Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Образ порождающей фундаментальной группы (T1 ×∙ Серия ,1R1 ) имеет вид⎛1 0⎞ ⎛⎞=(,).⎝0 1⎠ ⎝ ⎠Здесь , ∈ R. Необходимо, чтобы (, ) ≠ (0, 0).2 . Образ порождающей фундаментальной группы (T1 ×∙ Серия ,1R1 ) имеет вид⎛1 ⎞ ⎛0⎞=(,).⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠Здесь ∈ N, ∈ R, > 0.Две аффинные структуры 21 ,1 и 22 ,2 изоморфны тогда и толькотогда, когда существует матрица ∈ GL(2, Z) такая, что ( 22 ) =( 11 ).Остальные целочисленные аффинные цилиндры попарно неизоморфны.3. Любой полный целочисленный аффинный лист Мёбиуса M2 изоморфенодному из следующих:∙ Серия M2, . Образ порождающей фундаментальной группы1 (M2 ) имеет вид⎛1 ⎞ ⎛⎞=(,).⎝0 −1⎠ ⎝ 0 ⎠Здесь ∈ R, > 0, и равно 0 или 1.Все эти листы Мёбиусы попарно неизоморфны.Результаты собрано воедино в таблице 2.2.Замечание 6.
Для неориентируемых поверхностей 2 = 2 , т. е. элементыв трех правых столбцах порождают ориентируемое двулистное накрытиеповерхности.64Таблица 2.2: Полные целочисленный аффинные поверхностиБазаСерияℎR2T1 × R1T1 × R1M2T2T2K2R22,2,M2,T2,;,T2,;K20,;,———1( 0 −1 )( 0 )——1( 0 −1 )( 0 )——( 10 1 )( 0 )——( 10 1 )( 0 )—K2K2K2,;0,K22,;1,0 )( )( 10 −1011( 0 −1 )( 0 )( 10 1 )( 2 )(2−1)2( 10 2)1 )(12———10( 0 1 )( )( 10 01 )( 0 )( 10 01 )( −2 )———10( 0 1 )( 20 )10( 0 1 )( )—10( 0 1 )( 20 )——( 10 01 )( 20 )102( 0 1 )( 0 )( 10 01 )( )Оставшаяся часть раздела 2.4.3 посвящена доказательству теорем 12, 13,20 и 21.Схема доказательства теоремы 20. Любое полное целочисленное аффинное многообразие — это фактор R по действию фундаментальнойгруппы 1 ( ). Действие 1 ( ) свободно, и каждый элемент действует какаффинное преобразование (, ⃗) с целочисленной матрицей .Так как действие свободно, у любого элемента ∈ 1 ( ) существует собственный вектор с собственным значением 1.
Несложно показать, что в размерности = 2 у всех элементов ∈ 1 ( ) есть общий собственный векторс собственным значением 1. Дальше задача решается простым перебором.Вспомогательные утверждения. В этом разделе мы часто будем использовать следующие простые утверждения.Утверждение 20. Подгруппа ⊂ Aff ≃ GL (R) ⋋ R действует свободнона R тогда и только тогда, когда для любого элемента (, ⃗) ∈ уравнение ( − ) = −⃗ не имеет решений.Доказательство. Утверждение равносильно тому, что + ⃗ ≠ для любых ∈ R и (, ⃗) ∈ .Следствие 8. Если группа ⊂ Aff действует свободно, то линейные части всех элементов (, ⃗) ∈ имеют собственное значение 1.65Также нам понадобится следующее утверждение.Предложение 1.
Любой -мерный вектор = (1 , . . . , ) с целочисленными координатами взаимно-простыми в совокупности (т. е. для которыхне существует целого числа отличного от ±1, делящего все координаты вектора) можно включить в целочисленный базис.Доказательство. Доказательство легко проводится индукцией по размерности .∙ База. = 2. Дан вектор = (1 , 2 ) такой, что НОД(1 , 2 ) = 1. Припомощи алгоритма Евклида можно найти такие , ∈ Z, что 1 +2 =2. Вектор (−, ) искомый ⋃︀ 12 − ⋃︀ = 1.∙ Шаг.
