Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 8
Текст из файла (страница 8)
. , что1. координаты постоянны на слоях,2. матрица формы имеет вид⎛ 0⎝−⎞,Ω⎠где — это единичная ( × )-матрица, а Ω — матрица, зависящаятолько от 1 , . . . , .Доказательство. Возьмём локальные координаты 1 , . . . , на базе иподнимем их до локальных координат в окрестности точки .Фиксируем произвольное (локальное) сечение ∶ → . В качестве возьмём время сдвига точек сечения вдоль векторных полей .0В построенных координатах ( , ) матрица формы имеет вид ( −так как = по построению. ),ΩОстаётся лишь заметить, что матрица Ω не зависит от координат , таккак = ∗ .Следствие 4.
В окрестности любой точки ∈ ( 2 , ) тотального пространства лагранжева расслоения ∶ ( 2 , ) / существуют локальные координаты 1 , . . . , , 1 , . . . такие, что471. координаты постоянны вдоль слоёв лагранжева расслоения,2. симплектическая структура имеет вид = ∑=1 ∧ .Доказательство. Так как = 0, сечение в доказательстве утверждения 9может быть выбрано лагранжевым (в некоторой окрестности точки ).2.2.2Решетка в кокасательном расслоенииПервый инвариант (почти) лагранжева расслоения ∶ ( 2 , ) / — эторешетка на базе расслоения. Эта решетка — ядро изотропии пуассоновадействия ∗ на ( 2 , ), то есть решетка состоит из всех ковекторов,тождественно действующих на соответствующем слое.Утверждение 10.
Рассмотрим почти лагранжево расслоение ∶( 2 , ) / , для которого пуассоново действие корректно определено(все векторные поля полны). Группа изотропии пуассонова действия(т.е. множество ковекторов, которые задают тождественное действиена соответствующем слое) является решеткой в кокасательном расслоении ⊂ ∗ .При доказательстве утверждения 10 мы воспользуемся следующим очевидным утверждением.Утверждение 11. Подмногообразие ⊂ ∗ является решеткой ранга на многообразии тогда и только тогда, когда выполнены следующие дваусловия:1.
подмногообразие трансверсально пересекает каждый слой по дискретной подгруппе ранга :Z ≃ ⊂ ∗ ≃ R2. любое локальное сечение является замкнутой 1-формой.Доказательство утверждения 10. Действие ∗ является транзитивнымв каждом слое, так как векторные поля порождают все касательное пространство ( ) в каждой точке ∈ .
Поэтому слой диффеоморфен48фактору группы R ≃ ∗ по стабилизатору произвольной точки ∈ .(Стабилизатор не зависит от точки , так как группа R абелева, а действие транзитивно.) Слой является -мерным многообразием, поэтомустабилизатор должен быть дискретной подгруппой в ∗ .При помощи теоремы о неявной функции несложно показать, что стабилизаторы гладко зависят от точки .
Поэтому множество ковекторов ,тождественно действующих на соответствующем слое, действительно является решеткой в кокасательном расслоении ∗ .Любое (локальное) сечение решетки замкнуто, так как ∗ = + ∗ (),а сдвиг вдоль сечения решетки переводит (почти) лагранжево расслоение всебя.Следствие 5. Если слой (почти) лагранжева расслоения компактен, тоон диффеоморфен тору T . Более общо, если все векторные поля полны,то слой расслоения диффеоморфен R− × T .В этой работе мы часто будем использовать следующее несложное утверждение.Утверждение 12.
Пусть — это решетка на многообразии . Тогда1. Факторкокасательное расслоение 0 ∶ ( ∗ ⇑, 0 ) → является корректно определенным лагранжевым расслоением. Симплектическаяструктура 0 индуцируется канонической 2-формой на кокасательном расслоении.2. Для любого сечения ∶ / ∗ ⇑ дифференциал является корректно определенной 2-формой на (дифференциал не зависитот выбора локального представителя формы ).2.2.3Препятствие к построению сеченияНапомним вкратце понятие препятствия к построению сечения. Подробнеео теории препятствий можно прочитать в [33] или в [26].49Рассмотрим клеточное пространство . В этом разделе через обозначена -я -мерная клетка пространства , а соответствующее характеристическое отображение обозначено через ∶ / .Пусть ∶ → — это локально тривиальное расслоение над клеточнымкомплексом с гомотопически -простым слоем (здесь гомотопическая-простота означает, что гомотопические группы (, 0 ) каноническиизоморфны для разных точек 0 ∈ ).Пусть над -остовом задано сечение ∶ → .
