Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Сечение 1 продолжается с 0 на 3 тогда и только тогда, когда отображение2 (2 , 2 ) → {1 ( )} тривиально. Рассмотрим нижнюю строчку диаграммы (2.3.1). Легко видеть, что отображение∗ ○ (3 ⋃︀3 )∗ ○ ∶ 3 (3 , 3 ; Z) → {1 ( )}есть в точности ограничение клеточной коцепи ∶ 3 (, Z) → {1 ( )} наподпространство3 (3 , 3 ; Z) ↪ 3 ( 3 , 2 ; Z) ≃ 3 (, Z).По построению = 0, поэтому композиция гомоморфизмов в нижней строчке тривиальна. Но отображение ∗ является изоморфизмом, поэтому отображение 2 (2 , 2 ) → {1 ( )} тривиально.
Значит, над сферой 3 ≃ 2существует сечение.Случай > 3. Для того, чтобы построить сечение над ≃ −1 , разобьем сферу −1 на два полушария −1 ( = 1, 2). Над каждым из полушарий сечение существует (расслоение над −1 тривиально). Кроме того, над58“экватором” 1−1 ∩ 2−1 разность сечений задает элемент гомотопическойгруппы −2 ( ), которая тривиальна ( ≃ T × R− ). Поэтому сечения надполушариями −1 можно склеить воедино, изменив их в малой окрестности“экватора” 1−1 ∩ 2−1 .Теорема 18 полностью доказана. Тем самым доказана и теорема 11.2.4Классификация лагранжевых расслоений наддвумерными поверхностямиВ этом разделе доказаны теоремы 13 и 14 о классификации лагранжевых расслоений с компактными тотальными пространствами над бутылкойКлейна с точностью до лагранжевой эквивалентности.Теорема 13, которая описывает решетки на бутылке Клейна, доказанав разделе 2.4.3.
Кроме того, в разделе 2.4.3 классифицированы все полныецелочисленные аффинные поверхности. В разделе 2.4.1 показано, что понятие решетки максимального ранга эквивалентно понятию целочисленнойаффинной структуры, и что любая целочисленная аффинная структура назамкнутой двумерной поверхности полна. В разделе 2.4.2 описаны свойствафундаментальной группы бутылки Клейна, которые потребуются нам придоказательстве теоремы 13.Теорема 14, которая описывает остальные инварианты почти лагранжевых расслоений (нетривиальные подкручивания и препятствия к построению сечения), доказана в разделе 2.4.4. В этом разделе используются следующие обозначения:∙ Через (, ⃗) обозначено аффинное преобразование ⃗/ ⃗ + ⃗.∙ Через Aff обозначена группа аффинных преобразований -мерногопространства R .∙ Через AGL(2, Z) обозначена группа аффинных преобразований (, ⃗) сцелочисленной матрицей .592.4.1Целочисленные аффинные многообразияГоворят, что на многообразии задана аффинная структура, если существует атлас ( , ), у которого все функции склейки −1 являютсяаффинными преобразованиями.
Аффинная структура называется целочисленной, если все функции склейки −1 являются аффинными преобразованиями / + ⃗ с целочисленной матрицей (т. е. все функции склейки−1 лежат в группе GL (Z) ⋋ R ⊂ Aff ).Определение 22. Многообразие с аффинной структурой называется аффинным многообразием. Многообразие с целочисленной аффинной структурой называется целочисленным аффинным многообразием.
Аффинный диффеоморфизм называется изоморфизмом.Любое многообразие может служить базой лагранжева расслоения (кокасательное расслоение является лагранжевым расслоением). Если предположить, что тотальное пространство компактно, то ситуация изменится.Лемма 5. Многообразие может служить базой лагранжева расслоения ∶ ( 2 , ) / с компактным тотальным пространством ( 2 , )тогда и только тогда, когда является целочисленным аффинным многообразием.Причина проста: целочисленная аффинная структура и решетка (максимального ранга) — это одно и то же.Утверждение 15.
Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между целочисленными аффинными структурами и решетками(максимального ранга).Доказательство. Решетка порождается дифференциалами локальных целочисленных аффинных координат .В [48] Дж. Милнор получил результат, который может быть переформулирован следующим образом.Теорема 19. Среди компактных ориентируемых двумерных поверхностейтолько на торе T2 существует аффинная структура.60Следствие 6. Компактное целочисленное аффинное многообразие — этолибо тор T2 , либо бутылка Клейна K2 .Аффинную структуру на многообразии можно естественным обра̃ .
Еслизом индуцировать на произвольное накрывающее пространство аффинное многообразие односвязно, то его можно изоморфно погрузить в аффинное пространство R — достаточно изоморфно отобразитьокрестность произвольной точки ∈ в окрестность произвольной точки ∈ R , а затем продолжить отображение вдоль путей. Локальный изомор/ R между односвязным аффинным многообразием ифизм ∶ аффинным пространством R называется отображением развертки. Отображение развертки определено однозначно с точностью до аффинного преобразования пространства R .Определение 23. Аффинное многообразие называется полным, если егототальное пространство изоморфно R .Из [42] несложно вывести следующее утверждение.Лемма 6. Любая целочисленная аффинная структура на торе T полна.Следствие 7.
