Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Дюистермаатом [40] (см. также краткоеописание этих результатов в разделе 2.6).39Теорема 10. Два почти лагранжевых расслоения ∶ ( 2 , + ∗ ) → ( = 1, 2) с соответствующей решеткой лагранжево эквивалентнытогда и только тогда, когда 1 − 2 = для некоторого сечения ∶ → ∗ ⇑ .Для лагранжевых расслоений это утверждение было доказано К. Н. Мишачёвым в работе [49].Доказательство теорем 9 и 10 см. в разделе 2.3.3./ ∗ ⇑ называется решетчатой 1Определение 18. Сечения ∶ формой на многообразии . Подгруппу 2 (, R), порожденную дифференциалами решетчатых 1-форм, мы будем обозначать через 2 (). Элементыфакторгруппы 2 (, R)⇑2 () мы будем называть нетривиальными подкручиваниями.Замечание 2. Теоремы 9 и 10 верны как для почти лагранжевых, таки лагранжевых расслоений.
Формулировки соответствующих теорем длялагранжевых расслоений дословно такие же, нужно просто заменить слова “почти лагранжевы” на “лагранжевы”.Теорема 11. Любые решетка ⊂ ∗ и препятствие ∈ 2 (, )могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением ∶ ( 2 , ) → .Доказательство теоремы 11 см.
в разделе 2.3.4.Однако существует естественное препятствие, которое мешает реализовать решетки и препятствия к построению сечения при помощи лагранжевых расслоений.Определение 19. Пусть ∶ ( 2 , ) / — почти лагранжево расслоениетакое, что = ∗ . Класс (︀⌋︀ ∈ 3 ( , R) мы будем называть препятствием к построению симплектической структуры.Следующее утверждение немедленно следует из теоремы 9.Лемма 3. У любых двух почти лагранжевых расслоений, реализующих одни и те же решетку ⊂ ∗ и препятствие ∈ 2 (, ) препятствия к40построению симплектической структуры (︀⌋︀ ∈ 3 ( , R) совпадают. Решетку и препятствие к построению сечения можно реализовать лагранжевым расслоением тогда и только тогда, когда соответствующее препятствие к построению симплектической структуры тривиально (︀⌋︀ = 0.Пример 7 (см.
раздел 2.5) доказывает, что препятствие (︀⌋︀ ∈ 3 ( , R)не всегда тривиально.В двумерном случае лагранжевы и почти лагранжевы расслоения сутьодно и тоже. Следующее утверждение является частным случаем теоремы11.Следствие 2. Для любой решетки на двумерной поверхности 2 и длялюбого препятствия ∈ 2 ( 2 , ) существует лагранжево расслоение ∶( 4 , ) → 2 с решеткой и первым препятствием .Поэтому для классификации всех лагранжевых расслоений с компактными тотальными пространствами над двумерными поверхностями нам остаётся сделать следующее:1.
Классифицировать все решетки ранга 2 на двумерных поверхностях 2.2. Для каждой решетки на двумерной поверхности 2 найти нетривиальные подкручивания 2 (, R)⇑2 () и вычислить пространствопрепятствий к построению сечений 2 (, ).Лемма 4 (К. Н. Мишачёв, [49]). Среди замкнутых двумерных поверхностей только тор T2 и бутылка Клейна K2 могут быть базой лагранжеварасслоения ∶ ( 4 , ) / 2 с компактным тотальным пространством( 4 , ).Лагранжевы расслоения над тором T2 были классифицированы Мишачёвым в [49] (см. также теоремы 12 и 14).
В этой работе разобран случай 2 = K2 . Вначале мы классифицируем все решетки ранга 2 на бутылкеКлейна K2 (см. теорему 13). Затем мы вычисляем все остальные инварианты(см. теорему 14).41Замечание 3. Лагранжевы расслоения над бутылкой Клейна были независимо (и практически одновременно) классифицированы Д. Сепе (см. [54]).Ответы совпали.В этом разделе через (, ) мы будем обозначать аффинное преобразование ↦ + .Теорема 12 (К. Н. Мишачёв, [49]).
