Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В двумерном случае достаточно найти интеграл ∫T2 .Любой решетчатой 1-форме на торе T2 соответствует 1-форма ˜ наплоскости R2 , которая под действием группы 1 (T2 ) переходит в себя с точностью до 1-формы вида + , где , ∈ Z (т.е. с точностью до глобального сечения решетки Z2 ).Утверждение 26. Пусть ˜ — 1-форма, для которой ( −1 )∗ ˜=˜ ++и (ℎ−1 )∗ ˜=˜ − − , где , , , ∈ Z.
Тогда для обеих серий решетокT2,;, и T2,; выполнено∫T2 = + + + (для второй серии и формально считаются равными 0).Для серии T2,;, все возможные , , , реализуются.Для серии T2,; решетчатая 1-форма с таким представителем ˜существует тогда и только тогда, когда = 0.Набросок доказательства. Интеграл ∫T2 равен интегралу от ˜ по параллелограмму, натянутому на вершины ( 00 ), ( ), ( ) и ( ++ ). Для подсчетапоследнего интеграла достаточно применить формулу Стокса.Единственное соотношение на , , , вытекает из условия ∗ ℎ∗ ˜ = ℎ∗ ∗ ˜.Препятствия к построению сечений. Найдем всевозможные препятствия к построению сечений 2 (, ). Для этого достаточно найти пространство коциклов 2 (, ) и затем профакторизовать его по множествукограниц ℬ 2 (, ).
Множество коциклов 2 (, ) находится как множество(препятствующих) коцепей ∈ 2 (, ) таких, что = 0. Для нахождениямножества кограниц ℬ 2 (, ) достаточно узнать, как меняется препятствующая коцепь ∈ 2 (, ) при изменении сечения над 1-остовом 1 (см.утверждение 13).Покажем, как это может быть сделано на примере решеток T2,; иK2,;, .77Решетка T2,; . Тор T2 с решеткой — это фактор плоскости R2 по действию подгруппы группы аффинных преобразований Aff2 , порожденнойэлементами=⎛⎛1 ⎞ ⎛0⎞⎞,,⎝⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎠ℎ=⎛⎛1 0⎞ ⎛⎞⎞,,⎝⎝0 1⎠ ⎝ 0 ⎠⎠где ∈ N, , ∈ R, , > 0.Решетка на торе T2 индуцируется стандартной целочисленной решеткойZ2 на плоскости R2 . Индуцированная решетка корректно определена, таккак у и ℎ целочисленные матрицы линейных частей.Фиксируем на торе T2 следующую структуру клеточного комплекса:представим тор в виде параллелограмма 1 2 3 , натянутого на вершины = ( 00 ), 1 = ( 0 ), 2 = ( ), 3 = ( 0 ), и со сторонами, отождествленными,как на рисунке 2.2 слева.m2n2m2n26O3+1 0−n 1am1n16O2b00 Om2n2m1 +m2n1 +n2-aa) Торm2n26Q3+1 0−m 1am1n1m1n100-Q2bbO1m1 −m2n1 +(m−δ)m2 +n2b OQ1-?am1n1б) Бутылка КлейнаРис.
2.2: Препятствие к построению сечений.Фиксируем теперь способ задания препятствующих коцепей ∈ 2 (T2 , )целочисленными векторами: отождествим коцепь ∈ 2 (T2 , ) и соответствующий ей элемент решетки в точке = ( 00 ), выберем в слое некоторый базис.Утверждение 27. В данном случае)︀[︀⌉︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ ⎞22 (T , ) = ⌋︀⋁︀, ∈ Z⌈︀ ,⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀Поэтому 2 (T2 , ) ≃ Z ⊕ Z .[︀)︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ 0 ⎞⌉︀ℬ (T , ) = ⌋︀⋁︀ ∈ Z⌈︀ .⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀⌊︀]︀ 2782Доказательство.
