Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Особые точки типа центр-центр, центр-седло и седло-седлосложности 1 любой интегрируемой гамильтоновой системы с двумя степенями свободы ( 4 , , , ) устроены следующим образом.1. Существует ровно одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, особенность типа центр-центр. Бифуркационная диаграмма вокрестности точки типа центр-центр является объединением двухкривых, выходящих из этой точки. Круговая молекула особенностиимеет вид − , при этом метка равна 0.2.

Любая особенность типа центр-седло лиувиллево эквивалентна прямому произведению седлового атома и эллиптического атома . Вокрестности точки, являющейся образом точки типа центр-седло,бифуркационная диаграмма является объединением кривой, проходящей через эту точку, и другой кривой, выходящей из этой точки.Круговая молекула получается добавлением атома на конце каждого ребра соответствующего седлового атома, все метки равны ∞.3. Существует ровно 4 особенности типа седло-седло сложности 1 (т.е.содержащие ровно одну особую точку на слое). Эти особенности полностью различаются своими круговыми молекулами.При анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) возникает толькодве особенности типа седло-седло — особенность типа прямого произведения × и особенность типа почти прямого произведения ( × 2 )⇑Z2 . В этомполупрямом произведении группа Z2 действует на каждом из сомножителей как центральная симметрия.

Это те же особенности, что возникают прианализе классического случая Ковалевской. Две другие особенности типаседло-седло (вида ( × 1 )⇑Z2 и (2 × 2 )⇑Z2 × Z2 ) в классическом случаеКовалевской и в случае Ковалевской на алгебре Ли so(4) не возникают.1.5Бигамильтоновы структурыОпределение 13. Две скобки Пуассона , ℬ на многообразии называются согласованными, если любая их линейная комбинация с постоянными33коэффициентами + ℬ тоже является скобкой Пуассона.Пару согласованных скобок Пуассона на многообразии также называютбигамильтоновой структурой. Динамическую систему ˙ = на многообразии , на котором заданы две согласованные скобки Пуассона и ℬ,называют бигамильтоновой, если она является гамильтоновой сразу относительно обеих скобок Пуассона и любой их нетривиальной линейной комбинации.Если одна из скобок Пуассона является невырожденной, то вместо пары,состоящей из двух скобок Пуассона (, ℬ), можно рассмотреть пару, состоящую из скобки Пуассона ℬ и поля эндоморфизмов = ℬ −1 , связывающегоэти две скобки.

Этот оператор называется оператором рекурсии. Известно, как можно описать согласованность двух скобок в терминах оператора(см., например, [3]).Определение 14. Тензор Нийенхейса поля эндоморфизмов задаётсяформулой (, ) = (︀ , ⌋︀ − (︀ , ⌋︀ − (︀, ⌋︀ + 2 (︀, ⌋︀для любых векторных полей и .Утверждение 5. Пусть скобка Пуассона ℬ на многообразии невырождена. Тогда другая скобка Пуассона на согласована со скобкой ℬ тогдаи только тогда, когда равен нулю тензор Нийенхейса поля эндоморфизмов = ℬ −1 .34Глава 2Классификация лагранжевыхрасслоений2.1Основные результаты главы 2Лагранжево расслоение — это локально тривиальное расслоение ∶( 2 , ) / , тотальное пространство ( 2 , ) которого является симплектическим многообразием, и все слои которого являются лагранжевымиподмногообразиями этого симплектического многообразия.В этом разделе описана классификация всех лагранжевых расслоений скомпактными и связными слоями над двумерными поверхностями с точностью до послойного симплектоморфизма, тождественного на базе (т.е.

сточностью до лагранжевой эквивалентности).Ранее Х. Дюистермаатом в работе [40] были введены инварианты, полностью определяющие лагранжевы расслоения –– решетка на базе лагранжеварасслоения и лагранжев класс Черна. Эти инварианты достаточно сложны для вычисления, тем не менее К. Н. Мишачёву, используя результаты,полученные Дюистермаатом, в работе [49] удалось классифицировать вселагранжевы расслоения над ориентируемыми двумерными поверхностями.При этом Мишачёв показал, что среди двумерных поверхностей только двумерный тор и бутылка Клейна могут быть базой лагранжева расслоения.В главе 2 диссертации классифицированы все лагранжевы расслоениянад бутылкой Клейна (см. теоремы 13 и 14), и тем самым полностью решеназадача классификации лагранжевых расслоений над двумерными поверхно35стями.При этом мы используем несколько другой набор инвариантов, чем тот,что был использован в работе Мишачёва [49].

А именно, показано, чтолагранжево расслоение определяется с точностью до лагранжевой эквивалентности и поднятия 2-формы с базы своей решеткой на базе и первымпрепятствием к построению сечения (см. теорему 9 и замечание 2). Тем неменее, не все решетки и препятствия к построению сечения могут быть реализованы лагранжевыми расслоениями (см. пример 7). Поэтому в этой работе введён более широкий класс почти лагранжевых расслоений. Показано,что так же, как и лагранжевы расслоения, почти лагранжевы расслоенияопределяются этими двумя инвариантами с точностью до лагранжевой эквивалентности и поднятия 2-формы с базы (см.

