Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . , ) ∈ R сдвиг за единичное время вдольгамильтонова векторного поля с гамильтонианом = 1 1 + ⋅ ⋅ ⋅ + .Определение 4. Разбиение фазового пространства интегрируемой гамильтоновой системы на связные компоненты поверхностей уровня { =const, = 1, . . . , } называется слоением Лиувилля этой системы.Два слоения Лиувилля называются лиувиллево эквивалентными, еслисуществует диффеоморфизм, переводящий слои первого слоения Лиувилляв слои второго слоения Лиувилля.Отображение ℱ ∶ ( 2 , ) / R , которое сопоставляет точке фазового пространства интегрируемой гамильтоновой системы ( 2 , , 1 , . .
. , )точку (1 (), . . . , ()) ∈ R называется отображением момента этой интегрируемой гамильтоновой системы.Следующая классическая теорема гарантирует, что окрестности всех(связных) компактных регулярных слоёв отображения момента устроеныодинаково.Теорема 1 (Теорема Лиувилля). Рассмотрим произвольную интегрируемую гамильтонову систему ( 2 , , = 1 , .
. . , ).1. Любая связная компактная компонента регулярной поверхностиуровня первых интегралов { = const, = 1, . . . , } диффеоморфна мерному тору T .2. Слоение Лиувилля в некоторой окрестности тора Лиувилля тривиально — оно диффеоморфно прямому произведению тора T надиск .203. В окрестности = T × существует система координат(1 , . .
. , , 1 , . . . , ), называемых переменными действие-угол, со следующими свойствами:(a) 1 , . . . , — координаты на базе , 1 , . . . , — стандартные угловые координаты на торе T , ∈ R⇑2Z.(b) Симплектическая структура имеет вид = ∑=1 ∧ .(c) Переменные действия являются функциями от интегралов1 , .
. . , .(d) В переменных действие-угол поток гамильтонова векторного поля выпрямляется, т.е. гамильтоновы уравнения принимаютвид˙ = 0,˙ = (1 , . . . , ), = 1, . . . , .Теорема Лиувилля обосновывает введение следующих определений.Определение 5. Подмногообразие симплектического многообразия ⊂( 2 , ) называется лагранжевым, еслиdim = =1dim 22и⋃︀ ≡ 0.Определение 6. Локально тривиальное расслоение ∶ ( 2 , ) / называется лагранжевым расслоением, если тотальное пространство ( 2 , )является симплектическим многообразием, каждый слой которого является лагранжевым подмногообразием.1.2Примеры симплектических и пуассоновых многообразийПример 1. Классический пример симплектического многообразия (а такжелагранжева расслоения) — это кокасательное расслоение 0 ∶ ∗ / клюбому гладкому многообразию , симплектическая структура на которомопределяется следующим образом.21На тотальном пространстве ∗ кокасательного расслоения 0 ∗ / существует каноническая 1-форма 0 , заданная формулой∶∐︀0 , ̃︀ = ∐︀, (0 )∗ ̃︀для любого вектора ∈ (,) ( ∗ ) в точке ∈ ∗ .
Здесь через ∐︀, ̃︀ обозначено значение ковектора на векторе . Форму 0 иногда ещё называют1-формой Лиувилля.Дифференциал этой 1-формы 0 = 0 — это каноническая 2-форма на ∗ . Форма 0 замкнута и невырождена (т.е. является канонической симплектической структурой). Легче всего проверить это в координатах.В канонических координатах , , где — координаты на базе, а —двойственные координаты в слое (координаты ковектора в базисе ), каноническая 1-форма имеет вид0 = ∑ .=1Поэтому в канонических координатах , каноническая 2-форма 0 задаётся формулой0 = ∑ ∧ .=1По теореме Дарбу любое симплектическое многообразие локально симплектоморфно кокасательному расслоению.
Сразу сформулируем более общую теорему Дарбу-Вейнстейна о локальном устройстве пуассоновых многообразий.Теорема 2 (Теорема Дарбу-Вейнстейна). В окрестности произвольнойточки пуассонова многообразия существуют локальные координаты 1 , .
. . , , 1 , . . . , , 1 , . . . , ,(2 + = ),в которых скобка Пуассона имеет вид{ , } = ,{ , } = (1 , . . . , ),где все функции обращаются в ноль в точке . Все остальные попарныескобки координатных функций при этом равны нулю.22Пример 2. Ещё один хорошо известный пример симплектических многообразий — это орбиты коприсоединённого представления алгебр Ли. Рассмотрим алгебру Ли g произвольной (вещественной) группы Ли . Хорошоизвестно, что для любого элемента ∈ g∗ двойственного пространства к алгебре Ли g соответствующая орбита коприсоединённого представления() = {Ad∗ ⋃︀ ∈ }является гладким (погруженным) многообразием.
Симплектическая структура на орбите коприсоединённого представления определяется по следующей формуле: паре касательных векторов ad∗1 () и ad∗2 () в точке ∈ ()форма сопоставляет число(ad∗1 (), ad∗2 ()) = ((︀1 , 2 ⌋︀).Можно проверить, что определённая таким образом форма (она также называется формой Кириллова) корректно определена, невырождена и замкнута(см., например, [47]).На самом деле, орбиты коприсоединенного представления являются частным случаем следующего более общего примера симплектических многообразий.Пример 3.