Тогда каждой клетке+1соответствует элемент ∈ ( ) гомотопической группы слоя над∗+1этой клеткой. Действительно, индуцированное расслоение (+1 ) → над каждой клеткой +1тривиально (локально тривиальное расслоение наддиском тривиально), поэтому для каждой (+1)-мерной клетки отображение порождает отображение ⋃︀+1 ∶ → .Говорят, что на многообразии задана система локальных коэффициентов, если каждой точке ∈ сопоставлена группа , и каждому пути из в , рассматриваемому с точностью до гомотопии с фиксированнымиконцами, соответствует гомоморфизм ∶ → .
Композиции путей, тамгде эта операция определена, при этом должна соответствовать композициягомоморфизмов.Если слой гомотопически -прост, то обозначим через { ( )} локальные коэффициенты, соответствующие -й гомотопической группе слоя. Таккак клетки односвязны (и даже стягиваемы), то группы ( ) над каждойклеткой могут быть канонически отождествлены. Следовательно, набор задает ( + 1)-мерную клеточную коцепь ∈ +1 (, { ( )}), называемуюпрепятствующей коцепью.Каждая препятствующая коцепь — коцикл. Класс (︀⌋︀ ∈ +1 (, { ( )})называется препятствием к распространению сечения на ( + 1)-остов.Отметим, что прибавление любой кограницы может быть реализовано сменой сечения на -остове без изменения его на ( − 1)-остове. А именно, верноследующее утверждение.Утверждение 13.
Пусть заданы локально тривиальное расслоение ∶ →50, и сечение ∶ → , которому соответствует препятствующая коцепь ∈ +1 (, { ( )}). Тогда для любой коцепи ˜ когомологичной препятствующей коцепи (т. е. ˜− = , где ∈ (, { ( )})) существуеттакое сечение ˜ ∶ → , совпадающее с на ( − 1)-остове −1 , что ˜является препятствующей коцепью для сечения ˜.Рассмотрим теперь (почти) лагранжево расслоение ∶ ( 2 , )решеткой ./ сЗамечание 4. Как множество, решетка находится в естественном взаимно-однозначном соответствии с локальными коэффициентами{1 ( )}.
В разделе 2.2.1 показано, что каждый слой кокасательного расслоения ∗ ≃ R транзитивно действует на соответствующем слое (почти)лагранжева расслоения . Поэтому группа изотропии этого действиянаходится в естественном взаимно-однозначном соответствии с фундаментальной группой 1 ( ). Поэтому группу первых препятствий к построениюсечений 2 (, {1 ( )}) мы обозначаем через 2 (, ).В частности, если ∶ (2 , ) / ( = 1, 2) — два почти лагранжевыхрасслоения с решеткой , то их препятствия лежат в одной и той же группе 2 (, ), а следовательно их можно сравнивать.Замечание 5. Отметим, что слой рассматриваемых (почти) лагранжевыхрасслоений диффеоморфен R × T− , а следовательно, он гомотопически-прост для любого .2.3Доказательство теорем классификацииВ этом разделе доказаны теоремы 9, 10 и 11, которые описывают классифицирующие инварианты для почти лагранжевых расслоений.
Ключевымфактом при доказательстве этих теорем становится наличие пуассонова действия — послойного действия кокасательного расслоения к базе ∗ на тотальном пространстве (почти) лагранжева расслоения. Чтобы подчеркнутьэто, мы вначале в разделе 2.3.1 формализуем понятие расслоения с послойным действием на нём другого расслоения, а затем в разделе 2.3.2 покажем,51что пуассоново действие определяет почти лагранжево расслоение с точностью до поднятия 2-формы с базы.
После этого в разделах 2.3.3 мы докажемтеоремы 9 и 10, а затем в разделе 2.3.4 — теорему 11.2.3.1Аффинные расслоенияПусть — решетка на многообразии . Мы будем говорить, что рассло/ , если каждыйение ∗ ⇑ послойно действует на расслоении ∶ слой ∗ ⇑ действует на соответствующем слое = −1 () расслоения∶/ .(Естественно, действие должно гладко зависеть от точки ).Определение 21. Локально тривиальное расслоение ∶ / мы будемназывать аффинным расслоение с присоединенным расслоением ∗ ⇑ , если на ∶ / задано послойное действие ∗ ⇑ , которое является свободным и транзитивным в каждом слое.Действие элемента ∈ ∗ ⇑ на точке ∈ ⊂ будем обозначать через ⋅ .Пример 6. Для любого почти лагранжева расслоения с решеткой пуассоново действие задает на тотальном пространстве структуру аффинногорасслоения с присоединенным расслоением ∗ ⇑ .Линейное аффинное пространство с фиксированной точкой каноническиэквивалентно присоединенному векторному пространству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
