Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. . , + ℎ∙ (, ) = + +1 +1+1 (, ) = +1 − +1 (фокус-фокус) = + ℎ + 1, + ℎ + 3 . . . , +ℎ + 2 = Подалгебры, соответствующие разным тройкам ( , ℎ , ) не сопряжены.В общем случае, особая точка ∈ ( 2 , ) ранга называется невырожденной, если она переходит в невырожденную особую точку ранга 0 после редукции по гамильтонову действию. Это означает следующее. Пусть26 ⊂ 2 — это подпространство, порожденное векторами 1 , . . . , (этокасательное пространство к орбите гамильтонова действия = ), ⊥— косоортогональное дополнение к .
Так как функции коммутируют,˜.форма индуцирует на пространстве ⊥ ⇑ симплектическую структуру (Форма ˜ корректно определена, так как пространство изотропно.)Любая линейная комбинация = 1 1 +⋅ ⋅ ⋅+ ( ∈ R), которая оставляет точку на месте (т.е. если функция принадлежит стабилизатору точки относительно гамильтонова действия: ∈ ), определяет линейный опе˜ ) / (⊥ ⇑ , ратор ∶ (⊥ ⇑ , ˜ ). Действительно, функция коммутируетсо всеми функциями , поэтому соответствующее действие поля сохраняет пространство , а, следовательно, и ⊥ .Отображение / (⊥ ⇑ ) задаёт некоторую коммутативную подалгебру h ⊂ (⊥ ⇑ ).Определение 9.
Особая точка ∈ ( 2 , ) ранга называется невырожденной особой точкой (ранга ), если соответствующая подалгебра h ⊂(⊥ ⇑ ) является подалгеброй Картана.Типом невырожденной особой точки отображения момента называетсятип соответствующей картановской подалгебры (т.е. соответствующая тройка чисел ( , ℎ , )). Очевидно, что ранг невырожденной особой точки типа( , ℎ , ) равен − − ℎ − 2 .Теорема Элиассона утверждает, что слоение Лиувилля в окрестностиневырожденной особой точки полностью определяется рангом и типом соответствующей картановской подалгебры.
А именно, слоение Лиувилля вокрестности невырожденной особенности распадается в прямое произведение следующих 4 типов слоения:1. Слоение ell — это слоение в окрестности нуля в (R2 , ∧ ), порождённое функцией 2 + 2 .2. Слоение hyp — это слоение в окрестности нуля в (R2 , ∧ ), порождённое функцией 2 − 2 .273.
Слоение foc — это слоение в окрестности нуля в (R4 , 1 ∧1 +2 ∧2 ),порождённое двумя коммутирующими функциями 1 1 +2 2 , 1 2 −1 2 .4. Слоение reg — это слоение в окрестности нуля в (R2 , ∧ ), порождённое функцией .Теорема 4 (Теорема Элиассона). Всякое слоение Лиувилля в окрестностиневырожденной особой точки типа ( , ℎ , ) и ранга локально симплектоморфно прямому произведению экземпляров слоения ell , ℎ экземпляров слоения hyp , экземпляров слоения foc и экземпляров слоенияreg .В двумерном и четырёхмерном случаях ситуация значительно упрощается. В двумерном случае (для систем с одной степенью свободы) существуют только две невырожденные особенности. Любая гамильтонова система˙ = на двумерном многообразии ( 2 , ) (с полными полями почти нигде не обращающимися в ноль) автоматически является интегрируемой —гамильтониан системы является её первым интегралом.
Невырожденныеособенности такой интегрируемой системы при этом в точности совпадаютс невырожденными особенностями функции в смысле теории Морса.Лемма 2 (Лемма Дарбу-Морса). Для любой невырожденной критической точки функции на двумерном симплектическом многообразии( 2 , ) существуют такие локальные симплектические координаты , ,что функция зависит либо только от 2 + 2 , либо только от : = (2 + 2 ) (эллиптический случай), = () (гиперболический случай).В четырёхмерном случае (для систем с двумя степенями свободы) существуют четыре типа невырожденных особенностей ранга 0.Теорема 5. Пусть — невырожденная особая точка ранга 0 интегрируемой гамильтоновой системы ( 4 , , , ).
Пусть многообразие 4 , симплектическая структура и обе функции и являются вещественноаналитическими. Тогда в окрестности точки ∈ 4 существуют координаты (1 , 1 , 2 , 2 ), в которых симплектическая структура имеет вид28 = 1 ∧1 +2 ∧2 , а функции и одновременно приводятся к одномуиз следующих видов:1. случай центр-центр: = (21 + 12 , 22 + 22 ), = (21 + 12 , 22 + 22 );2.
случай центр-седло: = (1 1 , 22 + 22 ), = (1 1 , 22 + 22 );3. случай седло-седло: = (1 1 , 2 2 ), = (1 1 , 2 2 );4. случай фокус-фокус: = (1 1 + 2 2 , 1 2 − 1 2 ), = (1 1 + 2 2 , 1 2 − 1 2 ).Также в этой работе нам потребуются следующие факты о полулокальном устройстве особенностей (т.е. об устройстве слоения Лиувилля в окрестности особого слоя отображения момента). Для простоты мы ограничимсяслучаем систем с одной и двумя степенями свободы (т.е.