Любое пуассоново многообразие можно рассматривать как набор симплектических многообразий: любое пуассоново многообразие распадается в дизъюнкное объединение своих симплектических листов, каждыйиз которых является симплектическим многообразием. Две точки принадлежат одному симплектическому листу тогда и только тогда, когда одну из нихможно перевести в другую при помощи последовательных сдвигов вдоль гамильтоновых векторных полей. По-другому симплектические листы можноопределить как слои характеристического распределения, которое сопоставляет точке многообразия (, ) образ бивектора Пуассона в этой точкеIm ⋃︀ ⊂ .Каждый симплектический лист наделяется естественной структуройгладкого многообразия, погруженного в исходное пуассоново многообразие.23Пуассонова структура задаёт симплектическую структуру на каждом симплектическом листе по формуле:( , ) = {, }.Пример 4.
На двойственном пространстве g∗ к любой конечномерной алгебре Ли g существует естественная линейная скобка Пуассона, заданнаяформулой{, } = ∐︀, (︀ ⋃︀ , ⋃︀ ⌋︀̃︀(1.2.1)Здесь через ∐︀⋅, ⋅̃︀ обозначено значение ковектора из g∗ на векторе из g, а через(︀⋅, ⋅⌋︀ обозначен коммутатор в алгебре Ли g. В формуле (1.2.1) мы воспользовались каноническим отождествлением (g∗ )∗ = g.
Скобка (1.2.1) называетсятакже скобкой Ли-Пуассона.1.3Невырожденные особенностиОпределение 7. Точка ∈ ( 2 , ) называется особой (или критической)точкой отображения момента, если rk ℱ⋃︀ < . Число rk ℱ⋃︀ называется рангом особой точки , а число − rk ℱ⋃︀ называется корангом точки. Образ объединения всех особых точек отображения момента называетсябифуркационной диаграммой.Дадим определение невырожденной особой точки отображения моментаℱ ∶ ( 2 , ) / R . Начнём со случая особой точки ранга 0./ R определяет в каждой своей криЛюбая функция ∶ ( 2 , )тической точке (т.е.
в точке, в которой ⋃︀ = 0) линейный оператор ∶ ( 2 , ) / ( 2 , ), заданный формулой = −1 2 .Утверждение 2. Построенный оператор = −1 2 является элементом симплектической алгебры Ли ( 2 , ).Напомним, что симплектическая алгебра Ли (2, R) состоит из (2 ×2)-матриц (с вещественными коэффициентами), удовлетворяющих уравнениюΩ + Ω = 0,24где Ω — это кососимметрическая матрицаΩ=⎛ 0 ⎞.⎝− 0 ⎠(Здесь — это единичная ( × )-матрица.)Доказательство. Утверждение несложно доказать, воспользовавшись теоремой Дарбу, и явно проверив в симплектических координатах, что матрица оператора имеет требуемый вид.
По-другому это утверждение такжеможно доказать следующим образом.Векторное поле порождает однопараметрическую группу симплектоморфизмов Φ ∶ ( 2 , ) / ( 2 , ), оставляющих точку неподвижной.Соответствующие дифференциалы Φ ∶ ( , ) / ( , ) задают однопараметрическую группу линейных симплектоморфизмов Φ ∈ ( ),т.е. задают кривую в симплектической группе Ли ( ). Соответствующий элемент касательной алгебры ∈ ( ) — касательный векторк кривой Φ в единице ∈ ( ) — и есть оператор = −1 2 (этоможно проверить явными вычислениями в локальных координатах).Отображение / — это гомоморфизм алгебр Ли: если ⋃︀ = 0 и⋃︀ = 0, то(︀ , ⌋︀ = {,} .Доказанное утверждение позволяет отождествить симплектическую алгебру Ли (2, R) и алгебру Ли квадратичных форм на линейном симплектическом пространстве (R2 , ∑=1 ∧ ).Лемма 1.
Рассмотрим вещественное линейное симплектическое пространство ( 2 , ). Симплектическая алгебра Ли ( 2 , R) канонически изоморфна алгебре Ли квадратичных форм = ∑2,=1 , ( = ) напространстве 2 . Оператору ∈ ( 2 ) соответствует форма () =122 (, ). Коммутатору двух элементов , ∈ ( ) соответствуетскобка Пуассона двух функций , (︀,⌋︀ = { , }.25Доказательство.
Матрица принадлежит алгебре Ли (2, R) тогда итолько тогда, когда матрица Ω симметрична Ω = (Ω) , т. е. являетсяматрицей квадратичной формы.Рассмотрим особую точку ∈ ( 2 , ) ранга 0 отображения моментаℱ = (1 , . . . , ) (т.е. ⋃︀ = 0 для всех = 1, . . . , ). Функции 1 , . . . , коммутируют, поэтому соответствующие операторы 1 , . . . порождают некоторую коммутативную подалгебру h ⊂ sp( ).Определение 8.
Особая точка ∈ ( 2 , ) ранга 0 называется невырожденной особой точкой (ранга 0), если соответствующая подалгебра h ⊂( ) является подалгеброй Картана.Теорема Уильямсона классифицирует все подалгебры Картана алгебры(2, R) с точностью до сопряжения. При формулировке следующей теоремы мы используем представление симплектической алгебры Ли при помощиалгебры Ли квадратичных форм (см.
лемму 1).Теорема 3 (Теорема Уильямсона). Для любой подалгебры Картана h ⊂(2, R) существуют линейные координаты 1 , . . . , , 1 , . . . линейногосимплектического пространства (R2 , ) такие, что = ∑=1 ∧ , иследующие квадратичных полиномов образуют базис в h:∙ (, ) = 2 + 2 (эллиптический тип) = 1, . . . , ∙ (, ) = 2 − 2 (гиперболический тип) = + 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
