Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Фоменко в работах [14, 15] и использованный ими7при интегрировании многомерных аналогов интегрируемых систем, описывающих динамику твёрдого тела, на алгебрах Ли, также может быть переформулирован в бигамильтоновых терминах. Критерий полноты семействафункций, построенных с помощью бигамильтонова подхода, был получен вработах А. В. Болсинова [1,2]. Некоторые методы изучения особенностей интегрируемых систем с помощью бигамильтоновой техники были предложеныв работах [36] и [38].Недавно, используя теорему Жордана–Кронекера о нормальной формепары кососимметрических билинейных форм на конечномерном линейномпространстве, И. С.
Захаревичем [60], А. Панасюком [52] и Ф. Туриэлем[57–59] был получен ряд результатов о локальном устройстве пары согласованных скобок Пуассона. Несмотря на эти важные результаты, до сих поростаются открытыми некоторые вопросы о локальном и глобальном устройстве бигамильтоновых структур. В частности, с точки зрения поиска новых методов интегрирования гамильтоновых систем представляет интересвопрос о поиске слоений Лиувилля, которые можно описать в терминах самой бигамильтоновой структуры, или, более общо, о поиске интегрируемыхраспределений, естественным образом связанных с бигамильтоновой структурой.В диссертации исследована интегрируемость инвариантных распределений, которые определяются тем, что каждый их слой является подпространством, инвариантным относительно группы автоморфизмов соответствующего касательного пространства, сохраняющих билинейные формы, заданные согласованными скобками Пуассона.
Задача об интегрируемости инвариантных распределений была поставлена ранее в работе [3].Наконец изучение третьего типа рассматриваемых слоений — слоенияЛиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) —связано с исследованием топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем и с исследованием классического случая Ковалевскойв динамике твёрдого тела.На сегодняшний день вычисление глобальных топологических инвариантов слоений Лиувилля для известных случаев интегрируемости являет8ся одним из важных направлений исследований в механике твёрдого тела.Начиная с 80-x годов XX века было написано множество работ по исследованию топологии фазового пространства интегрируемых систем, классификации особенностей, построению бифуркационных диаграмм и определениютипов бифуркаций, вычислению локальных и глобальных инвариантов слоения Лиувилля и траекторных инвариантов.
В диссертации используютсяметоды теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем, основы которой были заложены в работах А. Т. Фоменко, Х. Цишанга [27] и А. В. Болсинова, С. В. Матвеева, А. Т. Фоменко [4]. Подробноеизложение этой теории содержится в книге А.
В. Болсинов, А. Т. Фоменко [6]. Одной из предпосылок к созданию этой теории послужили работыМ. П. Харламова [29–31], в которых была подробно исследована топологиянаиболее сложных случаев (Ковалевской и Горячева–Чаплыгина) в динамике твердого тела. В дальнейшем было написано множество работ, посвященных топологическому анализу, а также вычислению инвариантов дляинтегрируемых систем классической механики, среди которых следует отметить работы A.
А. Ошемкова [21, 51], О. Е. Орёл [19], П. И. Топалова [25],О. Е. Орёл, П. Е. Рябова [50], А. В. Болсинова, П. Х. Рихтера, А. Т. Фоменко [5], П. В. Морозова [16, 17] и П. Е. Рябова, М. П. Харламова [24].Волчок Ковалевской — одна из самых известных интегрируемых гамильтоновых систем классической механики. В работе [43] Софьей Ковалевскойбыло показано, что кроме случаев Эйлера, Лагранжа и открытого ею ранеев работе [44] интегрируемого случая в динамике твёрдого тела не существуетникаких других систем, которые были бы аналогичным образом интегрируемы при каждом значении постоянной площадей. Волчок Ковалевской сложнее для изучения, чем волчки Эйлера и Лагранжа, поэтому представляютинтерес различные методы, которые позволили бы каким-нибудь образомупростить работу с этим волчком.
В диссертации рассмотрено однопараметрическое семейство интегрируемых гамильтоновых систем, заданных напучке алгебр Ли so(4) − e(3) − so(3, 1), найденное в работе [12], и показано,что некоторая информация о классическом случае Ковалевской, являющимся интегрируемой гамильтоновой системой на алгебре Ли e(3), может быть9получена из изучения интегрируемых гамильтоновых систем на алгебре Лиso(4).Идея рассмотрения интегрируемых гамильтоновых систем на компактных алгебрах Ли может оказаться плодотворной — орбиты коприсоединённого представления компактной алгебры Ли компактны, что значительноупрощает анализ заданных на них интегрируемых гамильтоновых систем.Ранее интегрируемые гамильтоновы системы на алгебре Ли so(4) изучалисьв работах [20] (компактный аналог случая Клебша), [28] (случай Соколова)и [32] (компактный аналог случая Стеклова).Детальный топологический анализ классического случая Ковалевской содержится в книге М.