1. Любая решетка (ранга 2) на торе T2 изоморфна одной из следующих решеток.∙ Серия T2,;, . Тор с решеткой (T2 , ) — это просто фактор плоскости R2 по сдвигам⎛1 0⎞ ⎛⎞=(,),⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠⎛1 0⎞ ⎛⎞ℎ=(,).⎝0 1⎠ ⎝ ⎠Здесь , , , ∈ R. Необходимо, чтобы det( ) ≠ 0.∙ Серия T2,; . Тор (T2 , ) снова является фактором плоскостиR2 . Теперь образы порождающих фундаментальной группы , ℎ ∈1 (T2 ) имеют вид⎛1 0⎞ ⎛⎞=(,),⎝0 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠⎛1 ⎞ ⎛0⎞ℎ=(,).⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠Здесь , ∈ R, , > 0, ∈ N.2. Решетки из разных серий попарно неизоморфны.3.
Две решетки T21 ,1 ;1 ,1 и T22 ,2 ;2 ,2 изоморфны тогда и только тогда, когда существуют такие матрицы , ∈ GL(2, Z), что ( 22 22 ) =( 11 11 ).4. Решетки из серии T2,; попарно неизоморфны.В разделе 2.4.3 этой работе классифицированы все решетки на бутылкеКлейна K2 .Напомним, что фундаментальная группа бутылки Клейна K2 — это группа с двумя порождающими , ℎ и одним соотношением −1 ℎℎ = :1 (K2 ) = ∐︀, ℎ⋃︀ −1 ℎℎ = ̃︀.42ℎ ??ℎРис.
2.1: Бутылка КлейнаЭто несложно доказать, внимательно посмотрев на фундаментальный четырёхугольник бутылки Клейна (см. рис. 2.1).Теорема 13. 1. Любая решетка (ранга 2) на бутылке Клейна K2 изоморфна одной из следующих решеток.∙ Серия K2,;, .
Бутылка Клейна вместе с решеткой (K2 , ) изоморфна фактору плоскости R2 по действию группы 1 (K2 ). Образы порождающих фундаментальной группы , ℎ ∈ 1 (K2 ) суть⎛1 ⎞ ⎛⎞=(,)⎝0 −1⎠ ⎝ 0 ⎠⎛1 ⎞ ⎛ −⎞)ℎ=(, 2⎝0 1 ⎠ ⎝ ⎠Порождающие удовлетворяют единственному соотношению −1 ℎℎ =.
Здесь , ∈ Z, , ∈ R, , > 0, ≥ 0, и равно 0 или 1. Если = 0, то четно.2. Описанные решетки на бутылке Клейна попарно неизоморфны.Следующая теорема доказана в разделе 2.4.4 (в случае тора утвержденияэтой теоремы доказаны К. Н. Мишачёвым в работе [49]).Теорема 14. Пусть — решетка ранга 2 на двумерной поверхности 2 .Тогда1. Для решетки из серии T2,;, пространство препятствий 2 (T2 , ) изоморфно Z ⊕ Z. Группа 2 (T2 ) является подгруппой 2 (T2 , R) ≃ R, порождённой числами , , , .2.
Для решетки из серии T2,; пространство препятствий 2 (T2 , )изоморфно Z⊕Z . Группа 2 (T2 ) является подгруппой 2 (T2 , R) ≃ R,порождённой числами и .433. Для решетки из серии K2,;0, ( ∈ Z, ≥ 0) пространство препятствий 2 (K2 , ) изоморфно Z2 ⊕Z (где Z0 формально полагаетсяравным Z). Группа 2 (K2 ) тривиальна.4. Для решетки из серии K22,;1, ( ∈ Z, ≥ 0) пространство препятствий 2 (K2 , ) изоморфно Z4 (где Z0 = Z). Группа 2 (K2 ) тривиальна.Информация об инвариантах тора и бутылки Клейна собрана воедино втаблице 2.1.Таблица 2.1: Инварианты лагранжевых расслоенийБазаСерияНетривиальные подкручивания 2 ( 2 , R)2 ( 2 ) 2 ( 2 , ) 2 ( 2 , ) ℬ 2 ( 2 , )T2T2,;,RZ + Z + Z + ZZ⊕Z0T2T2,;RZ + ZZ⊕Z0 ⊕ ZK2K2,;0,00Z⊕Z2Z ⊕ ZK2K22,;1,00Z⊕Z4Z ⊕ ZВ частности, было доказано следующее утверждение.Следствие 3.
