Инварианты слоений в симплектической и пуассоновой геометрии (1103054), страница 3
Текст из файла (страница 3)
А.Т. Фоменко и проф. А.С. Мищенко (неоднократно: 2008 – 2013гг.);∙ на семинаре «Динамические системы» под руководством проф. А.М.Стёпина в 2010 г.;∙ на семинаре «Некоммутативная геометрия и топология» под руководством проф. А.С. Мищенко в 2010 г.;13∙ на семинаре «Геометрия, топология и математическая физика» под руководством акад. С.П. Новикова, чл.-корр. В.М. Бухштабера и проф.Б.А. Дубровина (неоднократно: 2011–2013 гг.);∙ на семинаре «Геометрия в целом» под руководством проф. И.Х. Сабитова в 2012 г.;∙ на семинаре «Геометрия и топология» под руководством проф. Т.Е. Панова и доц. А.В. Пенского в 2013 г.;∙ на семинаре «Группы Ли и теория инвариантов» под руководствомпроф.
Э.Б. Винберга в 2013 г.;∙ на семинаре «Oberseminar Differentialgeometrie» под руководствомпроф. Г. Книпера (совместный семинар Рурского университета в Бохуме и Технического университета в Дортмунде, Германия, 2009);∙ на семинаре «Hamiltonian Dynamics Seminar» под руководством проф.Т.C. Ратью (Федеральная политехническая школа Лозанны, Лозанна,Швейцария, 2012).ПубликацииОсновные результаты диссертации опубликованы в 12 работах [62–73], список которых приведен в конце диссертации.Структура и объёмДиссертация состоит из введения и четырёх глав. Текст диссертации изложен на 193 страницах и содержит 7 таблиц и 34 рисунка.
Список литературысодержит 73 наименования.14Содержание работыВо введении описывается структура диссертации и история рассматриваемых вопросов; обосновывается актуальность темы и научная новизна полученных результатов; описываются основные результаты диссертации.В первой главе приводятся необходимые определения и классическиерезультаты о симплектических и пуассоновых многообразиях, а также обинтегрируемых гамильтоновых и бигамильтоновых системах, используемыев настоящей диссертации.Во второй главе изучаются глобальные инварианты лагранжевых расслоений и проведена классификация лагранжевых расслоений над бутылкойКлейна (теоремы 13 и 14).
Также в этой главе введено понятие почти лагранжевых расслоений, обобщающее понятие лагранжевых расслоений (Определение 15), и описаны классифицирующие инварианты для почти лагранжевых расслоений. Показано, что почти лагранжево расслоение полностьюопределяется, с точностью до лагранжевой эквивалентности (т.е. с точностью до послойного диффеоморфизма, тождественно действующего на базеи переводящего одну форму в другую) и поднятия 2-формы с базы, двумясвоими инвариантами: решеткой на базе и первым препятствием к построению сечения (теорема 9). Решетка на базе лагражева расслоения введена вработе Х. Дюистермаата [40]. Первое препятствие к построению сечения является известным инвариантом, используемым в алгебраической топологии.Также установлено, когда поднятие 2-формы с базы не меняет почтилагранжево расслоение (а именно, доказано, что поднятие 2-формы с базы почти лагранжева расслоения с решеткой не меняет расслоение тогдаи только тогда, когда = для некоторого сечения ∶ → ∗ ⇑ ,теорема 10).
Для лагранжевых расслоений аналогичное утверждение былодоказано К. Н. Мишачёвым [49].Кроме того, доказана теорема реализации о том, что любые решетка ипрепятствие к построению сечения могут быть реализованы некоторым почти лагранжевым расслоением (теорема 11) и построен пример решетки ипрепятствия к построению сечения, которые не могут быть реализованы15лагранжевым расслоением (пример 7). Тем самым построен пример нетривиального почти лагранжева расслоения, не являющегося лагранжевым.В третьей главе описаны все инвариантные слоения невырожденныхбигамильтоновых структур в окрестности регулярных точек (теоремы 28 и29). Кроме того, в разделе 3.2 этой главы приведено доказательство теоремы Жордана-Кронекера, которая используется при описании локальногоустройства пары согласованных невырожденных скобок Пуассона, и даноописание всех подпространств линейного пространства с заданными на нёмдвумя симплектическими формами, инвариантных относительно автоморфизмов этого линейного пространства, сохраняющих формы (теоремы 32 и33).Наконец в четвёртой главе изучается топология слоения Лиувилля дляинтегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли so(4), который был открыт И.
B. Комаровым в работе [12]. В диссертации для рассматриваемогоинтегрируемого случая на алгебре Ли so(4) сделано следующее: построены бифуркационные диаграммы отображения момента (теоремы 42 и 45),проверена невырожденность особых точек ранга 0 и 1 (леммы 20, 21, и 23),классифицированы невырожденные положения равновесия (леммы 20 и 23),определены перестройки торов Лиувилля (теорема 43) и описаны круговыемолекулы для особых точек бифуркационных диаграмм (теорема 44).БлагодарностиАвтор выражает глубокую благодарность своему научному руководителюпрофессору Андрею Александровичу Ошемкову за постановку задач и занеоценимую помощь на всех этапах написания работы.
