . 953.2.1 Самосопряжённые операторы в симплектическомпространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 963.2.2 Доказательство теоремы Жордана-Кронекера.Общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2.3 Вещественная теорема Жордана–Кронекера .3.2.4 Единственность формы Жордана–Кронекера .3.3 Линейные инвариантные подпространства . .
. . . . .........................1001041061093.4 Локальное устройство невырожденныхбигамильтоновых структур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.5 Доказательство основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204 Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случаяКовалевской на алгебре Ли so(4)1254.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . .
. .4.2 Основные результаты главы 4 . . . . . .4.2.1 Случай κ > 0, = 0 . . . . . . . . .4.3 Доказательство основных утверждений .4.3.14.3.24.3.34.3.4........................Критические точки ранга 1 . . . . . . . . . .Типы бифуркационных диаграмм. (СлучайКритические точки ранга 0 . . . . . . . . . .Доказательство теорем 42, 43 и 44 .
. . . .................................125129136140. . . . ≠ 0). . . .. . . .................1401501581634.4 Классический случай Ковалевской (κ = 0) . . . . . . . . . . . . . 16934.5 Рисунки к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1764ВведениеАктуальность темыВ диссертации изучаются различные инварианты слоений, естественным образом возникающие в симплектической и пуассоновой геометрии. А именно,рассмотрены следующие три типа слоений и связанные с ними задачи:1.
Лагранжевы расслоения. Локально тривиальное расслоение называется лагранжевым, если его тотальное пространство является симплектическим многообразием, и все его слои являются лагранжевыми подмногообразиями этого симплектического многообразия. В диссертацииизучается вопрос, когда два лагранжевых расслоения послойно симплектоморфны, и проведена классификация лагранжевых расслоений скомпактным тотальным пространством над двумерными поверхностями.2.
Инвариантные слоения невырожденных бигамильтоновых структур. Вдиссертации изучается некоторый класс распределений, естественнымобразом возникающих на многообразии, на котором заданы две согласованные невырожденные скобки Пуассона, и исследован вопрос, какиеиз этих распределений являются интегрируемыми, то есть какие из нихзадают слоение на данном многообразии.3. Слоение Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебреЛи so(4). В диссертации исследуются топологические свойства интегрируемого случая для уравнений Эйлера на алгебре Ли so(4), являющегося аналогом классического случая Ковалевской в динамике твёрдоготела.5Хорошо известно, что симплектическая геометрия возникла из гамильтонова формализма классической механики. Рассматриваемые в диссертацииобъекты и вопросы также связаны с изучением гамильтоновых систем в механике и физике.
Рассматриваются слоения и их инварианты, которые могутбыть полезны при исследовании различных интегрируемых гамильтоновыхи бигамильтоновых систем.Изучение первого типа слоений — лагранжевых расслоений — можно рассматривать как изучение глобальных инвариантов слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем. Из классической теоремы Лиувилля осуществовании координат действие-угол следует, что отображение момента любой интегрируемой гамильтоновой системы задаёт лагранжево расслоение с особенностями.
В диссертации изучается глобальное устройстволагранжевых расслоений без особенностей.Имеется много работ, посвящённых изучению лагранжевых расслоений сособенностями, а также исследованию свойств различных классов особенностей лагранжевых расслоений. Среди этих работ следует отметить работыМ. Ф.
Атьи [34], В. Гийемина, С. Стернберга [41] и Т. Дельзанта [39], в которых подробно изучены торические многообразия, т.е. многообразия с заданными на них гамильтоновыми действиями тора. Также имеется много работ,посвящённых изучению особенностей слоений Лиувилля интегрируемых гамильтоновых систем. Ссылки на эти работы, а также изложение общей теории о топологических свойствах слоений Лиувилля можно найти в книгеА. B. Болсинова, А. Т.
Фоменко [6] и обзоре А. B. Болсинова, А. А. Ошемкова [37].В работе [40] Х. Дюистермаат предложил классифицировать лагранжевы расслоения при помощи теории пучков. В частности, он ввел инварианты, полностью определяющие лагранжевы расслоения –– решётку на базелагранжева расслоения и лагранжев класс Черна. Однако даже в случаемалой размерности получение полного списка лагранжевых расслоений (например, для данной базы) с помощью инвариантов, описанных Дюистермаатом является, как правило, нетривиальной задачей. Тем не менее, К. Н. Мишачёву в работе [49] удалось получить такой список для лагранжевых рас6слоений над ориентируемыми двумерными поверхностями.
Там же Мишачёвпоказал, что среди двумерных поверхностей только двумерный тор и бутылка Клейна могут быть базой лагранжева расслоения.В дальнейшем Нгуен Тьен Зунг в работе [61] обобщил понятие лагранжева класса Черна на случай, когда лагранжево расслоение содержит некоторые определённые классы особенностей, а Н. К. Леунг и М. Симингтон вработах [45] и [55] классифицировали тотальные пространства лагранжевыхрасслоений с невырожденными негиперболическими особенностями с точностью до диффеоморфизма.В диссертации описана классификация лагранжевых расслоений над бутылкой Клейна, и тем самым завершена классификация лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями.
При этом был введён новый, болееширокий класс почти лагранжевых расслоений, отличный от класса лагранжевых расслоений тем, что форма на тотальном пространстве не обязательно замкнута. Для этого нового класса почти лагранжевых расслоений найдены классифицирующие инварианты, и приведён пример нетривиальногопочти лагранжева расслоения, не являющегося лагранжевым.Лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна были независимо (и практически одновременно) классифицированы Д.
Сепе [54].Изучение второго типа слоений — инвариантных слоений невырожденных бигамильтоновых структур — связано с исследованием топологическихсвойств бигамильтоновых систем и локального строения согласованных скобок Пуассона. Хорошо известно, что интегрируемость многих гамильтоновых систем в математике, механике и физике связана с наличием в нихбигамильтоновой структуры. Оказывается, что многие гамильтоновы системы являются гамильтоновыми сразу относительно двух скобок Пуассона илюбой их линейной комбинации, которая также является скобкой Пуассона.После работы Ф.
Магри [46], в которой было впервые показано, как бигамильтонова структура может быть использована для нахождения первыхинтегралов системы, была установлена бигамильтоновость многих классических задач механики и физики. Метод сдвига аргумента, предложенныйА. С. Мищенко и А. Т.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