Для решетки из серии K,;, , где > 0, существуетровно 2 лагранжевых расслоений ∶ ( 4 , ) → K2 с решеткой . Длярешетки из серии K0,;, число лагранжевых расслоений с решеткой счетно.Решетка лежит в серии K0,;, тогда и только тогда, когда монодромия соответствующей решетки на торе T2 , двулистно накрывающем бутылкуКлейна, тривиальна.2.2Инварианты лагранжевых расслоенийВ этом разделе описаны два ключевых инварианта почти лагранжевых расслоений, которые используются в этой работе — в разделе 2.2.2 дано определение решетки на базе почти лагранжева расслоения, а в разделе 2.2.3 —44первого препятствия к построению сечения.
Кроме того, в разделе 2.2.1 мыопишем ещё одно важное понятие, связанное с (почти) лагранжевыми расслоениями — пуассоново действие (естественное послойное действие кокасательного расслоения к базе ∗ на тотальном пространстве почти лагранжева расслоения). Все основные теоремы о почти лагранжевых расслоенияхудается доказать именно благодаря наличию этого действия.2.2.1Пуассоново действиеЛюбому ковектору ∈ ∗ на базе (почти) лагранжева расслоения ∶( 2 , ) / соответствует векторное поле на слое = −1 (), а именновекторное поле двойственное к 1-форме ∗ относительно 2-формы . Этовекторное поле задается формулой(, ) = ∐︀ ∗ , ̃︀для любого вектора ∈ в точке ∈ .Утверждение 7. Рассмотрим произвольное почти лагранжево расслоение ∶ ( 2 , ) / .
Тогда1. Отображение /устанавливает изоморфизм∗ ≃ ( )для любой точки ∈ и для любой точки ∈ .2. Векторные поля коммутируют между собой.Доказательство.1. Векторное поле касается слоя , так как ограни-чение формы на каждый слой равно нулю.Отображение / изоморфно отображает ∗ на ( ), так какразмерности этих пространств совпадают, и у отображения / нетядра.
Векторные поля не имеют нулей, т.е. () ≠ 0, так как форма невырождена.452. Вначале докажем утверждение для случая, когда расслоение лагранжево, то есть когда = 0. Векторные поля и коммутируют, таккак(︀ , ⌋︀ = −(( , )) = 0.Здесь через обозначено векторное поле −1 . Первое равенство следует из тождества для коммутатора гамильтоновых векторных полей(см. тождество (1.1.2)). Последнее равенство выполнено, так как слойлагранжев. Утверждение для лагранжевых расслоений доказано.Докажем теперь утверждение в общем случае, когда = ∗ .
Тогда = 0, так как 2 = 0, а следовательно, локально = для некоторой2-формы на базе . Но векторные поля не меняются при поднятии2-формы с базы. Следовательно, они коммутируют.Если все векторные поля полны, то корректно определено естественное послойное действие кокасательного расслоения ∗ на тотальном пространстве ( 2 , ) почти лагранжева расслоения.
Действие ковектора —это сдвиг за единичное время вдоль векторного поля .Определение 20. Это послойное действие ∗ на ( 2 , ) мы будем называть пуассоновым действием.Отметим, что все векторные поля заведомо полны, если тотальное пространство ( 2 , ) компактно.Утверждение 8. Пусть — это 1-форма на базе почти лагранжеварасслоения ∶ ( 2 , ) / . Обозначим через сдвиг за единичное времявдоль поля = −1 ( ∗ ).
Тогда∗ = + ∗ (),(2.2.1)если сдвиг корректно определен.Доказательство. Производная Ли формы вдоль векторного поля поформуле Картана равна = () + ( )46(2.2.2)Первое слагаемое равно нулю, так как = ∗ , а ∗ ( ) = 0. Второе жеравно ( ∗ ) по построению .Пуассоново действие позволяет построить локальные координатыдействие-угол в окрестности любой точки лагранжева расслоения и тем самым доказать, что лагранжево расслоение локально лагранжево эквивалентно кокасательному расслоению.
Докажем сразу более общее утверждение отом, что почти лагранжевы расслоения локально лагранжево эквивалентныподкрученному кокасательному расслоению.Утверждение 9. В окрестности любой точки ∈ ( 2 , ) почти лагранжева расслоения ∶ ( 2 , ) / существуют такие локальные координаты 1 , . . . , , 1 , . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