Любая целочисленная аффинная структура на компактнойдвумерной поверхности полна.Доказательство. Целочисленная аффинная поверхность — это либо тор T2 ,либо бутылка Клейна K2 . Бутылка Клейна двулистно накрывается тором.2.4.2Фундаментальная группа бутылки КлейнаВ разделе 2.4 используется ряд простых утверждений про фундаментальнуюгруппу бутылки Клейна.Утверждение 16. Фундаментальная группа 1 (K2 ) — это группа с двумяпорождающими , ℎ и одним соотношением −1 ℎℎ = .61(2.4.1)Доказательство.
Напомним, что для любого клеточного комплекса с одной0-мерной клеткой 1-мерные клетки задают порождающие элементы фундаментальной группы, а 2-мерные клетки – связывающие их соотношения(см., например, [22]) . Бутылка Клейна может быть реализована как четырёхугольник со сторонами, склеенными как на рисунке 2.1.Определение 24.
Порождающие , ℎ ∈ 1 ( 2 ), связанные единственнымсоотношением (2.4.1) мы будем называть стандартными порождающими.Утверждение 17. Пусть , ℎ — стандартные порождающие 1 (K2 ). Тогда любой элемент ∈ 1 (K2 ) единственным образом представляется в виде ℎ . Отображение (, ) → устанавливает изоморфизм между 1 (K2 )и полупрямым произведением Z ⋋ Z со следующей групповой операцией:(, )(, ) = ( + (−1) , + ).Доказательство. Из соотношения (2.4.1) вытекает, что ℎ = ℎ(−1) где, ∈ Z.
Поэтому отображение (, ) → является гомоморфизмом. Остаётсядоказать, что у отображения нет ядра, т. е. что ℎ ≠ .Достаточно доказать, что ℎ ≠ , так как в соотношении (2.4.1) суммарнаястепень равна 0. Сошлемся на следующий факт [13, теорема 4.10]: в группе, порождённой элементами 1 , .
. . , , связанными единственным циклически несократимым соотношением, содержащим , каждое нетривиальное соотношение должно содержать . (Слово называется несократимым, если в нем не встречается подряд символов и −1 , и называетсяциклически несократимым, если оно несократимо, и первый и последнийсимвол не являются обратными друг к другу.)Опишем всевозможные пары стандартных порождающих.Утверждение 18. Пусть , ℎ — стандартные порождающие 1 (K2 ).
Другая пара элементов 1 , ℎ1 ∈ 1 ( 2 ) является стандартными порождающими 1 (K2 ) тогда и только тогда, когда ℎ1 = ℎ1 , 1 = ℎ 2 , где1 = ±1, 2 = ±1, ∈ Z.62Доказательство. (⇐) Несложно проверить, что 1−1 ℎ1 1 ℎ1 = , и что пара1 , ℎ1 порождает всю группу 1 (K2 ) (элементы и ℎ выражаются через 1и ℎ1 ).(⇒) Пусть 1 = (1 , 1 ), ℎ1 = (2 , 2 ).
Из соотношения (2.4.1) следует, что1 = 0. Наконец, 1 = ±1 и 2 = ±1, так как любой элемент должен представляться в виде ℎ1 1 .Выясним теперь, какие элементы 1 (K2 ) сохраняют ориентацию.Утверждение 19. Если , ℎ — стандартные порождающие 1 (K2 ), тоэлемент не сохраняет ориентацию, а элемент ℎ сохраняет.Доказательство. Заметим, что при склейке сторон четырёхугольника, какна рисунке 2.1, элемент ∈ 1 (K2 ) не сохраняет ориентацию, а ℎ сохраняет.Утверждение 19 теперь легко следует из утверждения 18.2.4.3Полные целочисленные аффинные поверхностиВ этом разделе классифицированы все полные целочисленные аффинныеповерхности с точностью до изоморфизма.Теорема 20. Любая полная целочисленная аффинная поверхность диффеоморфна одной из следующих: плоскость R2 , цилиндр T1 × R1 , лист МёбиусаM2 , тор T2 и бутылка Клейна K2 .Теорему 20 несложно вывести из теоремы 19, однако для полноты изложения мы приведем независимое доказательство этого факта.Целочисленные аффинные структуры на торе T2 и бутылке Клейна K2описаны соответственно в теоремах 12 и 13.
Полные целочисленные аффинные структуры на остальных поверхностях описаны в следующей теореме(каждая полная целочисленная аффинная поверхность 2 представлена какфактор плоскости R2 по действию фундаментальной группы 1 ( 2 ).)Теорема 21. 1. Существует только одна полная целочисленная аффинная плоскость R2 (это плоскость с естественной аффинной структурой).632. Любой полный целочисленный аффинный цилиндр T1 × R1 изоморфенодному из следующих:2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