Пусть ∈ Z — наибольшее число делящие первые компонент вектора = (1 , . . . , +1 ). По предположению индукции можно так заменить первые базисных векторов, что в новом базисе = (, 0, . . . , 0, +1 ). Задача сведена к уже разобранному случаю = 2.Доказательство теоремы 20.
Пусть ⊂ AGL(2, Z) — подгруппа, свободно действующая на R2 так, что факторпространство R2 ⇑ — многообразие (действие группы — это действие фундаментальной группы 1 ( 2 )на универсальном накрытии 2 ≃ R2 ). Нужно показать, что фактор R2 ⇑диффеоморфен одной из поверхностей из теоремы 20.Приведение элементов к каноническому виду. Для начала покажем, к какому виду может быть приведен каждый элемент группы .Утверждение 21. Для любого элемента ∈ существует такой целочисленный базис R2 , что в нем матрица линейного отображения имеетследующий вид:∙⎛1 ⎞, где ∈ Z, ≥ 0, если сохраняет ориентацию,⎝0 1 ⎠66∙⎛1 ⎞, где равно 0 или 1, если не сохраняет ориентацию.⎝0 −1⎠Для каждого элемента ∈ соответствующее число или определено однозначно.Доказательство.
Существование базиса. Возьмём собственный вектор 1оператора с собственным значением 1 и дополним его до базиса. Пусть в ). Если < 0 и сохрановом базисе 1 , 2 выполнено равенство = ( 10 ±1няет ориентацию, обратим 1 , чтобы получить > 0. Если не сохраняеториентацию, заменим 2 на 2 − (︀ 2 ⌋︀1 (где (︀⌋︀ — наибольшее целое число, непревосходящее ), чтобы сделать равным 0 или 1.Единственность. Пусть = и = − , где — единичная матрица. Элемент в правом верхнем углу ( или ) полностью определяетсянаибольшим целым числом , делящим все элементы матрицы . Если сохраняет ориентацию, то = .
Если не сохраняет ориентацию, то делитель и элемент либо оба четные ( = 0, = 2), либо оба нечетные( = = 1). Делитель является инвариантом, так как все элементы в новых координатах будут целочисленными комбинациями элементов встарых координатах.Следствие 9. След равен 1 + det().Напомним, что репером аффинного пространства называется пара: точкапространства и базис присоединенного векторного пространства.Определение 25. Назовем пару: точка аффинного пространства R и целочисленный базис присоединенного векторного пространства — целочисленным репером.Лемма 7.
Для любого элемента ∈ , не являющегося сдвигом, существует такой целочисленный репер R2 , что в нем имеет вид∙⎛⎛1 ⎞ ⎛0⎞⎞,, где ∈ Z, > 0 и ∈ R, ≠ 0, если сохраняет ориен⎝⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎠тацию,67∙⎛⎛1 ⎞ ⎛⎞⎞,, где ∈ R, ≠ 0, а равно 0 или 1, если не сохраняет⎝⎝0 −1⎠ ⎝ 0 ⎠⎠ориентацию.Доказательство. Рассмотрим базис из утверждения 21. Пусть векторнаячасть элемента имеет вид ( 12 ).
Перенесем начало координат либо в точку( −01 ⇑ ), если сохраняет ориентацию, либо в точку ( 20⇑2 ), если не сохраняет ориентацию.Ключевая лемма. Двумерный случай удается полностью разобратьблагодаря следующей лемме.Лемма 8. Существует такой базис R2 , в котором линейные части всехэлементов группы имеют верхнетреугольный вид.Доказательство. Случай, когда все элементы , сохраняющие ориентацию,являются сдвигами, тривиален — достаточно привести любой элемент, несохраняющий ориентацию, к верхнетреугольному виду.12Пусть 1 , 2 ∈ такие, что 1 = ( 10 1 ), ≠ 0, и 2 = ( 1121 22 ). Тогдаtr((1 2 )) = 11 + 22 + 21 . По следствию 9 каждое из этих чисел должнобыть равно 0 или 2.
