Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Расслоение ∶ ( 6 , ) → 3 является почти лагранжевым. Действительно, форма 0 + 0∗ корректно индуцируется на факторрасслоение,так как , — послойные симплектоморфизмы.ШАГ 3. Препятствие к построению симплектической структуры нетривиально. Действительно, если — такая 3-форма на 3 , что = ∗ , то∗∗∫ 3 = 6(≠ 0). Это вытекает из того, что (0 + 0 ) = 0 (6 ∧ ∧ ).Пример 8. Выпишем теперь список, в котором содержатся все лагранжевы расслоения над двумерными поверхностями с точностью до послойногосимплектоморфизма (см.
леммы 14, 15, и 16). Подчеркнем, что в этом списке будут послойно симплектоморфные между собой расслоения.Расслоения над тором T2 . Реализуем их как фактор подкрученного кокасательного расслоения. А именно, рассмотрим расслоение 0 ∶ (R4 , ) → R2 ,со стандартными координатами (, , , ), где , — координаты, постоянные на слоях, , — координаты в слое, а = ∧ + ∧ + ∧ .82Введем также два лагранжевых изоморфизма 1 , 2 , действующие на тотальном пространстве по следующим формулам:1 (, , , ) = (, , + 1, )(2.5.7)2 (, , , ) = (, , , + 1)(2.5.8)Расслоения с решеткой T2,0 ;0 .
Пусть , ℎ — лагранжевы изоморфизмы,задаваемые следующими формулами:(, , , ) = ( + 0 , , , +ℎ(, , , ) = ( + , + 0 , −0 + 0)000, − +)00(2.5.9)(2.5.10)Обозначим через4 ∶ (, ) → T2,0 ;00 ,0расслоение, получающееся при факторизации расслоения 0 ∶ (R4 , ) → R2по изоморфизмам 1 , 2 и , ℎ.Лемма 14. Любое лагранжево расслоение ∶ ( 4 , ) → T2 с соответствующей решеткой из серии T2,0 ;0 послойно симплектоморфно одномуиз расслоений4 ∶ (, ) → T2,0 ;00 ,0для некоторых ∈ R и 0 , 0 ∈ Z.Доказательство.
Докажем это утверждение за два шага.4ШАГ 1. ∶ (, ) → T2,0 ;0 — это лагранжево расслоение с со0 ,00) ∈ .ответствующей решеткой из серии T2,0 ;0 и препятствием ( 0 +ZДоказательство того, что построенное расслоение действительно являетсялагранжевым расслоением над тором со слоем тор, аналогично утверждению 29.Для того, чтобы убедиться, что у построенного лагранжева расслоениясоответствующая решетка — из серии T2,0 ;0 , достаточно рассмотреть действие изоморфизмов и ℎ на слое над началом координат .83Проверим, что у построенного расслоения препятствие совпадает с указанным в условии.
Для этого построим сечение над 1-остовом с препят0ствующей коцепью ( 0 ). В данном случае 1-остов может быть отождествлен с параллелограммом 1 2 3 , натянутым на вершины = (0, 0, 0, 0),1 = (0 , 0, 0, 0), 2 = (0 , 0 , 0, 0), 3 = (0, 0 , 0, 0) (сравни с параллелограммом из раздела 2.4.4).
Возьмем сечение над 1-остовом тора, которомусоответствуют отрезки 1 и 3 (над отрезками 1 и 3 соответственно). В таком случае над 2 3 сечение будет задаваться отрезком 3 3 , где3 = (0 , 0 , −0 , 0 ). Аналогично, над 1 2 сечение — отрезок 1 2 , где2 = (0 , 0 , 0, 0 + 0 ). Осталось заметить, что точки 2 и 3 отличаютсяв точности на (0, 0, 0 , 0 ).ШАГ 2. Докажем собственно утверждение леммы. Остается показать,4что расслоения ∶ (, ) → T2,0 ;0 реализуют все нетривиальные под0 ,04кручивания расслоения ∶ (, 0 ) → T2,0 ;0 . Действительно, − 0 =0 ,0 ∗ ( ∧ ) и ∫T2 ∧ = 0 0 .Расслоения с решеткой T2,;, . На этот раз определим лагранжевы изоморфизмы 1 , 2 по следующим формулам:1 (, , , ) = ( + , + , − , − )(2.5.11)2 (, , , ) = ( + , + , + , + )(2.5.12)для некоторых , ∈ R таких, что линейные комбинации + и + целочисленные. Иными словами, (, ) + (, ) = (0 , 0 ) ∈ Z2 .Обозначим через4 ∶ (, ) → T2,;,0 ,0расслоение, получающее при факторизации расслоения 0 ∶ (R4 , ) → R2 поизоморфизмам 1 , 2 и 1 , 2 .Лемма 15.