Так как 3-мерных клеток нет, то)︀[︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ ⎞⌉︀ (T , ) = (T , ) = ⌋︀⋁︀, ∈ Z⌈︀ ,⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀2222поэтому для нахождения 2 (T2 , ) остается найти пространство кограницℬ 2 (T2 , ).Для нахождения пространства кограниц ℬ 2 (T2 , ) возьмем два сечения1 , ˜1 над 1-остовом 1 и найдем разность соответствующих препятствующих коцепей. Мы будем использовать следующее понятие.
Пусть — эторешетчатая 1-форма на пути ∶ = (︀0, 1⌋︀ → с началом и концом в точке∗ ⇑ ). Поднимем решетчатую 1-форму , (т. е. ∶ → ∗ ⇑ , () ∈ ()˜ ∶ → ∗ вдоль путирассматриваемую как сечение ∗ ⇑ , до сечения . Разность = ˜ (1) − ˜ (0) ∈ является элементом решетки в точке .В дальнейшем мы будем говорить, что решетчатая 1-форма изменяетсяна (элемент решетки) вдоль пути .Сечения 1 , ˜1 отличаются на решетчатую 1-форму на 1-остове 1 .1Предположим, что форма изменяется на ( 1 ) вдоль ребра = 1 и2изменяется на ( 2 ) вдоль ребра = 3 .Найдем разность препятствующих коцепей для 1 и ˜1 .
Для этого достаточно описать изменение формы вдоль 2 . Найдем изменения 1 , 2 ∈ формы вдоль путей 1 2 и 3 2 соответственно, а затем возьмем разность 1 и 2 .Для примера найдем изменение формы вдоль ребра 3 2 . Вначале20разберем случай ( 2 ) = ( 0 ). Заметим, что ребро 3 2 отождествляется сребром = 1 при помощи преобразования = (( 10 1 ), ( 0 )). Преобразованию соответствует линейное преобразование кокасательной плоскости−1 1 0 ). Поэтому, если форма ∗ R ≃ R с матрицей ()∗ =(( 10 1 ) ) = ( −111изменяется на ( 1 ) вдоль 1 , то она изменяется на ( −1 +1 ) вдоль 3 2 .2Если сечения 1 и ˜1 отличаются в точке 3 на ( 2 ), то форма отличает1 +2) вдоль 3 2 . Остальные вычисления довольно нагляднося на ( −1 +1 +2продемонстрированы на рисунке 2.2 слева.В итоге получается, что сечениям 1 и ˜1 соответствует различающая790 ).коцепь ( 1Решетка из серии K2,;, . База снова фактор плоскости по действиюгруппы ⊂ Aff2 .
На этот раз — бутылка Клейна K2 , а = ̂︂ =⎛⎛1 ⎞ ⎛ ⎞⎞,,⎝⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎠ℎ=⎛⎛1 ⎞ ⎛⎞⎞,]︁ ,⎝⎝0 −1⎠ ⎝ 0 ⎠⎠где = −2 , ∈ Z, ≥ 0, , ∈ R, , > 0, равно 0 или 1Рассуждения аналогичны предыдущему примеру. В данном случае бутылка Клейна может быть отождествлена с параллелограммом 1 2 3 ,натянутым на вершины = ( 00 ), 1 = ( 0 ), 2 = ( + ), 3 = ( ), исо сторонами, отождествленными, как на рисунке 2.2 справа (при этом2 1 = ℎ(3 )).Утверждение 28. 1. Для решетки из серии K2,;0, имеет местоизоморфизм 2 (K2 , ) ≃ Z2 ⊕ Z .
Точнее)︀[︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ ⎞⌉︀ (K , ) = ⌋︀⋁︀, ∈ Z⌈︀ ,⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀2)︀[︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ 2 ⎞⌉︀ℬ (K , ) = ⌋︀⋁︀, ∈ Z⌈︀ .⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀2222. Для решетки из серии K2,;1, имеет место изоморфизм 2 (K2 , ) ≃ Z2 . Точнее[︀)︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛2⎞⌉︀⋁︀, ∈ Z⌈︀ .ℬ (K , ) = ⌋︀⌉︀⌉︀⎝⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀[︀)︀⌉︀⌉︀⌉︀⌉︀⎛ ⎞⋁︀, ∈ Z⌈︀ , (K , ) = ⌋︀⌉︀⌉︀⎝ ⎠⌉︀⌉︀]︀ ⌊︀2222Доказательство. В данном случае различающая коцепь двух сечений 1 , ˜122) (см. рис. 2.2 справа).равна ( (−)2 −1Действительно, 3 2 = (1 ) и 2 1 = ℎ(3 ). Поэтому фор121 0ма изменяется на ( 2 ) + ( − 1 )( 1 ) вдоль 3 2 и изменяется на21 0122(1 ) − ( − −1 )( 2 ) вдоль 1 2 .