теорему 9); установлено, когда поднятие 2-формы с базы не меняет почти лагранжево расслоение (см.теорему 10) и доказано, что любые решетка и препятствия к построению сечения могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением(см. теорему 11).Результаты этой главы опубликованы в работе [62].Сформулируем теперь основные полученные результаты. Прежде всего дадим определение почти лагранжевых расслоений. Они отличаются отлагранжевых тем, что форма на тотальном пространстве не обязательно замкнута.Определение 15. Локально тривиальное расслоение ∶ ( 2 , ) → мыбудем называть почти лагранжевым расслоением, если на тотальном пространстве 2 задана 2-форма , удовлетворяющая следующим трем условиям:1.

Форма невырождена.2. Ограничение формы на каждый слой тождественно равно нулю:⋃︀ ≡ 0.3. = ∗ для некоторой 3-формы на базе .36Почти лагранжево расслоение является лагранжевым тогда и только тогда, когда = 0.Пример 5. Важный способ получения новых почти лагранжевых расслоений — поднятие 2-формы с базы. Для любого почти лагранжева расслоения ∶ ( 2 , )ение/ и для любой 2-формы на базе подкрученное рассло ∶ ( 2 , + ∗ )/ также является почти лагранжевым. Подкрученное лагранжево расслоение является лагранжевым тогда и только тогда, когда подкручивающая2-форма замкнута: = 0.В этой работе мы будем рассматривать (почти) лагранжевы расслоенияс точностью до следующего отношения эквивалентности./ — два почти лагранжевыхОпределение 16. Пусть ∶ (2 , )расслоения над одной и той же базой .

Послойный диффеоморфизм ∶ (12 , 1 ) / (22 , 2 ), тождественно действующий на базе и переводящийодну форму в другую ( ∗ 2 = 1 ), называется лагранжевой эквивалентностью./ ( 2 , ) являетсяДругими словами, отображение ∶ (12 , 1 )22лагранжевой эквивалентностью тогда и только тогда, когда следующая диа-грамма коммутативна:(12 , 1 )1/ ( 2 , )222Кратко опишем теперь два инварианта почти лагранжевых расслоений,которые потребуются нам при формулировке основных теорем. Первый инвариант — решетка на базе — был введён для лагранжевых расслоенийХ.

Дюистермаатом в работе [40].Определение 17. Решеткой ранга на многообразии мы будем называть подрасслоение кокасательного расслоения ∗ такое, что371. Каждый слой решетки является подгруппой ∗ по сложению.2. Для любой точки ∈ существуют такие локальные координаты1 , . . . , , что решетка порождается (в каждом кокасательном пространстве как подгруппа по сложению) ковекторами 1 , . . . , .Замечание 1. В работе [40] рассматривались только решетки ранга иони назывались решетками в ∗ . В работах [49] и [62] решетками ранга назывались подрасслоения ∗ , пересечение которых с каждым слоемкокасательного расслоения является дискретной подгруппой ранга :Z ≃ ⊂ ∗ ≃ R .Решетки в смысле определения 17 назывались замкнутыми решетками ранга, потому что любое их (локальное) сечение является замкнутой 1-формой.Тем не менее, все рассматриваемые в этой работе (а также в работах [49]и [62]) решетки являются замкнутыми, поэтому мы будем для краткостиназывать их просто решетками.Две решетки на и ′ изоморфны тогда и только тогда, когда существуетдиффеоморфизм ∶ → ′ , дифференциал которого переводит однурешетку в другую.Утверждение 6.

Любому (почти) лагранжеву расслоению ∶ ( 2 , ) / с компактными и связными слоями соответствует решетка ранга набазе .В разделе 2.2.2 доказано утверждение 6 и описаны основные свойстварешеток, которые потребуются в этой работе.Договоренность 1. В этой работе мы будем рассматривать только телагранжевы и почти лагранжевы расслоения, для которых выполняютсяследующие два условия:1. все слои рассматриваемых расслоений связны,2. решетка на базе корректна определена.38Оба условия автоматически выполнены, если слои связны и компактны.Второй инвариант — первое препятствие к построению сечения — является известным инвариантом, используемым в алгебраической топологии.

Подробное описание этого инварианта дано в разделе 2.2.3. Для почти лагранжевых расслоений это препятствие — это некоторый класс вторых когомологий с локальными коэффициентами ∈ 2 (, {1 ( )}), который равеннулю тогда и только тогда, когда существует сечение над 2-остовом базы.Существует естественное взаимно-однозначное соответствие между точкамирешетки и элементами локальных коэффициентов 1 ({ }) (см. замечание 4).

Поэтому мы обозначаем группу первых препятствий к построениюсечений через 2 (, ), а не через 2 (, {1 ( )}).Теорема 9. Для любых двух почти лагранжевых расслоений ∶(2 , ) → ( = 1, 2) с одинаковыми соответствующими решетками ⊂ ∗ и препятствиями к построению сечения ∈ 2 (, ) существует такая 2-форма на базе , что расслоение 1 ∶ (12 , 1 + 1∗ ) → лагранжево эквивалентно второму расслоению 2 ∶ (22 , 2 ) → .Другими словами, следующая диаграмма коммутативна:(12 , 1 + 1∗ )1/(22 , 2 )2В частности, если препятствие к построению сечения тривиально, то есть,если расслоение допускает сечение, мы получаем следующее важное следствие из теоремы 9./ сСледствие 1. Если почти лагранжево расслоение ∶ ( 2 , )/ ( 2 , ), то оно лагранжерешеткой допускает сечение ∶ во эквивалентно подкрученному факторкокасательному расслоению 0 ∶( ∗ ⇑, 0 + 0∗ (∗ )) / .Для лагранжевых расслоений утверждение аналогичное теореме 9 в терминах теории пучков доказано Х.

Характеристики

Список файлов диссертации