Любое лагранжево расслоение ∶ ( 4 , ) → T2 с соответствующей решеткой из серии T2,,, послойно симплектоморфно одномуиз расслоений4 ∶ (, ) → T2,;,0 ,0для некоторых , ∈ R.84Доказательство. Доказательство аналогично лемме 14. В данном случае4 ∶ (, ) → T2,;, — это лагранжево расслоение с соответствующей0 ,00решеткой из серии T2,,, и препятствием ( 0 ) ∈ .Расслоения над бутылкой Клейна с решеткой K2,0 ;,0 . Все лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна могут быть получены из некоторогорасслоения ∶ ( 2 × T2 , ) → 2 над параллелограммом 2 отождествлениемточек над противоположными сторонами при помощи некоторых послойныхсимплектоморфизмов и ℎ.База 2 — параллелограмм, натянутый на вершины (0, 0), (0 , 0),−( −2 0 , 0 ) и (0 + 2 0 , 0 ) для некоторых 0 , 0 ∈ R, , ∈ Z.
В стандартных координатах (, , , ), где , — координаты на базе, а , (mod 1)— координаты в слое, форма имеет вид ∧ + ∧ . Послойные симплектоморфизмы , ℎ задаются следующими формулами:( + + −2 0 , + 0 ,ℎ(, , , ) =0000+ 0 + ( 0 + 0 ), − + + 0 )(, , , ) = ( + ( − ) +(2.5.13)−0 + 0 , − + 0 , , ( − ) − ) (2.5.14)2для некоторых 0 , 0 ∈ Z.Обозначим через4 ∶ (, ) → K2,0 ;,00 ,0фактор расслоения ∶ ( 2 × T2 , ) → 2 по изоморфизмам и ℎ (точнее присклейке расслоений над боковыми сторонами параллелограмма 2 ).Доказательство следующей леммы аналогично доказательству леммы 14.Лемма 16. Любое лагранжево расслоение над бутылкой Клейна послойносимплектоморфно одному из расслоений4 ∶ (, ) → K2,0 ;,0 ,0 ,0для некоторых 0 , 0 ∈ R, , , 0 , 0 ∈ Z.4В данном случае ∶ (, ) → K2,0 ;,0 — это лагранжево расслое0 ,0ние с соответствующей решеткой из серии K2,0 ;,0 , у которого одна из0препятствующих коцепей равна ( 0 ) ∈ .85Необязательно рассматривать все возможные 0 , 0 , , , 0 , 0 .
По теореме 13 можно считать, что 0 , 0 > 0, > 0, равно 0 или 1, а четнопри = 1. По теореме 14 при = 0 достаточно рассмотреть 0 (mod 2) и0 (mod ) , а при = 1 достаточно рассмотреть 0 (mod 2) и 0 = 0.В частности, при ≠ 0 достаточно рассмотреть лишь конечный наборпар целых чисел 0 , 0 .2.6Классификация при помощи теории пучковВ этом разделе мы кратко опишем теоремы о классификации лагранжевыхрасслоений при помощи когомологий Чеха (когомологий с коэффициентамив пучке), доказанные Дюистермаатом в его работе [40] и использованныеМишачёвым в [49] (необходимые факты из теории пучков см.
в [11, том 3,глава 14]).Теорема 23 (Х. Дюистермаат, [40]). Пусть — решетка на многообразии . Два лагранжевых расслоения ∶ ( , ) → с соответствующей решеткой лагранжево эквивалентны тогда и только тогда, когдаим соответствует один и тот же элемент группы 1 (, Λ( ∗ ⇑ )) (1когомологий Чеха с коэффициентами в пучке Λ( ∗ ⇑ ) лагранжевых сечений расслоения ∗ ⇑ ).В частности, мы получаем следующее следствие, которое являетсялагранжевым аналогом следствия 1.Следствие 10.
Если лагранжево расслоение ∶ ( 2 , ) / с решет/ 2 , то оно лагранжевокой допускает лагранжево сечение ∶ эквивалентно факторкокасательному расслоению 0 ∶ ( ∗ ⇑, 0 )/ .Набросок доказательства теоремы 23. Любое лагранжево расслоение можно задать следующим образом. Рассмотрим произвольное покрытие { }∈базы , над каждым элементом которого существует лагранжево сечение ∶ → (например, стягиваемы). Благодаря наличию пуассоновадействия, выбор лагранжева сечения тривиализует лагранжево расслоение86(иными словами, будем считать следствие 10 уже доказанным). Поэтомулагранжево расслоения ∶ ( 2 , ) → полностью определяется наборомфункций склеек ∶ ∩ → ∗ ⇑ (т. е. ○ = ).Множество функций склеек образует коцикл некоторых когомологий базы (если перейти от первого сечения ко второму, а затем от второго третьего,то это всё равно, что перейти от первого сечения к третьему). Прибавлениекограницы соответствует смене набора сечений над элементами покрытия.Чтобы избавиться от неоднозначности при выборе покрытия остаётсявзять прямой предел по множеству открытых покрытий, упорядоченныхотносительно операции измельчения (вписывания).