Таким образом подгруппа ℬ (K , ) ⊂ 2 (K2 , ) ≃ Z ⊕ Z порождается векторами (2, − ) и (0, −). Если = 0,то эта подгруппа изоморфна 2Z ⊕ Z ⊂ Z ⊕ Z. Если же = 1, то подгруппаизоморфна 2Z ⊕ Z ⊂ Z ⊕ Z.802.5Примеры лагранжевых и почти лагранжевыхрасслоенийВ этом разделе приведен пример нетривиального почти лагранжева расслоения (см. пример 7), а также построен полный список лагранжевых расслоений над двумерными поверхностями с точностью до послойного симплектоморфизма (см. пример 8).Пример 7.
Приведем пример почти лагранжева расслоения с нетривиальным препятствием к построению симплектической структуры (см. определение 19). А именно, построим такое расслоение ∶ ( 6 , ) → T3 над торомT3 , что тотальное пространство 6 компактно и = ∗ для некоторый 3формы , задающей ненулевой элемент 3-когомологий базы (︀⌋︀ ∈ 3 (T3 , R)(см. утверждение 29). Тем самым мы докажем, что существуют решетка на торе T3 и препятствие к построению сечения ∈ 2 (T3 , ), которые немогут быть реализованы никаким лагранжевым расслоением (см. лемму 3).Реализуем это расслоение как фактор подкрученного кокасательного расслоения. А именно, рассмотрим расслоение 0 ∶ ( ∗ R3 , 0 + 0∗ ) → R3 состандартными координатами (, , , , , ), где , , — координаты, постоянные на слоях, , , — координаты в слое, 0 = ∧+ ∧ + ∧,а = 2 ∧ + 2 ∧ + 2 ∧ .
Введем далее лагранжевы изоморфизмы 1 , 2 , 3 и 1 , 2 , 3 , действующие на тотальном пространстве ∗ R3по следующим формулам:1 (, , , , , ) = (, , , + 1, , )(2.5.1)2 (, , , , , ) = (, , , , + 1, )(2.5.2)3 (, , , , , ) = (, , , , , + 1)(2.5.3)1 (, , , , , ) = ( + 1, , , , + , − )(2.5.4)2 (, , , , , ) = (, + 1, , − , , + )(2.5.5)3 (, , , , , ) = (, , + 1, + , − , )(2.5.6)81Обозначим через ∶ ( 6 , ) → 3 расслоение, получающееся при факторизации расслоения 0 ∶ ( ∗ R3 , 0 + ∗ ) → R3 по описанным изоморфизмам , .Утверждение 29. Построенное расслоение ∶ ( 6 , ) → 3 — это почти лагранжево расслоение с нетривиальным препятствием к построению симплектической структуры.Доказательство.
Доказательство утверждения разобьем на три шага.ШАГ 1. Построенное расслоение ∶ ( 6 , ) → 3 — это локально тривиальное расслоение над тором T3 со слоем T3 . Действительно, база является тором, так как изоморфизмы действуют на R3 как единичные сдвигивдоль осей. Каждый слой является тором, так как в нем отождествляютсяв точности координаты (, , ), отличающиеся на целочисленные вектора.Чтобы в этом убедиться, достаточно явно проверить, что каждый коммутатор (︀ , ⌋︀ = −1 −1 переводит любую точку (, , , , , ) в точку(, , , + ˜1 , + ˜2 , + ˜3 ) для некоторых целых ˜1 , ˜2 , ˜3 (зависящихот и ). Расслоение локально тривиально, так как фактор базы — многообразие.ШАГ 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