Значит 21 = 0.Обозначим через подгруппу сдвигов в , а через — подгруппу элементов в , сохраняющих ориентацию. Тогда ⊲ ⊲ . Подгруппа сдвигов изоморфна Z или Z2 , так как все орбиты действия группы дискретны.В этом разделе элементы , и обозначены через , ℎ и соответственно.Утверждение 22. Группа может быть порождена не более чем четырьмя элементами: группа порождается не более чем двумя элементами, а группы ⇑ и ⇑ — каждая не более чем одним.
При этом, еслифактор R2 ⇑ ориентируем, то может быть порождена не более чемтремя элементами.Доказательство. Докажем, что либо = , либо ⇑ ≃ Z. Приведем матрицы всех элементов ∈ к верхнетреугольному виду. Тогда отображе-68ние, которое сопоставляет ℎ ∈ правый верхний элемент матрицы ℎℎ =⎛1 ⎞Ð→ ⎝0 1 ⎠задает гомоморфизм из в Z с ядром .Компактные аффинные многообразия. Докажем следующее утверждение.Лемма 9. Только тор и бутылка Клейна могут быть полными замкнутыми целочисленными аффинными поверхностями.Доказательство.
Фактор R2 по заведомо не может быть замкнутой двумерной поверхностью, отличной от 2 , RP2 , T2 и K2 : у фундаментальныхгрупп остальных поверхностей слишком много порождающих. Известно, чтофундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода задаётся 2 образующими 1 , . . . , , 1 , . . . , с единственным соотношением:−1 −1−11 1 −11 1 . . . = 1.Неориентируемые поверхности двулистно накрываются ориентируемыми поверхностями.Аффинная структура на многообразии задает погружение универ̃ в R (отображение развертки,сального накрывающего пространства см.
раздел 2.4.1). Сферу 2 в плоскость погрузить нельзя, поэтому сфера неможет быть аффинным многообразием. Проективная плоскость двулистнонакрывается сферой, поэтому она тоже не может быть аффинным многообразием.Некомпактные аффинные многообразия. Нужно доказать следующее утверждение.Лемма 10. Только плоскость, цилиндр и лист Мёбиуса могут бытьнекомпактными полными целочисленными аффинными двумерными многообразиями.69Плоскость соответствует случаю = ; цилиндр соответствует случаю,когда группа совпадает с и порождается одним элементом сохраняющим ориентацию; лист Мёбиуса — случаю, когда порождается однимэлементом, не сохраняющим ориентацию.Доказательство леммы 10. Вначале докажем, что группа циклическая.Утверждение 23. Если не является циклической, то фактор по действию — тор.Доказательство. Достаточно доказать, что факторпространство R2 ⇑ компактно.
Случай, когда порождена двумя элементами, тривиален. Остаетсяразобрать случай, когда порождена элементами ℎ и .Сначала докажем, что коммутативна. Рассмотрим целочисленныйаффинный базис из леммы 7 для элемента . Если сдвиг имеет вид(( 10 01 ), ( )), то коммутатор (︀, ⌋︀ = −1 −1 имеет вид (( 10 01 ), ( 0 )). Неравенство ≠ 0 противоречило бы предположению, что группа порожденаодним элементом .Факторпространство компактно, так как для любого вектора ( ) ∈ R2существует такой элемент ∈ , что ( ) = ( ˜˜ ), где 0 ≤ ˜ < и 0 ≤ ˜ < .++˜Элемент имеет вид (( 10 1 ), ( )), поэтому ( ˜ ) = ( + ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