Описанным элементамкогомологий базы, соответствующим различным покрытиям, в пределе соответствует искомый элемент когомологий базы с коэффициентами в пучкелагранжевых сечений расслоения ∗ ⇑ .Теорема 24 (Х. Дюистермаат, [40]). Для любой решетки на многообразии следующая последовательность пучков точна:0 ÐÐ→ Λ( ∗ ⇑ ) ÐÐ→ Γ( ∗ ⇑ ) ÐÐ→ 2 ÐÐ→ 0,где Γ( ∗ ⇑ )— пучок сечений фактор кокасательного расслоения ∗ ⇑(пучок решетчатых 1-форм на ), 2 — пучок замкнутых 2-форм на ,отображение — это естественное вложение, а — дифференциал. Этойкороткой последовательности соответствует длинная точная последовательность когомологий∗∗∗∗∗.
. . ÐÐ→ 0 (, Γ( ∗ ⇑ )) ÐÐ→ 0 (, 2 ) ÐÐ→ 1 (, Λ( ∗ ⇑ )) ÐÐ→ÐÐ→ 1 (, Γ( ∗ ⇑ )) ÐÐ→ 1 (, 2 ) ÐÐ→...Эта теорема следующим образом соотносится с описанной в этой работеклассификацией почти лагранжевых расслоений:∙ Группа 1 (, Γ( ∗ ⇑ )) задаёт множество всех почти лагранжевыхрасслоений с точностью до лагранжевой эквивалентности и поднятия2-формы с базы (это утверждение аналогично теореме 23 для лагранжевых расслоений).87∗∙ Ядро отображения 1 (, Γ( ∗ ⇑ )) Ð→ 1 (, 2 ) — это все почтилагранжевы расслоения с тривиальным препятствием к построению сечения (это утверждение становится более понятным, если проверить,что 1 (, 2 ) ≃ 3 (, R)).∙ Фактор 0 (, 2 )⇑ 0 (, Γ( ∗ ⇑ )) соответствует множеству нетривиальных подкручиваний данного лагранжева расслоения.
(Здесь следует воспользоваться простым фактом из теории когомологий Чеха:нулевые когомологии Чеха с коэффициентами в пучке есть в точности глобальные сечения этого пучка. В данном случае это 2-формы напространстве и решетчатые 1-формы для пучков 2 и Γ( ∗ ⇑ )соответственно.)88Глава 3Инвариантные слоения невырожденныхбигамильтоновых структур3.1Основные результаты главы 3В главе 3 мы исследуем интегрируемость некоторых расслоений, которые естественным образом возникают при рассмотрении пар согласованныхневырожденных скобок Пуассона на вещественных и комплексных многообразиях.Договоренность 2. ∙ В вещественном случае все рассматриваемые вэтом разделе объекты (многообразия, дифференциальные формы и т.д.)предполагаются гладкими (класса ∞ ).∙ В комплексном случае все рассматриваемые объекты комплексноаналитичны.Поскольку понятие невырожденной скобки Пуассона эквивалентно понятию симплектической структуры, мы перейдём от рассмотрения двух согласованных скобок Пуассона к рассмотрению двух дифференциальных 2-формна многообразии.
Кроме того, поскольку любую из форм можно заменить налинейную комбинацию рассматриваемой пары форм, то мы будем считать,что одна из форм невырождена, а вторая может быть как вырождена, таки невырождена.Определение 26. Пару дифференциальных 2-форм (0 , 1 ) на многообразии мы будем называть согласованными, если выполнены следующие89условия:1. Форма 0 невырождена.2. Обе формы 0 и 1 замкнуты:0 = 0,1 = 0.3. Тензор Нийенхейса поля эндоморфизмов = 0−1 1 равен нулю: = 0.Пару согласованных 2-форм мы также будем называть невырожденнойбигамильтоновой структурой.Замечание 7.
Подчеркнём, что в этой работе мы будем рассматриватьтолько упорядоченные пары согласованных структур — первая форма 0пары (0 , 1 ) всегда предполагается невырожденной.В этой работе мы будем исследовать инвариантные распределения, которые определяются следующим образом.Определение 27. Подпространство линейного пространства , на котором задана пара билинейных форм и , мы будем называть инвариантным, если оно инвариантно относительно действия группы автоморфизмовAut (, , ).Иногда вместо пары форм на линейном пространстве мы будем рассматривать пару, состоящую из билинейной формы и оператора . При этоммы будем отождествлять пару (, ) с парой билинейных форм ( ○ , ).Определение 28.
Распределение на многообразии , на котором задана пара согласованных дифференциальных 2-форм (0 , 1 ), мы будемназывать инвариантным, если каждое подпространство является инвариантным подпространством соответствующего касательного пространства( , 0 , 1 ).90Для краткости, мы будем говорить, что распределение является интегрируемым (соответственно неинтегрируемым) в некоторой точке, если оно является интегрируемым в некоторой окрестности этой точки (соответственноне является интегрируемым ни в какой окрестности этой точки).В этой работе мы исследуем интегрируемость инвариантных распределений в окрестности точки общего положения. Задача об интегрированииинвариантных распределений была поставлена в [3]. Для определения того,какие точки невырожденных бигамильтоновых структур мы будем рассматривать, нам потребуется следующие две теоремы из линейной алгебры.Теорема 25 (Теорема Жордана–Кронекера).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