Автор благодаренпрофессору А. В. Болсинову за плодотворные дискуссии и ценные замечания к работе и профессору Т. С. Ратью за обсуждения задач. Автор благодарен всем сотрудникам кафедры дифференциальной геометрии и приложениймеханико–математического факультета МГУ и, в особенности, заведующемукафедрой академику РАН А. Т. Фоменко за творческую атмосферу и поддержку.16Глава 1Основные определенияВ этом разделе приводятся необходимые сведения о симплектических и пуассоновых многообразиях, а также об интегрируемых гамильтоновых и бигамильтоновых системах, используемые в этой работе.Все необходимые сведения о симплектических многообразиях и интегрируемых гамильтоновых системах можно найти в [6], а также в обзоре [37].Излагаемые в этом разделе факты о бигамильтоновых системах и пуассоновых многообразиях можно найти в работе [3].1.1Интегрируемые гамильтоновы системыПрежде всего дадим определения симплектических и пуассоновых многообразий.Определение 1.
Симплектическое многообразие ( 2 , ) — это многообразие с заданной на нём невырожденной замкнутой 2-формой .Определение 2. Скобкой Пуассона на многообразии называется кососимметричное билинейное отображение{⋅, ⋅} ∶ ∞ ( ) × ∞ ( )/ ∞ ( ),удовлетворяющее тождеству Лейбница{ , ℎ} = {, ℎ} + {, ℎ}и тождеству Якоби{, {, ℎ}} + {, {ℎ, }} + {ℎ, {, }} = 0.17Скобку Пуассона также иногда называют пуассоновой структурой на многообразии, а многообразие со скобкой Пуассона называют пуассоновым многообразием. Любое симплектическое многообразие является пуассоновым(но не наоборот) — скобка Пуассона двух функций и на симплектическоммногообразии ( 2 , ) определяется по формуле {, } = Ω ,гдеΩ = .
Условия кососимметричности, билинейности и тождество Лейбница гарантируют, что любая скобка Пуассона на многообразии может бытьзадана при помощи бивекторного поля ∈ Γ(⋀2 ) (то есть при помощикососимметричного тензорного поля (2, 0)) по формуле {, } = . Тождество Якоби при этом эквивалентно выполнению следующей системыуравнений на компоненты бивекторного поля : + + = 0.Любую симплектическую структуру на многообразии можно рас/ ∗ . Аналогично, любую скобкусматривать как отображение ∶ / .Пуассона можно рассматривать как отображение ∶ ∗ Любая функция на симплектическом многообразии ( 2 , ) задаётвекторное поле = −1 ,называемое гамильтоновым векторным полем с гамильтонианом . Аналогично, гамильтоновы векторные поля можно определить на произвольномпуассоновом многообразии (, ) по формуле = .Гамильтоново векторное поле также иногда обозначают через sgrad иназывают косым градиентом функции .Отметим, что в других работах могут использоваться различные соглашения о знаках: в определении гамильтоновых векторных полей или скобкиПуассона на симплектическом многообразии может ставится знак минус.18Утверждение 1.
Для любых функций и на симплектическом многообразии ( 2 , ) выполнены следующие тождества: () = ( , ) = −{, },(1.1.1)(︀ , ⌋︀ = −{,} .(1.1.2)Как следствие, отображение /− — это гомоморфизм алгебр Ли.Доказательство. Нужно воспользоваться тождеством Якоби.(︀ , ⌋︀ (ℎ) = {, {, ℎ}} − {, {, ℎ}} = {{, }, ℎ} = −{,} (ℎ)Две функции и на пуассоновом многообразии (, ) называютсякоммутирующими, если {, } = 0. Функция называется функцией Казимира скобки Пуассона, если она коммутирует с любой другой функцией намногообразии относительно этой скобки.Функцию на фазовом пространстве называют первым интеграломгамильтоновой системы с гамильтонианом , если она постоянна на всехтраекториях системы.
Иными словами, функция является первым интегралом системы ˙ = тогда и только тогда, когда ( ) = 0 или, чтоэквивалентно, {, } = 0.Определение 3. Динамическая система ˙ = на ( 2 , ) называетсяинтегрируемой, если существует набор первых интегралов 1 , . . . , такой,что∙ эти интегралы функционально независимы почти всюду1 ∧ ⋅ ⋅ ⋅ ∧ ≠ 0;∙ функции попарно коммутируют (относительно соответствующейскобки Пуассона):{ , } = 0;∙ все гамильтоновы векторные поля полны.19Отметим, что последнее условие автоматически выполнено, если фазовое пространство ( 2 , ) компактно (все векторные поля на компактныхмногообразиях полны).Также отметим, что, так как векторные поля полны и коммутируютмежду собой, любая интегрируемая гамильтонова система задаёт гамильтоново действие группы R на фазовом пространстве ( 2 , ): это действиесопоставляет элементу = (1 , .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