П. Харламова [31] (см. также [29] и [30]). В частности,там описаны бифуркационные диаграммы отображения момента и исследованы перестройки торов Лиувилля при критических значениях отображениямомента. Тонкий лиувиллев анализ, а также описание круговых молекулдля классического случая Ковалевской содержатся в работе [5] (метод круговых молекул, используемый в диссертации, был предложен А. В. Болсиновым [35]). Все необходимые результаты о классическом случае Ковалевскойв удобной для нас форме собраны в книге [6].В диссертации для рассматриваемых интегрируемых случаев на алгебреЛи so(4) сделано следующее: построены бифуркационные диаграммы отображения момента, проверена невырожденность особых точек ранга 0 и 1,классифицированы невырожденные положения равновесия, определены перестройки торов Лиувилля и описаны круговые молекулы для особых точекбифуркационных диаграмм.Цель диссертацииДиссертационная работа преследует следующие цели:1.
Завершение классификации лагранжевых расслоений с компактнымитотальными пространствами над двумерными поверхностями.2. Описание всех инвариантных слоений невырожденных бигамильтоно10вых структур в окрестности регулярной точки.3. Топологический анализ интегрируемого случая Ковалевской на алгебреЛи so(4).Методы исследованияВ диссертации используются методы дифференциальной геометрии, топологии и линейной алгебры. При исследовании топологии слоения Лиувилляслучая Ковалевской на алгебре Ли so(4) используются методы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем с двумястепенями свободы.Научная новизнаРезультаты диссертации являются новыми, получены автором самостоятельно и заключаются в следующем:1.
Классифицированы все лагранжевы расслоения с компактными тотальными пространствами над бутылкой Клейна.2. Введён класс почти лагранжевых расслоений, обобщающих понятиелагранжева расслоения. Построен набор классифицирующих инвариантов для почти лагранжевых расслоений. Также построено нетривиальное почти лагранжево расслоение, не являющееся лагранжевым (доказано, что не любые решётка и препятствие к построению сечения могутбыть реализованы лагранжевым расслоением).3. Описаны все инвариантные распределения невырожденной бигамильтоновой структуры в окрестности регулярной точки, и установлено, какиеиз них являются интегрируемыми.4.
Для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) построены бифуркационные диаграммы отображения момента, проверена11невырожденность особых точек ранга 0 и 1, классифицированы невырожденные положения равновесия, вычислены перестройки торов Лиувилля и круговые молекулы особых точек бифуркационных диаграмм.Теоретическая и практическая ценностьДиссертация имеет теоретический характер.Полученные результаты могут быть использованы при исследовании интегрируемых гамильтоновых систем, в частности, при исследовании лиувиллевых слоений и возмущений интегрируемых систем, а также при исследовании бигамильтоновых систем и согласованных скобок Пуассона.Полученные результаты о лагранжевых расслоениях могут быть использованы при изучении глобальных топологических инвариантов интегрируемых систем, а также при изучении лагранжевых слоений на симплектических многообразиях.Полученные результаты об интегрируемости инвариантных распределений невырожденных бигамильтоновых структур могут быть использованыпри изучении различных бигамильтоновых систем и при изучении локального устройства согласованных скобок Пуассона.Полученные результаты о топологии слоения Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) могут быть использованы приисследовании слоений Лиувилля различных интегрируемых систем.Апробация диссертацииРезультаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:∙ международная конференция «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию ректора МГУ академика В.
А. Садовничего (Москва, 30 марта – 2 апреля 2009 г.);12∙ вторая международная конференция «Geometry, Dynamics, IntegrableSystems – GDIS 2010», (Белград, Сербия, 7–13 сентября 2010 г.);∙ XVIII международная конференция студентов, аспирантов и молодыхучёных «Ломоносов» (Москва, 11–15 апреля 2011 г.);∙ международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» (23-я сессия), посвящённая 110-ой годовщине со дня рождения выдающегося математика И. Г. Петровского (Москва, 29 мая – 4июня 2011 г.);∙ XIX международная конференция студентов, аспирантов и молодыхучёных «Ломоносов» (Москва, 9–13 апреля 2012 г.);∙ международная топологическая конференция «Александровские Чтения», (Москва, 21–25 мая 2012 г.);∙ XVII Geometrical Seminar (Златибор, Сербия, 3–8 сентября 2012 г.);∙ XX международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов» (Москва, 8–13 апреля 2013 г.);∙ четвёртая международная конференция «Geometry, Dynamics, IntegrableSystems – GDIS 2013» (Ижевск, 10–14 июня 2013 г.).Результаты диссертации докладывались и обсуждались на заседанияхследующих научных семинаров:∙ на семинаре «Современные геометрические методы» под руководствомакад.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