для интегрируемых гамильтоновых систем на двумерном и четырехмерном многообразияхсоответственно).Начнём с систем с одной степенью свободы. Пусть далее все особенностиинтегрируемой гамильтоновой системы ( 2 , , ) являются невырожденными (иными словами, — функция Морса на 2 ).Определение 10. Атом (или 2-атом в терминологии [6]) — это ростокслоения Лиувилля на особом слое. Иными словами, две особенности (рассматриваемые с полулокальной точки зрения) соответствуют одному и тому29же атому тогда и только тогда, когда некоторые их окрестности лиувиллевоэквивалентны. Количество особых точек в особом слое называется сложностью атома.Следующая теорема является известным фактом из теории Морса.Утверждение 3.
Существует ровно два атома сложности 1 — эллиптический (атом ) и гипебролический (атом ). Все атомы большей сложности — гиперболические, т.е. все их особые точки являются гиперболическими особыми точками.Все гиперболические особенности малой сложности описаны.
Единственные 2-атомы, которые встречаются в этой работе — это атомы , и 2(см. рис. 1.1). Все эти особенности подробно описаны в книге [6].Рис. 1.1: Атомы , и 2Рассмотрим теперь системы с 2 степенями свободы. Следующее утверждение хорошо известно (см., например, [6]).Утверждение 4. В размерности 4 существует только одна, с точностью до лиувиллевой эквивалентности, эллиптическая особенность ранга1, и она является прямым произведением эллиптического атома ell и регулярного слоения reg (т.е.
просто прямого произведения 1 × 1 ).Классификация гиперболических особенностей ранга 1 была описанаА. Т. Фоменко и Х. Цишангом в их работе [27]. Мы сформулируем полученный ими результат, переформулировав его в терминах почти прямых произведений.30Теорема 6. В размерности 4 любая гиперболическая особенность ранга 1лиувиллево эквивалентна особенности одного из следующих двух видов:1. прямое произведение hyp × reg ;2. фактор прямого произведения hyp × reg по действию группы Z2 определённого формулой(, , )/ ( (), , + ),где ∈ hyp , (, ) — координаты действие-угол на reg , а — этоинволюция hyp / hyp , неподвижные точки которой — это некоторыевершины гиперболического атома hyp .В этой работе, при анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) намвстретятся только 3 типа гиперболических точек ранга 1. Два из них — этопрямые произведения регулярного слоения и атомов и 2 .
Соответствующие перестройки мы будем обозначать той же буквой, что и исходный атом.Третья перестройка, которая обозначается через ∗ — это почти прямоепроизведение ( × reg )⇑Z2 , где инволюция на атоме — это центральнаясимметрия. Все эти перестройки подробно описаны в [6] (впервые они былиобнаружены М. П. Харламовым в [29, 30]).1.4Круговые молекулыВкратце напомним понятия меченых и круговых молекул (подробнее о круговых молекулах и инвариантах Фоменко-Цишанга см.,например, [6]).Определение 11. Особые точки бифуркационной диаграммы Σ — это образы особых точек ранга 0 и вырожденных точек ранга 1, а также точкипересечения (или самопересечения) гладких дуг, из которых состоит бифуркационная диаграмма Σ.Определение 12. Гладкая параметризованная кривая без самопересечений в плоскости R2 (, ) называется допустимой, если она пересекаетбифуркационную диаграмму Σ трансверсально и не проходит через особыеточки бифуркационной диаграммы Σ.31Прообраз любой допустимой кривой — это трёхмерное многообразие с заданным на нём слоением Лиувилля.
Возникает естественный инвариант этого слоения — меченая молекула, которая представляет из себя граф, ребракоторого соответствуют однопараметрическим семействам торов Лиувилля,а вершины — критическим слоям, в которых происходят бифуркации. Приэтом в вершинах графа помещают символы, которые обозначают типы бифуркаций (эти перестройки обозначаются той же буквой, что и соответствующие особенности ранга 1: , , 2 , ∗ и т.д.).
Также графу приписываютопределённый набор меток трёх типов (, и ), которые указывают, каксвязаны между собой различные бифуркации. Меченая молекула также называется инвариантом Фоменко-Цишанга и тонким лиувиллевым инвариантом. Молекула без меток называется грубой молекулой.Меченая молекула — это полный инвариант слоения Лиувилля на трёхмерном многообразии 3 , являющимся прообразом допустимой кривой приотображении момента.Теорема 7 (А.
Т. Фоменко, Х. Цишанг [6, т. 1, гл. 4] ). Два слоения Лиувилляна (31 ) и (32 ) лиувиллево эквивалентны в том и только том случае,когда их меченые молекулы совпадают.Круговая молекула особой точки бифуркационной диаграммы — это меченая молекула, которая описывает слоение Лиувилля в полном прообразедостаточно малой замкнутой допустимой кривой, обходящей вокруг точки. В этой работе для простоты мы укажем только -метки круговых молекул. Знание круговых молекул позволяет многое узнать о молекулах, соответствующих различным допустимым кривым (например, иногда молекулукривой можно “склеить” из частей круговых молекул). Примеры круговыхмолекул приведены в таблицах 4.4 и 4.5.При анализе случая Ковалевской на алгебре Ли so(4) мы воспользуемся следующими известными фактами о локальном устройстве и круговыхмолекулах особых точек ранга 0 для систем с двумя степенями свободы(см.,например, [6]).32Теорема 8.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
